Kryterium d’Alemberta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Kryterium d’Alemberta (także kryterium ilorazowe d’Alemberta[1]) – jedno z podstawowych kryteriów zbieżności szeregów o wyrazach dodatnich udowodnione przez d’Alemberta.

Kryterium[edytuj | edytuj kod]

Niech dany będzie szereg liczbowy

(A)

o wyrazach dodatnich oraz niech

  • Jeżeli dla dostatecznie dużych oraz pewnego spełniona jest nierówność
to szereg (A) jest zbieżny.
  • Jeżeli zaś dla dostatecznie dużych spełniona jest nierówność
to szereg (A) jest rozbieżny[2].

Wersja graniczna kryterium[edytuj | edytuj kod]

Często używana jest też następująca, formalnie słabsza, wersja kryterium. Jeżeli istnieje granica

,

to

  • gdy , szereg (A) jest zbieżny, oraz
  • gdy , szereg (A) jest rozbieżny[2].

Przypadek, w którym kryterium nie rozstrzyga[edytuj | edytuj kod]

Kryterium nie przesądza o zbieżności lub rozbieżności szeregu w przypadku, gdy

Istotnie, rozważmy ciągi

Wówczas

.

Jednak szereg (A) jest rozbieżny jako szereg harmoniczny, a drugi z szeregów jest zbieżny (zob. problem bazylejski)[3][4].

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Załóżmy, że dla dostatecznie dużych oraz pewnego spełniona jest nierówność

Stąd

dla każdego . Oznacza to, że dla każdego spełniona jest nierówność

Szereg

jest zbieżny jako szereg geometryczny o ilorazie . Ponadto, majoryzuje on szereg

Na mocy kryterium porównawczego szereg (A) jest zatem zbieżny[1][5].

W przypadku gdy istnieje taka liczba , że nierówność

zachodzi dla wszystkich , szereg (A) nie spełnia warunku koniecznego zbieżności, tj. ciąg nie jest zbieżny do 0. W szczególności, szereg (A) jest rozbieżny[2].

Przykłady zastosowania[edytuj | edytuj kod]

  • Kryterium d’Alemberta jest szczególnie pomocne, gdy wyraz ogólny szeregu (A) zawiera symbol silni. Rozważmy następujący przykład
.
Wyraz ogólny tego szeregu jest postaci
Mamy
Zatem korzystając z granicy
otrzymujemy
co dowodzi zbieżności rozważanego szeregu.
  • Niech
Wówczas
Oznacza to, że szereg
jest rozbieżny.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b Musielak i Musielak 2000 ↓, s. 61.
  2. a b c Fichtenholz 1966 ↓, s. 234.
  3. Kuratowski 1967 ↓, s. 47.
  4. Leja 1971 ↓, s. 193.
  5. Leja 1971 ↓, s. 192-193.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 2. Warszawa: PWN, 1966.
  2. Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. 11. Warszawa: PWN, 1971.
  3. Kazimierz Kuratowski: Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmiennej. Warszawa: PWN, 1967.
  4. Julian Musielak, Helena Musielak: Analiza matematyczna I/1. Poznań: Wydawnictwo Naukowe UAM, 2000.
  5. Karl R. Stromberg: An Introduction to Classical Real Analysis. Providence, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing, 2015. ISBN 978-1-4704-2544-9.