Lagranżjan

Lagranżjan (inaczej funkcja Lagrange’a) – gęstość funkcjonału działania $S$ charakteryzująca właściwości mechaniczne układu fizycznego.

Mechanika klasyczna

W nierelatywistycznej mechanice klasycznej Lagranżjan zdefiniowany jest wzorem:

$L(q(t),{\dot {q}}(t),t)=T(q(t),{\dot {q}}(t),t)-U(q(t),{\dot {q}}(t),t)$

gdzie $T$– energia kinetyczna, zaś $U$ – uogólniona energia potencjalna.

Lagranżjan ma podstawowe znaczenie w sformułowaniu zasady najmniejszego działania. Mianowicie, ruch układu w mechanice klasycznej opisywany jest za pomocą trajektorii $q(t)$ podającej zależność położenia układu w przestrzeni konfiguracyjnej w zależności od czasu $t$. Zgodnie z zasadą najmniejszego działania ruch układu mechanicznego przebiega w taki sposób, że funkcjonał $S$ nazywany działaniem działający na przestrzeni wszystkich możliwych funkcji $q(t)$ przyjmuje wartość stacjonarną, czyli nie zmienia się przy nieskończenie małej zmianie toru (np. jest tak w pobliżu minimum funkcji). Funkcjonał ten ma postać całki po czasie:

$S[q]=\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}L(q(t),{\dot {q}}(t),t)dt$

We wzorze tym $L(q(t),{\dot {q}}(t),t)$ oznacza lagranżjan, a ${\dot {q}}$ oznacza pochodną $q$ po czasie.

Teoria pola

W teorii pola Lagranżjan jest całką po całej przestrzeni z gęstości lagranżjanu ${\mathcal {L}}$ (często nazywanej nieściśle lagranżjanem):

$L=\int d^{3}x{\mathcal {L}}(\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x),x)$

gdzie

• $x=(x^{0},{\vec {x}})$ to czterowektor położenia
• $\varphi (x)$ to wartość pola w punkcie czasoprzestrzeni $x$
• $\int d^{3}x\equiv \int _{-\infty }^{+\infty }dx^{1}\int _{-\infty }^{+\infty }dx^{2}\int _{-\infty }^{+\infty }dx^{3}$
• $\partial _{\mu }\varphi =\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x^{0}}},{\frac {\partial \varphi }{\partial x^{1}}},{\frac {\partial \varphi }{\partial x^{2}}},{\frac {\partial \varphi }{\partial x^{3}}}\right)$ to czterowektor kowariantny pochodnych cząstkowych pola

Zobacz też

• równania Eulera-Lagrange’a
• mnożniki Lagrange’a
• hamiltonian
• grawitacyjna całka działania