Kwantowy oscylator harmoniczny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Cząsteczka HCl jako oscylator kwantowy drgający na poziomie energii E3. Energia jest skwantowana, tzn. może przyjmować tylko skokowe wartości E0, E1... D0 jest energią dysocjacji, r0 średnią odległością atomów, U energią potencjalną ich ruchu oscylacyjnego. Atom wodoru umieszczono w początku układu współrzędnych, aby pokazać zmiany średniej odległości atomów na krzywej.

Kwantowy oscylator harmoniczny – układ fizyczny rozmiarów atomowych lub subatomowych (np. jon w sieci krystalicznej lub w cząsteczka gazu) wykonujący ruch drgający (oscylacyjny) pod wpływem siły proporcjonalnej do wychylenia od położenia równowagi. Właściwy opis ruchu wymaga zastosowania mechaniki kwantowej, co sprowadza się do znalezienia rozwiązań równania Schrödingera. Dowodem eksperymentalnym konieczności zastosowania mechaniki kwantowej do opisu właściwości mikroskopowych układów drgających jest np. nieciągłe widmo promieniowania emitowane przez drgające cząsteczki. Makroskopowym odpowiednikiem oscylatora kwantowego jest klasyczny oscylator harmoniczny, którym jest ciało makroskopowe o stosunkowo dużej masie, zawieszone np. na sprężynie i wykonujące drgania; do opisu jego ruchu wystarczająca jest mechanika klasyczna. Pojęcie oscylatora ma duże zastosowanie i znaczenie w wielu działach fizyki klasycznej i kwantowej.

Znaczenie oscylatora harmonicznego[edytuj | edytuj kod]

Teoria oscylatora harmonicznego ma w fizyce doniosłe znaczenie. Jest tak dlatego, że wiele różnych układów fizycznych jest opisywanych równaniami o postaci identycznej z postacią oscylatora harmonicznego lub zespołem oscylatorów harmonicznych, które są słabo ze sobą sprzężone (czyli słabo ze sobą oddziałują). W pierwszym przybliżeniu zaniedbuje się oddziaływanie - wtedy układ jest matematycznie równoważny prostemu do opisu układowi niezależnie drgających oscylatorów harmonicznych[1] s. 360 Np. wszystkie cząstki wieloatomowe wykonują drgania, które z dobrym przybliżeniem można opisywać w ramach teorii oscylatorów harmonicznych.

Początki fizyki kwantowej wiążą się z pojęciem oscylatora kwantowego. Mianowicie Max Planck próbując wyjaśnić zjawisko promieniowania termicznego ciał (tzw. zjawisko promieniowania ciała doskonale czarnego) przyjął, żecząstki materii emitujące i absorbujące promieniowanie zachowują się jak oscylatory. Planck założył, że energia oscylatora nie może być dowolna, lecz jest skwantowana, to znaczy może przyjmować tylko ściśle określone wartości. Założenie to nie posiadało wtedy żadnego uzasadnienia w znanych teoriach fizycznych.

Niezwykle doniosłym osiągnięciem było opisanie pola elektromagnetycznego jako pola kwantowego (tzw. drugie kwantowanie). W początkach rozwoju teorii kwantowej pole elektromagnetyczne traktowano jako pole klasyczne, będące źródłem potencjału A(r,t) oddziałującego na cząstki naładowane, wstawianym np. do równania Schrödingera. Dokładny jednak opis wymagał potraktowania pola jako układu kwantowego, gdzie równania pola są identyczne z równaniami oscylatorów[1] s. 360.

Klasyczny oscylator harmoniczny[edytuj | edytuj kod]

Klasyczny oscylator harmoniczny – to ciało o masie m, na które działa siła proporcjonalna do wychylenia x ciała od stanu równowagi i mająca przeciwny zwrot

F=-kx,

gdzie k jest stałą wielkością (tzw. stałą sprężystości). Przykładem oscylatora harmonicznego jest ciało na sprężynie, wykonujące niewielkie drgania od położenia równowagi, co zapewnia słuszność założenia o proporcjonalności siły do wychylenia (dla dużych wychyleń założenie to nie byłoby słuszne). Układ drgający ma energię potencjalną:

U(x)=\frac{1}{2}k x^2=\frac{1}{2}m\omega^2 x^2,

która jest tym większa, im większe jest rozciągnięcie sprężyny (\omega=\sqrt {k/m} jest częstotliwością kołową ruchu drgającego). Energia całkowita układu jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej

E=\frac{p^2}{2m} + U(x),

gdzie p=mv oznacza pęd ciała drgającego w położeniu x. Całkowita energia układu drgającego harmonicznie nie ulega zmianie w czasie, mimo że energia potencjalna zamienia się cyklicznie w energię kinetyczną i odwrotnie, kinetyczna przechodzi w potencjalną.

