Lagranżjan

Lagranżjan (L, inaczej funkcja Lagrange’a) – gęstość funkcjonału działania S charakteryzującego właściwości mechaniczne układu fizycznego.

Ruch układu w mechanice klasycznej opisywany jest za pomocą trajektorii q(t) podającej zależność położenia q od czasu t (q należy rozumieć jako współrzędne wektora położenia w przestrzeni konfiguracyjnej układu). Zgodnie z zasadą najmniejszego działania ruch układu mechanicznego przebiega w taki sposób, aby pewien funkcjonał (operator na przestrzeni dopuszczalnych funkcji q(t)) S przyjmował najmniejszą możliwą wartość (ściślej: wartość stacjonarną, czyli aby nie zmieniał się przy nieskończenie małej zmianie toru, tak jak nie zmienia się w minimum). Funkcjonał ten – nazywany działaniem i oznaczany zwykle przez S – ma postać całki, zaś całkowanie przebiega po czasie:

$S[q]=\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}L(q(t),{\dot {q}}(t),t)dt$$S[q]=\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}L(q(t),{\dot {q}}(t),t)dt$

We wzorze tym $L(q(t),{\dot {q}}(t),t)$$L(q(t),{\dot {q}}(t),t)$ to lagranżjan, a ${\dot {q}}$$\dot{q}$ oznacza pochodną $q$$q$ po czasie.

Lagranżjan w nierelatywistycznej mechanice klasycznej zdefiniowany jest wzorem:

$L(q(t),{\dot {q}}(t),t)=T(q(t),{\dot {q}}(t),t)-U(q(t),{\dot {q}}(t),t)$$L(q(t),{\dot {q}}(t),t)=T(q(t),{\dot {q}}(t),t)-U(q(t),{\dot {q}}(t),t)$

gdzie T – energia kinetyczna, zaś U – uogólniona energia potencjalna.

Lagranżjan występuje też w teorii pola. Jest w niej całką po całej przestrzeni z gęstości lagranżjanu ${\mathcal {L}}$$\mathcal{L}$ (często nazywanej nieściśle lagranżjanem):

$L=\int d^{3}x{\mathcal {L}}(\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x),x)$$L=\int d^{3}x{\mathcal {L}}(\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x),x)$

gdzie

• $x=(x^{0},{\vec {x}})$$x=(x^{0},{\vec {x}})$ to czterowektor położenia
• $\varphi (x)$$\varphi (x)$ to wartość pola w punkcie czasoprzestrzeni $x$$x$
• $\int d^{3}x\equiv \int _{-\infty }^{+\infty }dx^{1}\int _{-\infty }^{+\infty }dx^{2}\int _{-\infty }^{+\infty }dx^{3}$$\int d^{3}x\equiv \int _{-\infty }^{+\infty }dx^{1}\int _{-\infty }^{+\infty }dx^{2}\int _{-\infty }^{+\infty }dx^{3}$
• $\partial _{\mu }\varphi =\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x^{0}}},{\frac {\partial \varphi }{\partial x^{1}}},{\frac {\partial \varphi }{\partial x^{2}}},{\frac {\partial \varphi }{\partial x^{3}}}\right)$$\partial _{\mu }\varphi =\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x^{0}}},{\frac {\partial \varphi }{\partial x^{1}}},{\frac {\partial \varphi }{\partial x^{2}}},{\frac {\partial \varphi }{\partial x^{3}}}\right)$ to czterowektor kowariantny pochodnych cząstkowych pola

Zobacz też

• równania Eulera-Lagrange’a
• mnożniki Lagrange’a
• hamiltonian
• grawitacyjna całka działania