Lemat Goursata

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Ten artykuł dotyczy teorii grup. Zobacz też: lemat Cauchy’ego-Goursata w analizie zespolonej.

Lemat Goursatatwierdzenie teorii grup charakteryzujące podgrupy iloczynu prostego dwóch grup.

Pierwszy raz pojawiło się ono w pracy Édouarda Goursata pt. Sur les substitutions orthogonales et les divisions régulières de l’espace („O podstawieniach ortogonalnych i podziałach regularnych przestrzeni”) z 1889 roku[1]. W osobnej sekcji pokazane zostanie, w jaki sposób można udowodnić za jego pomocą lemat Zassenhausa.

Lematem Goursata nazywa się również twierdzenie, że grupa automorfizmów wewnętrznych ustalonej grupy jest podgrupą normalną w grupie wszystkich automorfizmów tej grupy, tj. dla grupy zachodzi

Wprowadzenie[edytuj | edytuj kod]

W teorii grup dostępne są trzy standardowe sposoby konstruowania nowych grup z istniejących:

  • wzięcie podgrupy danej grupy
  • wzięcie ilorazu (gdzie jest podgrupą normalną) oraz
  • wzięcie iloczynu prostego dwóch grup oraz

Dla każdej z tych konstrukcji można zapytać: jak wyglądają podgrupy uzyskanej grupy? W dwóch pierwszych przypadkach odpowiedź jest prosta: podgrupa w jest po prostu podgrupą w zawartą w (podgrupą podgrupy jest podgrupą), a z wniosku z twierdzenia o odpowiedniości wynika, że podgrupy mają postać gdzie jest podgrupą w dla której (co więcej, wtedy i tylko wtedy, gdy ). Odpowiedź na trzecie pytanie jest nieco bardziej złożona i jest treścią niniejszego artykułu: mając dane grupy oraz znaleźć wszystkie podgrupy (normalne) w

Iloczyn prosty danych grup i to grupa, której nośnikiem są pary uporządkowane z mnożeniem określonym po współrzędnych: elementem neutralnym jest a element odwrotny to Jeśli jest podgrupą w to jest podgrupą w [a] nazywaną dalej podiloczynem; więcej jest normalna w wtedy i tylko wtedy, gdy każda [b].

Jako wprowadzenie przedstawione zostanie rozwiązanie następującego problemu:

które pary grup i mają tę właściwość, że każda podgrupa (normalna) w jest podiloczynem w ?

Odpowiedź daje następujące

Stwierdzenie
Niech oraz będą nietrywialnymi grupami. Każda podgrupa w jest jej podiloczynem wtedy i tylko wtedy, gdy mają skończone, względnie pierwsze rzędy[c].

wykorzystujące poniższy

Lemat
Niech oraz będą nietrywialnymi grupami. Wówczas jest cykliczna wtedy i tylko wtedy, gdy i są skończonymi grupami cyklicznymi o względnie pierwszych rzędach[d].

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Niech będą grupami.

  1. Niech będzie podgrupą w Niech oraz
    Wówczas są podgrupami w dla których a odwzorowanie dane wzorem gdzie jest izomorfizmem.
    Co więcej: jeśli to oraz cetrum
  2. Niech będą podgrupami w i niech będzie izomorfizmem.
    Wówczas jest podgrupą
    Zakładając ponadto oraz otrzymuje się
  3. Konstrukcje podane w 1. i 2. są wzajemnie odwrotne.

Wnioski[edytuj | edytuj kod]

W literaturze[2] spotyka się również następujące sformułowanie lematu Goursata:

Niech będzie podgrupą w z kanonicznymi rzutami o jądrach dzięki którym można utożsamić z podgrupą normalną w Wówczas obraz w jest wykresem izomorfizmu

Lemat Zassenhausa[edytuj | edytuj kod]

 Zobacz też: lemat Zassenhausa.
Diagram Hassego do lematu Zassenhausa (niestandardowo większe podgrupy znajdują się na dole diagramu, a mniejsze – na górze) obrazujący dodatkowo alternatywne określenie „motyli”.

Niech bedzie grupą, a oraz będą jej podgrupami. Wówczas a grupy ilorazowe oraz są izomorficzne.

Dowód

Zbiór jest podgrupą w [e]. Zgodnie z notacją z lematu Goursata jest oraz (co pokazuje, że są one grupami w ), ponadto i podobnie Zatem skoro to jest podgrupą normalną w jest podgrupą normalną w i stąd oraz są izomorficzne, co kończy dowód.

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  1. Kryterium bycia podgrupą: zbiór jest niepusty, ponieważ należy do niech i skąd wówczas jako że oraz
  2. Nie każda podgrupa (normalna) iloczynu prostego dwóch grup jest podiloczynem: standardowym kontrprzykładem jest grupa czwórkowa Kleina z podgrupą normalną gdzie oznacza grupę liczb całkowitych modulo 2 z działaniem dodawania (ogólnie: dowolna podgrupa przekątniowa w -krotnym iloczynie prostym ).
  3. Konieczność. Niech Wówczas jest podiloczynem zatem Na mocy (poniższego) lematu mają skończone, względnie pierwsze rzędy.
    Dostateczność. Niech będzie podgrupą i niech Ponieważ rzędy są względnie pierwsze, to dowód (poniższego) lematu daje skąd zatem gdzie oraz
  4. Konieczność. Niech będzie cykliczna, tj. Niech tak, by dla pewnej liczby całkowitej W ten sposób oraz oznacza to, że a ma skończony rząd i podobnie ma skończony rząd, a Niech oznacza rząd elementu Wówczas Jednakże jeśli to dlatego tzn.
    Dostateczność. Niech gdzie przy czym Zachodzi Ale pociąga dlatego Skoro to Zatem ma rząd a więc
  5. Niech gdzie i Teraz daje oraz dla pewnych i podobnie daje oraz dla pewnych Zatem oraz

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Édouard Goursat. Sur les substitutions orthogonales et les divisions régulières de l’espace. „Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure”. 6, s. 9–102, 1889. Elsevier. ISSN 0012-9593 (fr.). 
  2. Serge Lang, Algebra, wyd. 3, t. 211 (Graduate Texts in Mathematics), Nowy Jork: Springer-Verlag, 2002, DOI10.1007/978-1-4613-0041-0, ISBN 978-0-387-95385-4, ISSN 0072-5285.