Kwantowy oscylator harmoniczny – przypadek stałej energii drgań[edytuj | edytuj kod]

Porównanie ruchu oscylatora harmonicznego klasycznego i kwantowego. (A–B) Oscylator klasyczny – to cząstka masywna (reprezentowana przez kulkę na sprężynie), której ruch można dobrze opisać za pomocą równań Newtona. (C–H) Oscylator kwantowy – to cząstka mikroskopowa, której ruch można poprawnie oipsać jedynie za pomocą równania Schrödingera. Na rys. C–H pokazano niektóre w wielu możliwych funkcji falowych \Psi(x,t), stanowiących rozwiązania równania Schrödingera. Na osi pionowej odłożono część rzeczywistą (kolor niebieski) oraz część urojoną (kolor czerwony) funkcji falowej, uzależnione od położenia cząstki x, odłożonego na osi poziomej. Rys. C,D,E,F ale nie G,H przedstawiają stany stacjonarne (o stałej energii). H przedstawia stan koherentny — stan kwantowy, który przybliża ruch oscylatora klasycznego.

W mechanice kwantowej do opisu ruchu układów fizycznych stosuje się zamiast równania Newtona równanie Schrödingera. Konkretna jego postać zależy od opisywanej sytuacji fizycznej. Jedną z metod znalezienia postaci równania Schrödingera w konkretnych przypadkach jest tzw. metoda kwantowania, polegająca na zamianie w równaniach ruchu mechaniki klasycznej pędu ciała \hat p na operator pędu. Współrzędne położenia ciała, np. x , pozostawia się przy tym bez zmian (nadając mu teraz nazwę operatora położenia). (Słuszność tej metody uzasadnia fakt, że otrzymane za jej pomocą równania dają przewidywania zgodne z wynikami eksperymentów). W przypadku ruchu jednowymiarowego operator pędu ma postać:

\hat p= - i\hbar\frac{d}{dx}

Ponieważ poszukiwany jest opis stanu układu w zależności od współrzędnych x, dlatego trzeba znaleźć jawną postać równania Schrödingera w reprezentacji położeniowej, przy czym dla uproszczenia założymy, że energia układu jest niezmienna. (Podobnie zakłada się rozwiązując zagadnienie poziomów energetycznych atomu wodoru). Jest to uzasadnione, jeżeli układ drgający pozostaje dłuższy czas w izolacji od otoczenia. Dlatego stosuje się równanie Schrödingera niezależne od czasu:

\hat H \Psi(x, t) = E\ \Psi(x, t).

gdzie E oznacza energię układu. Pozostaje znalezienie jawnej postaci operatora Hamiltona \hat H . W tym celu do wyrażenia na energię całkowitą E oscylatora klasycznego (patrz wyżej) w miejsce klasycznego pędu p podstawia się operator pędu \hat p :

\hat H = \frac{{\hat p}^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2

Podstawiając jawną postać operatora pędu otrzymuje się ostatecznie:

\hat H = \frac{{-\hbar}^2}{2m} \frac{d^2}{d x^2}  + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2

Równanie Schrödingera bez czasu przyjmuje więc postać:

\frac{{-\hbar}^2}{2m}
 \frac{d^2}{d x^2}\psi(x)  + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2\psi(x)=E\psi(x)

