Podczas swojej kariery Budai zdobył 4 tytuły mistrza Węgier. Pierwsze mistrzostwo przyszło w 1949 gdy grał w Ferenvarosie, pomagali mu wówczas w tym tak świetni piłkarze jak Zoltán Czibor czy Sándor Kocsis. Tego samego roku Węgry stały się krajem demokracji ludowej – socjalistycznym. Najlepsi piłkarze zostali przeniesieni do wojskowego Honvedu. W tym klubie zdobył pozostałe 3 tytuły mistrzowskie oraz pomógł klubowi wygrać Puchar Mitropa.
