Lagranżjan

Lagranżjan (inaczej funkcja Lagrange’a) – gęstość funkcjonału działania $S$ charakteryzująca właściwości mechaniczne układu fizycznego.

Mechanika klasyczna[edytuj | edytuj kod]

W nierelatywistycznej mechanice klasycznej Lagranżjan zdefiniowany jest wzorem:

L(q(t),{\dot {q}}(t),t)=T(q(t),{\dot {q}}(t),t)-U(q(t),{\dot {q}}(t),t)

gdzie $T$ – energia kinetyczna, zaś $U$ – uogólniona energia potencjalna.

Lagranżjan ma podstawowe znaczenie w sformułowaniu zasady najmniejszego działania. Mianowicie, ruch układu w mechanice klasycznej opisywany jest za pomocą trajektorii $q(t)$ podającej zależność położenia układu w przestrzeni konfiguracyjnej w zależności od czasu $t$ . Zgodnie z zasadą najmniejszego działania ruch układu mechanicznego przebiega w taki sposób, że funkcjonał $S$ nazywany działaniem działający na przestrzeni wszystkich możliwych funkcji $q(t)$ przyjmuje wartość stacjonarną, czyli nie zmienia się przy nieskończenie małej zmianie toru (np. jest tak w pobliżu minimum funkcji). Funkcjonał ten ma postać całki po czasie:

S[q]=\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}L(q(t),{\dot {q}}(t),t)dt

We wzorze tym $L(q(t),{\dot {q}}(t),t)$ oznacza lagranżjan, a ${\dot {q}}$ oznacza pochodną $q$ po czasie.

Teoria pola[edytuj | edytuj kod]

W teorii pola Lagranżjan jest całką po całej przestrzeni z gęstości lagranżjanu ${\mathcal {L}}$ (często nazywanej nieściśle lagranżjanem):

L=\int d^{3}x{\mathcal {L}}(\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x),x)

gdzie

$x=(x^{0},{\vec {x}})$ to czterowektor położenia
$\varphi (x)$ to wartość pola w punkcie czasoprzestrzeni $x$
$\int d^{3}x\equiv \int _{-\infty }^{+\infty }dx^{1}\int _{-\infty }^{+\infty }dx^{2}\int _{-\infty }^{+\infty }dx^{3}$
$\partial _{\mu }\varphi =\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x^{0}}},{\frac {\partial \varphi }{\partial x^{1}}},{\frac {\partial \varphi }{\partial x^{2}}},{\frac {\partial \varphi }{\partial x^{3}}}\right)$ to czterowektor kowariantny pochodnych cząstkowych pola