Kwadryka

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Kwadryka lub powierzchnia drugiego stopniapowierzchnia dana równaniem drugiego stopnia ze względu na współrzędne :

gdzie

przy czym nie zachodzi

(przynajmniej jeden z powyższych współczynników musi być różny od zera).

W zależności od wartości współczynników kwadryka może należeć do jednego z wielu typów, różniących się właściwościami.

Wykresy i równania kanoniczne[edytuj]

Poprzez odpowiednie przekształcenie układu współrzędnych można równanie kwadryki sprowadzić do postaci kanonicznej, charakterystycznej dla jednego z wymienionych niżej 17 typów.

W poniższych wzorach .

elipsoida Quadric Ellipsoid.jpg
    elipsoida obrotowa
    (szczególny przypadek elipsoidy)  
        sfera
        (szczególny przypadek elipsoidy obrotowej)
paraboloida eliptyczna Quadric Elliptic Paraboloid.jpg
    paraboloida obrotowa
    (szczególny przypadek paraboloidy eliptycznej)
paraboloida hiperboliczna Quadric Hyperbolic Paraboloid.jpg
hiperboloida jednopowłokowa Quadric Hyperboloid 1.jpg
hiperboloida dwupowłokowa Quadric Hyperboloid 2.jpg
powierzchnia stożkowa Quadric Cone.jpg
walec eliptyczny Quadric Elliptic Cylinder.jpg
    powierzchnia boczna zwykłego walca o nieskończonej wysokości
    (szczególny przypadek walca eliptycznego)
walec hiperboliczny Quadric Hyperbolic Cylinder.jpg
walec paraboliczny Quadric Parabolic Cylinder.jpg
przecinające się płaszczyzny
tzw. przecinające się płaszczyzny urojone prosta
równoległe płaszczyzny
nakładające się płaszczyzny
tzw. równoległe płaszczyzny urojone zbiór pusty
tzw. elipsoida urojona zbiór pusty
tzw. stożek urojony pojedynczy punkt
tzw. urojony walec eliptyczny zbiór pusty

Ostatnie kilka przypadków opisuje kwadryki zdegenerowane, w których dla kanonicznego układu współrzędnych znika co najmniej jedna ze współrzędnych. Niektórzy autorzy nie zaliczają ich do kwadryk. W tym sensie także walce są przypadkami zdegenerowanymi, gdyż można je przedstawić w postaci zawierającej tylko dwie współrzędne. Ponadto warto zauważyć, że niektóre z tych zdegenerowanych kwadryk nie są powierzchniami (prosta, punkt, zbiór pusty).

Postać macierzowa równania[edytuj]

Równanie kwadryki można też przedstawić w postaci macierzowej:

gdzie:

Niezmienniki[edytuj]

Poniższe wielkości nie zmieniają się przy zmianie początku układu współrzędnych i rotacji jego osi:

Określenie typu na podstawie współczynników[edytuj]

Korzystając ze znaku niezmienników można określić typ danej powierzchni danej równaniem (1) niezależnie od jej położenia w przestrzeni i wybranego układu współrzędnych.

  • tzw. powierzchnie środkowe:
      • pojedynczy punkt (tzw. stożek urojony)
      • powierzchnia stożkowa
      • powierzchnia stożkowa
    • paraboloidy:
    • :

      • przypadek zdegenerowany (suma dwóch płaszczyzn, jedna płaszczyzna, prosta lub zbiór pusty)
      • w przeciwnym wypadku powierzchnia walcowa oparta na krzywej stożkowej:

Linki zewnętrzne[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  • I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka – Poradnik encyklopedyczny. Wyd. 6. Warszawa: PWN, 1976, s. 299-301.