Krzywa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy pojęcia matematycznego. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.
Parabola – prosty przykład krzywej.

Krzywa – uogólnienie linii prostej. Mimo intuicyjnej prostoty, pojęcie krzywej okazało się bardzo trudne do ścisłego zdefiniowania. Poprawna definicja powinna obejmować „dowolną linię” (w szczególności na płaszczyźnie lub przestrzeni trójwymiarowej), w tym także linię prostą, która mogłaby się rozgałęziać i przerywać.

Definicje formalne[edytuj]

Definicje historycznie odleglejsze[edytuj]

  • Komentatorzy Euklidesa określali ją jako „długość bez szerokości” oraz „ograniczenie powierzchni”. Nie są to jednak definicje w sensie matematycznym.
  • Kartezjusz definiował krzywą jako zbiór punktów spełniających pewne równanie. Definicja ta nie obejmuje jednak wszystkich przypadków.
  • Kolejna definicja określała krzywą jako sumę skończonej liczby łuków, z których żadne dwa nie mają wspólnych punktów oprócz swych końców. Okazało się jednak, że definicja ta nie obejmuje niektórych przypadków, np.
z dołączonym odcinkiem .

Definicje topologiczne[edytuj]

Szereg definicji topologicznych używa pojęcia continuum (kontinuum), czyli przestrzeni zwartej i spójnej.

  • Camille Jordan w XIX wieku zdefiniował krzywą jako zbiór punktów płaszczyzny , gdzie i funkcjami ciągłymi, zaś jest parametrem przebiegającym przedział liczb rzeczywistych. Innymi słowy krzywa to obraz przedziału (równoważnie: odcinka) w odwzorowaniu ciągłym. Okazało się wszakże, że definicja ta jest zbyt szeroka. W 1890 roku Giuseppe Peano pokazał, że obraz tak rozumianej krzywej może wypełniać kwadrat wraz z wnętrzem (tzw. krzywa Peana). Obecnie krzywą Jordana nazywa się homeomorficzny obraz okręgu.
  • Pod koniec XIX wieku Georg Cantor podał następującą definicję: krzywa płaska to takie continuum na płaszczyźnie, które nie zawiera żadnego koła o dodatnim promieniu. W przypadku płaszczyzny jest ona równoważna przytoczonej niżej definicji podanej przez Urysohna.
  • Krzywą nazywa się continuum o wymiarze 1. Innymi słowy jest to zbiór, w którym każdy jego punkt ma dowolnie małe otoczenia o zerowymiarowym brzegu. Jest to wtedy zbiór zwarty i spójny.
  • Krzywą nazywamy continuum, w którym dla każdego jego punktu i dowolnego jego otoczenia istnieje pewne otoczenie wspomnianego punktu zawarte w poprzednim, którego brzeg nie zawiera żadnego continuum złożonego z więcej niż jednego punktu. Definicja ta, sformułowana przez rosyjskiego matematyka Pawła Urysohna, pochodzi z końca lat 20. XX wieku.
  • Często przez krzywą rozumie się homeomorficzny obraz odcinka (domkniętego lub otwartego).

Definicje geometryczne[edytuj]

W przypadku geometrii różniczkowej definicje krzywej, jako obrazu odcinka otwartego przy odwzorowaniach różniczkowych, zakładają zawsze, że pierwsza pochodna jest różna od zera w każdym punkcie odcinka.

  • Ważne klasy krzywych definiuje się nakładając dodatkowe warunki na funkcję , odwzorowującą przedział w płaszczyznę, na przykład dla funkcji różniczkowalnych otrzymuje się łuk regularny, a dla przedziałami liniowychlinię łamaną.
  • W geometrii różniczkowej płaszczyzny lub przestrzeni przez krzywą rozumie się na ogół odwzorowanie razy różniczkowalne przedziału otwartego na płaszczyznę lub , gdzie -ta pochodna jest ciągła (tak zwane krzywe klasy ). Często, aby uniknąć dyskusji o klasie gładkości zakłada się, że funkcje te mają wszystkie pochodne (tak zwane krzywe klasy ; oczywiście wtedy wszystkie pochodne są ciągłe). Obrazy tych funkcji nie są wtedy zwarte. [1].

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Jacek Gancarzewicz, Barbara Opozda: Wstęp do geometrii różniczkowej. Kraków: Wydawnictwo UJ, 2003, s. 11. ISBN 83-233-1768-2.