Rozwiązanie tego równania daje zbiór możliwych stanów stacjonarnych

  \psi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{2^n\,n!}}  \left(\frac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4} \!\!\!\!\!\!\cdot e^{
- \frac{m\omega x^2}{2 \hbar}}\! \cdot  H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x \right), \quad n = 0,1,2,\ldots
Energia potencjalna oscylatora (niebieska parabola) i kilka pierwszych stanów własnych \psi_n(x) w zależności od wielkości oscylacji x. Wykresy umieszczono na wysokościach odpowiadających energiom E_n tych stanów. Zaznaczono skok wartości energii \hbar \omega. Energia stanu podstawowego jest większa od zera. Widać też, że amplituda ruchu wzrasta z energią.
Gęstości prawdopodobieństwa P_n(x)=|\psi_n(x)|^2odpowiadające funkcjom falowym \psi_n(x). Z wykresów widać, że szansa znalezienia oscylatora w pobliżu maksymalnego wychylenia x od położenia równowagi jest największa. Odpowiada to sytuacji oscylatora klasycznego, który w punktach amplitudy przebywa najdłużej. U dołu – gęstość prawdopodobieństwa dla stanu podstawowego: widać, że w tym stanie oscylator najczęściej znajduje się w położeniu równowagi. Zaznaczono wartości energii E_n(x) odpowiadające rozkładom P_n(x).
gdzie:
H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\!\!\cdot\! \frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}

oznaczają wielomiany Hermita, gdzie np.

\begin{align}
H_0(x)&=1\\
H_1(x)&=2x\\
H_2(x)&= (2x)^2 - 2 = 4x^2-2\\
H_3(x)&= (2x)^3 - 6 (2x) = 8x^3-12x\\
H_4(x)&= (2x)^4 - 12 (2x)^2 + 12 = 16x^4-48x^2+12\\
\ldots
\end{align}

Postać funkcji falowych \psi_0(x),\ldots\psi_7(x) pokazuje rysunek obok.

Stanom  \psi_n(x) odpowiadają energie oscylatora:

 E_n = \hbar \omega \left(n + {1\over 2}\right),\quad n=0,1,2...

Układ kwantowy drgający harmonicznie przyjmuje tylko wyróżnione wartości energii, czym różni się od układu klasycznego (makroskopowego) – ten ostatni może drgać mając dowolną wartość energii. Ponieważ drgające układy mikroskopowe faktycznie przyjmują dyskretne poziomy energii, widoczne się staje, że teoria Schrödingera dostarcza właściwego ich opisu.

Różnica między kolejnymi poziomami energii jest stała i wynosi  \hbar \omega. Animacja u góry pokazuje, że poziomy rzeczywistej cząsteczki HCl dla większych energii En stopniowo zagęszczają się. Dla większych energii wzrasta amplituda i drgania przestają być harmoniczne, co było zakłądane wcześniej. Opis takiego ruchu wymagałby dodania do Hamiltonianu dodatkowego wyrazu, odpowiadającego za nieharmoniczny składnik siły. Drugie spostrzeżenie: najmniejsza energia drgań nie jest zerowa, gdyż  E_0 = 1/2 \hbar \omega . Jest to tzw. energia drgań zerowych, która nie jest znana fizyce klasycznej. Istnienie tej energii oznacza, że układ kwantowy nigdy nie może być w absolutnym spoczynku.

Bozonowy oscylator harmoniczny[edytuj | edytuj kod]

Rozwiązanie równania Schrödingera oscylatora metodą bezpośrednią jest bardzo złożone. Powyżej został podany jedynie wynik. Jednak można uprościć poszukiwanie rozwiązania stosując tzw. metodę algebraiczną[2][3]. Metoda ta polega na zastąpieniu operatorów  x, \hat p operatorami anihilacji a oraz kreacji a^{\dagger} (zdefiniowano je dalej).

Tę samą metodą stosuje się do kwantowania pół fizycznych w kwantowej teorii pola. Pola te dzieli się na bozony (o spinie całkowitym) i fermiony (o spinie połówkowym). Bozony są opisywane za pomocą hamiltonianu identycznego z hamiltonianem pojedynczego kwantowego oscylatora harmonicznego. Dlatego np. pole elektromagnetyczne (które ma spin 1) opisuje się jako sumę wzbudzeń wielu oscylatorów harmonicznych, z których każdy ma inną częstotliwość drgań i właściwą sobie energię. Fermiony zaś są wzbudzeniami oscylatorów Fermiego (omówiono je w następnym rozdziale)

Operatory kreacji i anihilacji[edytuj | edytuj kod]

Operatory anihilacji i kreacji definiuje się następująco:

a=\frac{1}{\sqrt{2}}\bigg(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x + i\frac{1}{\sqrt{m \omega \hbar}}\hat p \bigg),
a^{\dagger}=\frac{1}{\sqrt{2}}\bigg(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x - i\frac{1}{\sqrt{m \omega \hbar}}\hat p \bigg)

Operatory położenia  x i pędu \hat p wyrażone przez te operatory mają postać

x = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}(a+a^{\dagger}),
 \hat p = i\sqrt{\frac{m \omega\hbar}{2}}(a^{\dagger}-a).

