Kryterium porównawcze

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Kryterium porównawcze – kryterium zbieżności szeregów liczbowych o wyrazach nieujemnych. Mówi ono, że szereg liczbowy o wyrazach nieujemnych majoryzowany przez zbieżny szereg o wyrazach nieujemnych jest zbieżny. Przez zasadę kontrapozycji, twierdzenie to jest równoważne temu, że szereg o wyrazach nieujemnych majoryzujący rozbieżny szereg o wyrazach nieujemnych jest rozbieżny.

Kryterium[edytuj | edytuj kod]

Niech

(A)

oraz

(B)

będą szeregami o wyrazach nieujemnych. Załóżmy, że istnieje takie że dla wszelkich zachodzi nierówność

Wówczas

  1. jeżeli szereg (B) jest zbieżny, to szereg (A) jest również zbieżny;
  2. jeżeli szereg (A) jest rozbieżny, to szereg (B) jest również rozbieżny[1].

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Suma (tj. granica ciągu sum częściowych) szeregu o wyrazach nieujemnych zawsze istnieje – jest albo nieujemną liczbą rzeczywistą bądź wynosi Oznacza to, że stwierdzenia 1. i 2. są równoważne na mocy zasady kontrapozycji. Wystarczy zatem przeprowadzić dowód dla 1.

Załóżmy, że szereg (B) jest zbieżny oraz niech będzie (skończoną) sumą (B). Skoro istnieje takie że dla wszelkich zachodzi nierówność

można założyć, że powyższa nierówność jest spełniona dla wszystkich liczb naturalnych ponieważ skończenie wiele wyrazów szeregu liczbowego nie wpływa na jego zbieżność[2]. W tym przypadku, dla każdej liczby naturalnej spełniona jest także nierówność

Oznacza to, że ciąg

jest ograniczony (przez ). Ciąg ten jest także niemalejący, istotnie

tj. dla wszystkich zachodzi

Każdy ograniczony i niemalejący ciąg liczb rzeczywistych jest zbieżny, a więc szereg (A) jest zbieżny, gdyż zbieżny jest jego ciąg sum częściowych[3].

Wersje graniczne kryterium porównawczego[edytuj | edytuj kod]

Wersja graniczna[edytuj | edytuj kod]

Pod założeniem, jeżeli istnieje granica

  • gdy to ze zbieżności szeregu (B) wynika zbieżność szeregu (A);
  • gdy to z rozbieżności szeregu (B) wynika rozbieżność szeregu (A).[4]

Jeżeli oba szeregi są jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne[3].

Wersja ułamkowa[edytuj | edytuj kod]

Pod założeniem, jeżeli dla dostatecznie dużych spełniona jest nierówność

ze zbieżności szeregu (B) wynika zbieżność szeregu (A) (a więc z rozbieżności szeregu (A) wynika rozbieżność szeregu (B))[5].

Przykład zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Niech tj. w tym przypadku szereg (B) jest zbieżnym szeregiem geometrycznym. Niech

Szereg (A) jest zbieżny, gdyż

tj. szereg (A) jest majoryzowany przez zbieżny szereg geometryczny (B)[6].


Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Fichtenholz 1966 ↓, s. 227–228.
  2. Leja 1971 ↓, s. 191.
  3. a b Fichtenholz 1966 ↓, s. 228.
  4. Fichtenholz 1966 ↓, s. 228 [Poprawne sformułowanie w akapicie „Jeśli natomiast szereg (B) jest rozbieżny...”. We wcześniejszym akapicie "Twierdzenie 2. Jeśli istnieje granica..." jest błąd w druku.].
  5. Fichtenholz 1966 ↓, s. 228–229.
  6. Fichtenholz 1966 ↓, s. 229.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]