Lagranżjan

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Lagranżjan (L, inaczej funkcja Lagrange’a) – gęstość funkcjonału działania S charakteryzującego właściwości mechaniczne układu fizycznego.

Ruch układu w mechanice klasycznej opisywany jest za pomocą trajektorii q(t) podającej zależność położenia q od czasu t (q należy rozumieć jako współrzędne wektora położenia w przestrzeni konfiguracyjnej układu). Zgodnie z zasadą najmniejszego działania ruch układu mechanicznego przebiega w taki sposób, aby pewien funkcjonał (operator na przestrzeni dopuszczalnych funkcji q(t)) S przyjmował najmniejszą możliwą wartość (ściślej: wartość stacjonarną, czyli aby nie zmieniał się przy nieskończenie małej zmianie toru, tak jak nie zmienia się w minimum). Funkcjonał ten – nazywany działaniem i oznaczany zwykle przez S – ma postać całki, zaś całkowanie przebiega po czasie:

We wzorze tym to lagranżjan, a oznacza pochodną po czasie.

Lagranżjan w nierelatywistycznej mechanice klasycznej zdefiniowany jest wzorem:

gdzie T – energia kinetyczna, zaś U – uogólniona energia potencjalna.

Lagranżjan występuje też w teorii pola. Jest w niej całką po całej przestrzeni z gęstości lagranżjanu (często nazywanej nieściśle lagranżjanem):

gdzie

  • to czterowektor położenia
  • to wartość pola w punkcie czasoprzestrzeni
  • to czterowektor kowariantny pochodnych cząstkowych pola

Zobacz też[edytuj kod]