Kryterium stabilności Hurwitza

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Inne znaczenia Ten artykuł dotyczy kryterium Adolfa Hurwitza z dziedziny algebry, znajdującego zastosowanie w automatyce. Zobacz też: kryterium Hurwicza (Leonida Hurwicza) z dziedziny teorii decyzji.

Kryterium stabilności Hurwitza – metoda pozwalająca określić stabilność układu regulacji na podstawie równania charakterystycznego układu

a_n\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\ldots+a_1\lambda+a_0=0

o współczynnikach a_i\; rzeczywistych.

Z punktu widzenia algebry kryterium Hurwitza pozwala sprawdzić, czy wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego leżą w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s, co pociąga za sobą stabilność układu. Na potrzeby kryterium wykorzystuje się ciąg wyznaczników, utworzonych ze współczynników równania charakterystycznego:


  \Delta_{1}=\begin{vmatrix}
  a_{n-1}\\ 
  \end{vmatrix}

  \Delta_{2}=\begin{vmatrix}
  a_{n-1} & a_{n}\\
  a_{n-3} & a_{n-2}\\  
  \end{vmatrix}

  \Delta_{3}=\begin{vmatrix}
  a_{n-1} & a_{n} & 0\\
  a_{n-3} & a_{n-2} & a_{n-1}\\ 
  a_{n-5} & a_{n-4} & a_{n-3}\\ 
  \end{vmatrix}
 
  \dots
 
  \Delta_{n}=\begin{vmatrix}
  a_{n-1} & a_{n}    & 0            &\dots     & 0\\
  a_{n-3} & a_{n-2} & a_{n-1} &\dots     & 0\\ 
  a_{n-5} & a_{n-4} & a_{n-3} &\dots    &  0\\ 
  \dots     & \dots      & \dots      &\dots    & \dots \\ 
  0           & 0            & 0            & 0         & a_{0}\\ 
  \end{vmatrix}.

Aby układ regulacji był asymptotycznie stabilny muszą zostać spełnione następujące warunki:

  1. Wszystkie współczynniki równania charakterystycznego a_i >0 dla i=0,1,\dots,n.
  2. Wszystkie wyznaczniki \Delta_{1},\Delta_{2},\dots,\Delta_{n} są większe od zera.

W przeciwnym razie układ jest niestabilny. Jeśli jednak któryś z podwyznaczników jest równy zeru, a pozostałe warunki są spełnione, to układ znajduje się na granicy stabilności.

Zbliżonym kryterium jest kryterium stabilności Routha, które dodatkowo pozwala na określenie liczby pierwiastków badanego równania odpowiednio o ujemnych, dodatnich i zerowych częściach rzeczywistych.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Krystyna Szacka: Teoria układów dynamicznych. Warszawa: Oficyna wydawnicza Politechniki Warszawskiej, 1995, s. 123-133. ISBN 83-86569-15-8.
  • Arczewski Krzysztof, Pietrucha Józef, Szuster Jan Tomasz: Drgania układów fizycznych. Warszawa: Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, 2008. ISBN 978-83-7207-748-6.