Kwantowy oscylator harmoniczny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Oscylator harmoniczny - układ fizyczny, który ma duże zastosowanie i znaczenie w wielu działach fizyki.

Information icon.svg Osobny artykuł: Oscylator harmoniczny.

Jest to ciało o masie m, na które działa siła proporcjonalna do wychylenia z przeciwnym zwrotem F=-kx. Ponieważ siła F= - \frac{\partial U}{\partial x} to układ opisany jest przez potencjał

U(x)=\frac{1}{2}k x^2=\frac{1}{2}m\omega^2 x^2.

Jego energia całkowita jest równa

E=\frac{1}{2} m v^2 + U(x)=\frac{p^2}{2m} + U(x)

gdzie pęd p=mv.

W mechanice kwantowej pęd p przechodzi w operator p=mv\Rightarrow p= - i\hbar\frac{d}{dx} spełniający regułę komutacyjną [x,p]=i\hbar. Wygodnie jest zdefiniować zamiast x, p dwa operatory

a=\frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x + i\frac{1}{\sqrt{m \omega \hbar}}p),
a^{+}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x - i\frac{1}{\sqrt{m \omega \hbar}}p)

nazywane operatorami anihilacji i kreacji. Stąd operator położenia x to

x=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}(a + a^{+} )

Bozonowy oscylator harmoniczny[edytuj | edytuj kod]

Potencjał oscylatora harmonicznego i kilka pierwszych stanów własnych.

Hamiltonian czyli operator energii przyjmuje teraz postać

H=\frac{1}{2}\hbar \omega (a^{+} a + a a^{+})

Operatory X_i=\{I,a,a^{+},n=a^{+}a\} rozpinają algebrę Heisenberga:

[a,a^{+}]=1,
[a,a]=[a^{+},a^{+}]=0,
[n,a]= - a,
[n,a^{+}]=a^{+},
[I,Xi]=0.

Komutator zdefiniowany jest jako [A,B]=A B - B A a antykomutator \{A,B\}=A B + B A. Hamiltonian można przekształcić do postaci

H=\hbar \omega (n + \frac{1}{2})=\hbar \omega n + E_0

gdzie E_0=\frac{1}{2}\hbar \omega jest energią stanu podstawowego. Hamiltonian posiada całą drabinkę stanów własnych H|n\rang =E_n|n\rang z energiami własnymi

E_n=\hbar \omega (n + \frac{1}{2})=\hbar \omega n + E_0

i stanami własnymi

|n\rang =\frac{1}{\sqrt{n!}}(a^{+})^{n}|0\rang.

Stan podstawowy |0\rang zdefiniowany jest jako a|0\rang =0. W tradycyjnym zapisie stan |n\rang opisuje funkcję falową \psi_n(x). Równanie a|0\rang=0 (lub a\psi_0(x)=0) jest równaniem różniczkowym którego rozwiązaniem jest funkcja falowa stanu podstawowego:

\psi_{0} = C_{0} \exp(-\frac{1}{2}{(\frac{x}{x_0})}^2)

gdzie x_0=\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}. Operatory kreacji a^{+} tworzą kolejne funkcje falowe stanów wzbudzonych (stąd ich nazwa - creare (łac.) to tworzyć). Można je wyrazić przez wielomiany Hermite'a:

\psi_n (x)=\frac{1}{\sqrt{n!}}(a^{+})^{n}\psi_0(x)=C_n H_n(\frac{x}{x_0})\psi_0(x)

gdzie

H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}.

Fermionowy oscylator harmoniczny[edytuj | edytuj kod]

Fermionowy oscylator harmoniczny opisujemy hamiltonianem

H=\frac{1}{2}\hbar \omega(c^{+}c - c c^{+} )

Operatory X_i=\{I,c,c^{+},n=c^{+}c\} rozpinają algebrę gradowaną:

\{c,c^{+}\}=1,
\{c,c\}=\{c^{+},c^{+}\}=0,
[n,c]= - c,
[n,c^{+}]=c^{+},
[I,X_i]=0.

Hamiltonian ten można przekształcić do postaci

H=\hbar \omega(n - \frac{1}{2})=\hbar \omega n + E_0

gdzie E_0= - \frac{1}{2}\hbar\omega jest energią stanu podstawowego. Reguła komutacyjna \{c^{+},c^{+}\}=0 oznacza zakaz Pauliego, istnieje tylko stan próżni |0\rang, pierwszy stan wzbudzony |1\rang=c^{+}|0\rang, drugi stan wzbudzony już nie istnieje: |2\rang=(c^{+})^2|0\rang=0, bo z reguł antykomatacyjnych wynika, iż (c^{+})^2=0. Fermionowy oscylator harmoniczny zbudowany jest tylko z dwóch stanów, stanu podstawowego |0\rang i stanu wzbudzonego |1\rang. Posiada tylko dwie wartości własne E_0= - \frac{1}{2}\hbar\omega i E_1= \frac{1}{2}\hbar\omega.

Supersymetria[edytuj | edytuj kod]

Bozonowy i fermionowy hamiltonian razem posiada dodatkową symetrię, która miesza bozonowe stopnie swobody z fermionowymi - nazywamy ją supersymetrią,

H= \frac{1}{2} \hbar \omega ( \{ a^{+},a \}+[c^{+},c]).

Generowana jest przez operatory: Q= \sqrt{2 \omega}a^{+}c, Q^{+}= \sqrt{2 \omega}c^{+}a, spełniają one relację:

\{ Q,Q^{+} \}=2 H .

Ta własność jest podstawą konstrukcji supersymetycznej teorii pola.