Użyteczność metody algebraicznej bierze się stąd, że operatory a oraz a^{\dagger} dają proste reguły komutacjne, przy czym przez komutator rozumiane jest wyrażenie [A,B]=A B - B A

[a,a^\dagger]=1,
[N, a]= - a,
[N,a^\dagger]=a^\dagger,

gdzie N= a^{\dagger} a to tzw. operator liczby cząstek. Dzięki temu złożone przekształcenia zostają zastąpione prostszymi manipulacjami na symbolach.

Operator Hamiltona wyrażony przez te operatory przyjmuje postać

\hat H=\frac{1}{2}\hbar \omega 
(a^{\dagger} a + a a^{\dagger})= \hbar \omega \bigg(a^{\dagger} a + \frac{1}{2}\bigg)

przy czym ostatni wzór uzyskuje się wykorzystując własność [a,a^\dagger]=1. Niech |n\rang\equiv \psi_n (w zapisie Diraca) oznacza stan własny oscylatora o energii E_n. Ponieważ szukane są stany stacjonarne oscylatora, to należy rozwiązać równanie Schrödingera bez czasu:

\hat H|n\rang =\hbar \omega \bigg(a^{\dagger} a + \frac{1}{2}\bigg)|n\rang =E_n|n\rang

Aby to zrobić, zostanie najpierw pokazane, jak operatory kreacji i anihilacji działają na stany oscylatora.

Działanie operatorów kreacji i anihilacji na stany własne oscylatora[edytuj | edytuj kod]

Mnożąc powyższe równanie z lewej strony przez  a^\dagger otrzymuje się

\hbar \omega \bigg(a^{\dagger}a^{\dagger} a + \frac{1}{2}a^{\dagger}\bigg)|n\rang =E_n a^{\dagger}|n\rang

Korzystając z komutatora [a,a^\dagger]=1 dostaniemy:

\hbar \omega \bigg( (a^\dagger a a^\dagger a -a^\dagger)+ \frac{1}{2}  a^\dagger \bigg)|n\rang =E_n a^\dagger |n\rang

i stąd

\hbar \omega \bigg( a^\dagger a + \frac{1}{2}\bigg) (a^\dagger  |n\rang) 
=(E_n +\hbar\omega)(a^\dagger |n\rang)

czyli

\hat H \,(a^\dagger  |n\rang) 
=(E_n +\hbar\omega)(a^\dagger |n\rang)

Wynika stąd, że stany (a^\dagger |n\rang) są stanami własnymi operatora Hamiltona, którym odpowiadają wartości własne (E_n +\hbar\omega). Inaczej patrząc na ten wynik można powiedzieć, że operator a^{\dagger} działając na dowolny stan |n\rang tworzy stan o energii powiększonej o kwant \hbar\omega względem energii E_n stanu, na który działa. Stąd nazwa tego operatora – operator kreacji.

Podobnie, mnożąc równanie Schrödingera przez operator anihilacji a

\hat H \,(a  |n\rang) =(E_n -\hbar\omega)(a |n\rang)

co oznacza, że operator a działając na dowolny stan |n\rang tworzy stan o energii mniejszej o \hbar\omega od energii E_n stanu, na który działa; stanowi a |n\rang odpowiada bowiem energia (E_n -\hbar\omega) .

Dokładne obliczenia pokazują, że działanie operatorów kreacji i anihilacji na stany własne jest następujące:

\begin{align} a\left|n\right\rangle&=\sqrt{n}\,\left|n-1\right\rangle\\
a^\dagger\left|n\right\rangle&=\sqrt{n+1}\,\left|n+1\right\rangle
\end{align}

Stan zerowy oscylatora i energie własne[edytuj | edytuj kod]

Aby znaleźć najniższy możliwy stan oscylatora zauważmy, że operator anihilacji działając wielokrotnie na dany stan wyjściowy bedzie tworzył stany o coraz mniejszej energii. Ponieważ energia oscylacji nie może być mniejsza od zera, więc trzeba przyjąć, że istnieje stan najniższy, |0\rang, taki że działanie operator anihilacji na ten stan daje zero:

a|0\rang=0

przy czym jeżeli w obliczeniach stan |0\rang zostanie wyzerowany, to działając następnie jakimkolwiek operatorem otrzyma się nadal zero, czyli:

\hat H \,(a  |0\rang) =(E_0 -\hbar\omega)(a |0\rang)=0

Działając operatorem Hamiltona na stan zerowy otrzyma się:

\hat H|0\rangle=\hbar \omega \bigg( a^\dagger a + \frac{1}{2}\bigg) |0\rang =\frac{1}{2}\hbar\omega a^\dagger a|0\rang + \frac{1}{2}\hbar\omega|0\rang = \ldots=\frac{1}{2}\hbar\omega|0\rang

co ozacza, że energia stanu zerowego wynosi E_0=\frac{1}{2}\hbar\omega.

