Krzywa Lissajous

Doświadczenie Lissajous z kamertonami

Krzywa Lissajous, wym. [lisaʒu], figury Lissajous bądź Bowditcha – krzywa parametryczna wykreślona przez punkt materialny wykonujący drgania harmoniczne w dwóch wzajemnie prostopadłych kierunkach.

Dana jest równaniem parametrycznym:

${\begin{cases}x(t)=A\sin(at+\delta )\\[2pt]y(t)=B\sin(bt)\end{cases}}$

Nazwy pochodzą od nazwisk Nathaniela Bowditcha, który opisał rodzinę tych krzywych w 1799, oraz Jules’a Antoine’a Lissajous, który badał je używając do tego drgających kamertonów z umocowanymi do nich zwierciadełkami.

Rodzaje

Kształt krzywych jest szczególnie uzależniony od współczynnika ${\tfrac {a}{b}}.$ Dla współczynnika równego 1, krzywa jest elipsą, ze specjalnymi przypadkami okrąg:

$A=B,\delta ={\tfrac {\pi }{2}}$ (zob. pi i radian),

oraz odcinek:

$\delta =0.$

Inne wartości współczynnika dają bardziej złożone krzywe, które są zamknięte, tylko gdy ${\tfrac {a}{b}}$ jest liczbą wymierną.

Występowanie

Jedną z metod uzyskiwania krzywych Lissajous jest podanie na wejścia oscyloskopu, pracującego w trybie $XY,$ dwóch sygnałów sinusoidalnych o częstotliwościach pozostających w stosunku ${\tfrac {a}{b}}.$ Ciekawy efekt uzyskuje się również, gdy stosunek tych częstotliwości jest minimalnie różny od ilorazu dwóch niskich liczb naturalnych: dzięki płynnej zmianie fazy (parametru $\delta$) uzyskuje się iluzję trójwymiarowego obrotu krzywej. W najprostszym przypadku, gdy $a\approx b,$ uzyskuje się efekt „obracającej się monety”.

Inną metodą jest wykorzystanie wahadła o specjalnej konstrukcji. Wahadło takie posiada dwie różne efektywne długości (w prostopadłych do siebie płaszczyznach), więc generuje drgania złożone.

Krzywe Lissajous są także czasem wykorzystywane w projektach graficznych jako element logo (np. w Australian Broadcasting Corporation).

Przykłady

Poniżej zamieszczono przykłady krzywych Lissajous o parametrach $\delta ={\tfrac {\pi }{2}},$ $a$ – nieparzyste, $b$ – parzyste, $|a-b|=1.$

• 
  a = 1, b = 2
• 
  a = 3, b = 2
• 
  a = 3, b = 4
• 
  a = 5, b = 4
• 
  a = 5, b = 6
• 
  a = 9, b = 8

Zobacz też

• lista krzywych

Bibliografia

• Josep Sales, Francesc Banyuls: Niebezpieczne krzywe. Elipsy, hiperbole i inne geometryczne cuda. Przełożyła Hanna Jezierska. Barcelona: RBA, 2012, s. 109–112, seria: Świar jest matematyczny. ISBN 978-84-473-7545-5.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Lissajous Curve, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).