Lemat Auerbacha

Lemat Auerbacha – w analizie funkcjonalnej, twierdzenie mówiące, że w każdej skończenie wymiarowej przestrzeni unormowanej $X$ istnieje taka baza $\{e_{1},\dots ,e_{n}\},$ że

$\|e_{1}\|=\ldots =\|e_{n}\|=\|e_{1}^{*}\|=\ldots =\|e_{n}^{*}\|=1,$

gdzie symbolami $e_{1}^{*},\dots ,e_{n}^{*}$ oznaczone są elementy (funkcjonały) bazy sprzężonej do wyjściowej bazy $e_{1},\dots ,e_{n}.$ Bazy o tej własności nazywane są bazami Auerbacha.

Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska Hermana Auerbacha, polskiego matematyka, który udowodnił najpierw przypadek dwuwymiarowy w swojej rozprawie doktorskiej napisanej we Lwowie, a następnie w przypadku ogólnym (dowód Auerbacha przypadku ogólnego nie zachował się). Alternatywne dowody podali M.M. Day i A.E. Taylor. Pojęcie układu Auerbacha uogólnia bazy o powyższej własności na przestrzenie nieskończenie wymiarowe.

Dowód Taylora

Niech $X$ będzie $n$-wymiarową przestrzenią unormowaną. Dla danego układu biortogonalnego $(y_{j},y_{j}^{*})_{1\leqslant j\leqslant n}$ rozważmy funkcję

$V(z_{1},\dots ,z_{n})=\det[\langle z_{i},y_{j}^{*}\rangle ]_{i,j=1,\dots ,n}\quad (\|z_{1}\|,\dots ,\|z_{n}\|\leqslant 1).$

Funkcja $V$ jest ciągła. Ponieważ przestrzeń $X$ jest skończenie wymiarowa, z twierdzenia Heinego-Borela wynika, zwartość zbioru

$B_{n}=\{(z_{1},\dots ,z_{n})\in X^{n}\colon \|z_{1}\|,\dots ,\|z_{n}\|\leqslant 1\}.$

Ze zwartości $B_{n}$ oraz ciągłości funkcji $V$ wynika istnienie takiego punktu $(x_{1},\dots ,x_{n})\in B_{n},$ że

$V(x_{1},\dots ,x_{n})=\max\{V(z_{1},\dots ,z_{n})\colon (z_{1},\dots ,z_{n})\in B_{n}\}.$

W szczególności,

$\|x_{1}\|=\ldots =\|x_{n}\|=1.$

Dla każdego $1\leqslant i\leqslant n$ definiujemy funkcjonał $x_{i}^{*}$ wzorem

$\langle x,x_{i}^{*}\rangle ={\frac {V(x_{1},\dots ,x_{i-1},x,x_{i+1},\dots ,x_{n})}{V(x_{1},\dots ,x_{n})}}\quad (x\in X).$

Z $n$-liniowości wyznacznika wynika, że $x_{i}^{*}$ jest funkcjonałem liniowym, ponadto $(x_{j},x_{j}^{*})_{1\leqslant j\leqslant n}$ jest układem biortogonalnym. Pozostaje zauważyć, że

$\|x_{1}^{*}\|=\ldots =\|x_{n}^{*}\|=1.$

Zastosowanie do konstrukcji rzutów na skończenie wymiarowe podprzestrzenie

Lematu Auerbacha używa się by wykazać następujące twierdzenie:

Niech $X$ będzie przestrzenią unormowaną oraz niech $F$ będzie jej $n$-wymiarową podprzestrzenią liniową. Wówczas istnieje rzut (liniowy operator idempotentny) $P\colon X\to E$ o normie co najwyżej $n.$

Dowód. Istotnie, niech $\{f_{1},\dots ,f_{n}\}$ będzie bazą przestrzeni $F$ o tej własności, że

$\|f_{1}\|=\ldots =\|f_{n}\|=\|f_{1}^{*}\|=\ldots =\|f_{n}^{*}\|=1,$

gdzie $\{f_{1}^{*},\dots ,f_{n}^{*}\}$ oznaczają współczynniki stowarzyszone z wektorami bazowymi. Z twierdzenia Hahna-Banacha wynika, że każdy z funkcjonałów $f_{i}^{*}$ daje się przedłużyć do pewnego funkcjonału $\varphi _{i}^{*}\in X^{*}$ o normie 1. Niech

$Px=\sum _{i=1}^{n}\langle x,\varphi _{i}\rangle f_{i}\quad (x\in X).$

Wówczas $P$ jest operatorem liniowym na $X,$ którego obraz zawiera się w $F.$ Ponadto, $Px=x$ dla każdego $x\in F.$ Norma $P$ nie przekracza $n$ ponieważ $P$ jest sumą $n$ operatorów o normie 1. Rzeczywiście,

$\|\langle x,\varphi _{i}\rangle f_{i}\|\leqslant \|x\|\ \|\varphi _{i}\|\ \|f_{i}\|=\|x\|,$

co kończy dowód.

Bibliografia

• Joseph Diestel, Hans Jarchow, Andrew Tonge, Absolutely Summing Operators, s. 146.
• JoramJ. Lindenstrauss JoramJ., LiorL. Tzafriri LiorL., Classical Banach Spaces I and II: Sequence Spaces; Function Spaces, Berlin [etc.]: Springer, 1996, s. 16, ISBN 3-540-60628-9, OCLC 835840252 .
• ReinholdR. Meise ReinholdR., Einführung in die Funktionalanalysis, DietmarD. Vogt, Braunschweig: Vieweg, 1992, ISBN 3-528-07262-8, OCLC 27775675 .brak strony (książka)
• Przemysław Wojtaszczyk, Banach spaces for analysts. Cambridge Studies in Advancod Mathematics, Cambridge University Press, vol. 25, 1991, s. 75.