Ponieważ E_{n+1}=E_n + \hbar \omega , to otrzymuje się wartości dowolnych energii własnych:

E_n=\hbar \omega \bigg(n + \frac{1}{2}\bigg), \quad  n=0,1,\ldots

Wyrażenie stanów własnych za pomocą operatora kreacji[edytuj | edytuj kod]

Stany własne |n\rangle można wyrazić za pomocą operatora kreacji  a^\dagger

|n\rang =\frac{1}{\sqrt{n!}}(a^\dagger)^{n}|0\rang.

Dowód:

\begin{align}
\langle n|aa^{\dagger}|n\rangle&=\langle n|\left([a,a^{\dagger}]+a^{\dagger}a\right)|n\rangle=\langle n|\left(N+1\right)|n\rangle=n+1\\\Rightarrow a^{\dagger}|n\rangle&=\sqrt{n+1}|n+1\rangle\\\Rightarrow|n\rangle&=\frac{a^{\dagger}}{\sqrt{n}}|n-1\rangle=\frac{\left(a^{\dagger}\right)^{2}}{\sqrt{n(n-1)}}|n-2\rangle=\cdots=\frac{\left(a^{\dagger}\right)^{n}}{\sqrt{n!}}|0\rangle.
\end{align}

Funkcja własna stanu zerowego[edytuj | edytuj kod]

Aby znaleźć postać stanu |0\rang w reprezentacji położeniowej, należy przedstawić operator anihilacji w jawnej postaci, podstawiając \hat p=-i\hbar \frac{d}{dx}.

a= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x + {\sqrt\frac{\hbar}{m \omega }}\frac{d}{dx}\right)

Podstawiając stałą pomocniczą \xi=\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}} operator anihilacji przyjmie postać

a= \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\frac{1}{\xi} x + \xi\frac{d}{dx}\right)

Stan |0\rang wyrażony w bazie piłożeniowej zapisać można w postaci \psi_0(x)=\langle x|0\rang; ponieważ operator anihilacji działając na ten stan ma go zerować, spełnione jest równanie

a \psi_0(x) =0

czyli

\frac{1}{\sqrt{2}}
\left(\frac{1}{\xi} x + \xi\frac{d}{dx}\right)\psi_0(x)=0

Jest to równanie różniczkowe 1. stopnia. Po znalezieniu rozwiązania i podstawiając z powrotem wyrażenie na \xi otrzymuj się:

\psi_{0}(x) = C_{0}\exp\Bigg(\!\!-{{\frac{m\omega}{\hbar}}\frac{x^2}{2}}\Bigg) ,

gdzie C_0 – stała normalizacyjna. Funkcja ta jest funkcją wykładniczą, symetrycznie zanikającą w nieskończonościach, mającą maksimum dla x=0. Oznacza to, że dla energii drgań zerowych najwieksze jest prawdopodobieństwo znalezienia oscylatora w stanie róznowagi (porównaj wykresy gęstości prawdopodobieństw |\psi_n(x)|^2 umieszczone w poprzednim rozdziale).

Funkcje własne stanów wzbudzonych[edytuj | edytuj kod]

Za pomocą operatora kreacji a^\dagger można teraz obliczyć funkcje falowe stanów wzbudzonych:

\psi_1=a^\dagger\psi_0,
\psi_2=\frac{1}{\sqrt{2}}a^\dagger\psi_1=
\frac{1}{\sqrt{2}}(a^\dagger)^2\psi_0,
\psi_n (x)=\frac{1}{\sqrt{n!}}(a^\dagger)^{n}\psi_0

Do obliczenia stanów wzbudzonych wystarczy znaleźć wynik działania potęgi operatora kreacji na stan zerowy. Operator a^\dagger w jawnej postaci uzyskuje się analogicznie jak w przypadku oparatora a :

a^\dagger=
\frac{1}{\sqrt{2}}
\left(   \frac{1}{\xi} x - \xi\frac{d}{dx}\right)

Powyższy operator różniczkowy działając n-krotnie na funkcją wykładniczą \psi_{0} = C_{0}\exp\Bigg(\!\!-{{\frac{m\omega}{\hbar}}\frac{x^2}{2}}\Bigg) reprodukuje ten sam czynnik wykładniczy, pomnożony przez wielomian n-tego rzędu względem x.

