Lagranżjan

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Lagranżjan (inaczej funkcja Lagrange’a) – gęstość funkcjonału działania charakteryzująca właściwości mechaniczne układu fizycznego.

Mechanika klasyczna[edytuj]

W nierelatywistycznej mechanice klasycznej Lagranżjan zdefiniowany jest wzorem:

gdzie – energia kinetyczna, zaś – uogólniona energia potencjalna.

Lagranżjan ma podstawowe znaczenie w sformułowaniu zasady najmniejszego działania. Mianowicie, ruch układu w mechanice klasycznej opisywany jest za pomocą trajektorii podającej zależność położenia układu w przestrzeni konfiguracyjnej w zależności od czasu . Zgodnie z zasadą najmniejszego działania ruch układu mechanicznego przebiega w taki sposób, że funkcjonał nazywany działaniem działający na przestrzeni wszystkich możliwych funkcji przyjmuje wartość stacjonarną, czyli nie zmienia się przy nieskończenie małej zmianie toru (np. jest tak w pobliżu minimum funkcji). Funkcjonał ten ma postać całki po czasie:

We wzorze tym oznacza lagranżjan, a oznacza pochodną po czasie.

Teoria pola[edytuj]

W teorii pola Lagranżjan jest całką po całej przestrzeni z gęstości lagranżjanu (często nazywanej nieściśle lagranżjanem):

gdzie

  • to czterowektor położenia
  • to wartość pola w punkcie czasoprzestrzeni
  • to czterowektor kowariantny pochodnych cząstkowych pola

Zobacz też[edytuj]