Operator Laplace’a, laplasjan – operator różniczkowy drugiego rzędu, wprowadzony przez Pierre’a Simona de Laplace’a. W układzie kartezjańskim 3-wymiarowym ma postać[1]:
Operator ten uogólnia się na przestrzenie euklidesowe -wymiarowe z dowolnymi układami współrzędnych krzywoliniowych (w tym ze współrzędnymi kartezjańskimi) oraz na dowolne przestrzenie riemannowskie i pseudoriemannowskie.
(1) Operator Laplace’a występuje w wielu równaniach fizyki, np.
(2) W teorii prawdopodobieństwa laplasjan jest generatorem procesu Wienera.
Operator Laplace’a – współrzędne kartezjańskie[edytuj | edytuj kod]
Definicja operatora Laplace’a w -wymiarowym układzie kartezjańskim
Operator Laplace’a – ortogonalne współrzędne krzywoliniowe[edytuj | edytuj kod]
(1) Operator Laplace’a w -wymiarowym ortogonalnym krzywoliniowym układzie współrzędnych ma postać
gdzie:
- – współrzędne krzywoliniowe,
- – współczynniki Lamego, tj.
gdzie:
Zauważmy, że współczynniki Lamego są w ogólności funkcjami współrzędnych (por. przykład poniżej), dlatego nie można ich przesunąć przed pochodną w powyższym wzorze. Powyższy wzór wyprowadza się wychodząc od definicji operatora Laplace’a w układzie kartezjańskim i dokonując podstawienia pod współrzędne kartezjańskie zależności funkcyjne od innych zmiennych.
(2) W szczególności w układzie 3-wymiarowym mamy
czyli
Z powyższego ogólnego wzoru można otrzymać w szczególności postać operatora Laplace’a w układzie współrzędnych sferycznych
lub
Z ogólnego wzoru można otrzymać postać operatora Laplace’a w układzie współrzędnych walcowych
Przykład: Obliczenie operatora Laplace’a z ogólnego wzoru[edytuj | edytuj kod]
Pokażemy tu, jak obliczyć operator Laplace’a we współrzędnych sferycznych, wychodząc od ogólnego wzoru.
Współrzędne sferyczne są związane ze współrzędnymi kartezjańskimi za pomocą zależności
Kowariantny tensor metryczny ma postać (patrz: tensor metryczny- przykłady)
zatem współczynniki Lamego są następujące
Wstawiając powyższe współczynniki Lamego do ogólnego wzoru na laplasjan w -wymiarowym krzywoliniowym układzie współrzędnych i wykonując różniczkowanie otrzymuje się szukany wzór
Operator Laplace’a – dowolne współrzędne krzywoliniowe[edytuj | edytuj kod]
Operator Laplace’a w -wymiarowym krzywoliniowym układzie współrzędnych ma postać
(1) ogólny wzór
(2) z użyciem symboli
gdzie:
- – odwrotny tensor metryczny,
- – symbole Christoffela układu krzywoliniowego.
(3) z użyciem odwrotnego tensora metrycznego
gdzie:
- – wyznacznik tensora metrycznego.
(patrz równanie Voss-Weyla dotyczące dywergencji)
Związek operatora Laplace’a z gradientem i dywergencją[edytuj | edytuj kod]
Słuszne są następujące twierdzenia:
Tw. 1 Laplasjan funkcji skalarnej jest równy dywergencji z gradientu tej funkcji
lub równoważnie
Tw. 2 Laplasjan funkcji wektorowej wyraża się przez operatory gradientu i rotacji
lub równoważnie
Tw. 3 Laplasjan iloczynu funkcji skalarnych oblicza się według poniższego wzoru
lub równoważnie
Działanie operatora Laplace’a na funkcję wektorową[edytuj | edytuj kod]
Operator Laplace’a działając na funkcję wektorową zapisaną w układzie kartezjańskim w postaci
tworzy wektor, którego współrzędnymi są wielkości obliczone z funkcji współrzędnych tej funkcji wektorowej, tj.
lub równoważnie
W innych układach współrzędnych działanie operatora Laplace’a wyraża się bardziej złożonymi wzorami.
Operatory różniczkowe
(1) Operatory różniczkowe 4-wymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego
(2) Operatory różniczkowe 3-wymiarowej przestrzeni Euklidesowej
(3) Operatory różniczkowe w n-wymiarowej rozmaitości pseudoriemannowskiej