Ostatecznie otrzymamy:

\psi_n (x)=\frac{1}{\sqrt{n!}}(a^\dagger)^{n}\psi_0(x)=C_n H_n
\bigg(\frac{x}{\xi}\bigg)\psi_0(x)

gdzie:

H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}

wielomianami Hermite'a, C_n jest stałą normalizacyjną, \xi=\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}.

Algebra Heisenberga[edytuj | edytuj kod]

Powyżej zdefiniowane operatory tworzą grupę operatorów

X_i=\{I,a,a^\dagger, N\}

Grupa ta rozpina algebrę Heisenberga o następujących komutatorach

[a,a^\dagger]=1,
[a,a]=[a^{\dagger},a^{\dagger}]=0,
[N,a]= - a,
[N,a^{\dagger}]=a^{\dagger},
[I,X_i]=0.

Fermionowy oscylator harmoniczny[edytuj | edytuj kod]

Fermionowy oscylator harmoniczny opisuje hamiltonian:

H=\frac{1}{2}\hbar \omega(c^\dagger c - c c^\dagger )

Operatory X_i=\{I,c,c^\dagger,N=c^\dagger c\} rozpinają algebrę gradowaną o następujących związkach:

\{c,c^\dagger\}=1,
\{c,c\}=\{c^\dagger,c^\dagger\}=0,
[N,c]= - c,
[N,c^\dagger]=c^\dagger,
[I,X_i]=0.

Hamiltonian można przekształcić do postaci

H=\hbar \omega(N - \frac{1}{2})=\hbar \omega N + E_0,

gdzie E_0= - \frac{1}{2}\hbar\omega jest energią stanu podstawowego.

Reguła komutacyjna \{c^\dagger,c^\dagger\}=0 wyraża zakaz Pauliego: Fermionowy oscylator harmoniczny istnieje tylko w stanie próżni |0\rang lub w pierwszym stanie wzbudzonym |1\rang=c^\dagger|0\rang. Drugi stan wzbudzony |2\rang=(c^\dagger)^2|0\rang nie istnieje, bo z reguł antykomutacyjnych wynika, iż (c^\dagger)^2=0 (czyli |2\rang=(c^\dagger)^2|0\rang=0). Dozwolonym stanom odpowiadają dwie wartości własne operatora energii E_0= - \frac{1}{2}\hbar\omega oraz E_1= \frac{1}{2}\hbar\omega.

Supersymetria[edytuj | edytuj kod]

Hamiltonian bozonowy i fermionowy mają łącznie dodatkową symetrię, która miesza bozonowe stopnie swobody z fermionowymi – nosi ona nazwę supersymetrii, a opisuje ją wzór:

H= \frac{1}{2} \hbar \omega ( \{ a^\dagger,a \}+[c^\dagger,c]).

Symetria ta jest generowana jest przez operatory: Q= \sqrt{2 \omega}a^\dagger c oraz Q^\dagger= \sqrt{2 \omega}c^\dagger a, które spełniają relację:

\{ Q,Q^\dagger \}=2 H .

Ta własność jest podstawą konstrukcji supersymetrycznej teorii pola.

Przypisy

  1. 1,0 1,1 E. H. Wichman: Fizyka kwantowa. Warszawa: PWN, 1973.
  2. Christopher C. Gerry, Peter L. Knight, Wstęp do optyki kwantowej, PWN, Warszawa 2007, s. 19–25. ISBN 978-83-01-15357-1
  3. Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, and Frank Laloë. Quantum Mechanics. Vol. I, 1991. Wiley, New York, s. 483–502. ISBN 0-471-16433-X

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • R. L. Liboff: Wstęp do mechaniki kwantowej. Warszawa: PWN, 1987, s. 164–180.
  • Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, and Frank Laloë, Quantum Mechanics, Vol. I, 1991. Wiley, New-York,ISBN 0-471-16433-X, str. 481–541.