Lemat Goursata

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy teorii grup. Zobacz też: lemat Cauchy’ego–Goursata w analizie zespolonej.

Lemat Goursatatwierdzenie teorii grup charakteryzujące podgrupy iloczynu prostego dwóch grup.

Pierwszy raz pojawiło się ono w pracy Édouarda Goursata pt. Sur les substitutions orthogonales et les divisions régulières de l'espace („O podstawieniach ortogonalnych i podziałach regularnych przestrzeni”) z 1889 roku[1]. W osobnej sekcji pokazane zostanie, w jaki sposób można udowodnić za jego pomocą lemat Zassenhausa.

Lematem Goursata nazywa się również twierdzenie, że grupa automorfizmów wewnętrznych ustalonej grupy jest podgrupą normalną w grupie wszystkich automorfizmów tej grupy, tj. dla grupy zachodzi .

Wprowadzenie[edytuj]

W teorii grup dostępne są trzy standardowe sposoby konstruowania nowych grup z istniejących:

  • wzięcie podgrupy danej grupy ,
  • wzięcie ilorazu (gdzie jest podgrupą normalną) oraz
  • wzięcie iloczynu prostego dwóch grup oraz .

Dla każdej z tych konstrukcji można zapytać: jak wyglądają podgrupy uzyskanej grupy? W dwóch pierwszych przypadkach odpowiedź jest prosta: podgrupa w jest po prostu podgrupą w zawartą w (podgrupą podgrupy jest podgrupą), a z wniosku z twierdzenia o odpowiedniości wynika, że podgrupy mają postać , gdzie jest podgrupą w , dla której (co więcej, wtedy i tylko wtedy, gdy ). Odpowiedź na trzecie pytanie jest nieco bardziej złożona i jest treścią niniejszego artykułu: mając dane grupy oraz znaleźć wszystkie podgrupy (normalne) w .

Iloczyn prosty danych grup i to grupa, której nośnikiem są pary uporządkowane z mnożeniem określonym po współrzędnych: ; elementem neutralnym jest , a element odwrotny to . Jeśli jest podgrupą w , to jest podgrupą w [a] nazywaną dalej podiloczynem; więcej jest normalna w wtedy i tylko wtedy, gdy każda [b].

Jako wprowadzenie przedstawione zostanie rozwiązanie następującego problemu:

które pary grup i mają tę właściwość, że każda podgrupa (normalna) w jest podiloczynem w ?

Odpowiedź daje następujące

Stwierdzenie
Niech oraz będą nietrywialnymi grupami. Każda podgrupa w jest jej podiloczynem wtedy i tylko wtedy, gdy mają skończone, względnie pierwsze rzędy[c].

wykorzystujące poniższy

Lemat
Niech oraz będą nietrywialnymi grupami. Wówczas jest cykliczna wtedy i tylko wtedy, gdy i są skończonymi grupami cyklicznymi o względnie pierwszych rzędach[d].

Twierdzenie[edytuj]

Niech będą grupami.

  1. Niech będzie podgrupą w . Niech , oraz , .
    Wówczas są podgrupami w , dla których , a odwzorowanie dane wzorem , gdzie , jest izomorfizmem.
    Co więcej: jeśli , to oraz , cetrum .
  2. Niech będą podgrupami w i niech będzie izomorfizmem.
    Wówczas jest podgrupą .
    Zakładając ponadto oraz otrzymuje się .
  3. Konstrukcje podane w 1. i 2. są wzajemnie odwrotne.

Wnioski[edytuj]

W literaturze[2] spotyka się również następujące sformułowanie lematu Goursata:

Niech będzie podgrupą w z kanonicznymi rzutami o jądrach , dzięki którym można utożsamić z podgrupą normalną w . Wówczas obraz w jest wykresem izomorfizmu .

Lemat Zassenhausa[edytuj]

 Zobacz też: lemat Zassenhausa.
Diagram Hassego do lematu Zassenhausa (niestandardowo większe podgrupy znajdują się na dole diagramu, a mniejsze – na górze) obrazujący dodatkowo alternatywne określenie „motyli”.

Niech bedzie grupą, a oraz będą jej podgrupami. Wówczas , , a grupy ilorazowe oraz są izomorficzne.

Dowód

Zbiór jest podgrupą w [e]. Zgodnie z notacją z lematu Goursata jest oraz (co pokazuje, że są one grupami w ), ponadto i podobnie . Zatem skoro , to jest podgrupą normalną w , jest podgrupą normalną w i stąd oraz są izomorficzne, co kończy dowód.

Uwagi

  1. Kryterium bycia podgrupą: zbiór jest niepusty, ponieważ należy do niech i , skąd wówczas , jako że oraz .
  2. Nie każda podgrupa (normalna) iloczynu prostego dwóch grup jest podiloczynem: standardowym kontrprzykładem jest grupa czwórkowa Kleina z podgrupą normalną , gdzie oznacza grupę liczb całkowitych modulo 2 z działaniem dodawania (ogólnie: dowolna podgrupa przekątniowa w -krotnym iloczynie prostym ).
  3. Konieczność. Niech . Wówczas jest podiloczynem , zatem . Na mocy (poniższego) lematu mają skończone, względnie pierwsze rzędy.
    Dostateczność. Niech będzie podgrupą i niech . Ponieważ rzędy są względnie pierwsze, to dowód (poniższego) lematu daje , skąd , zatem , gdzie oraz .
  4. Konieczność. Niech będzie cykliczna, tj. . Niech tak, by dla pewnej liczby całkowitej . W ten sposób oraz oznacza to, że , a ma skończony rząd i podobnie ma skończony rząd, a . Niech oznacza rząd elementu Wówczas . Jednakże jeśli , to dlatego , tzn. .
    Dostateczność. Niech , gdzie , przy czym . Zachodzi . Ale pociąga ; dlatego . Skoro , to Zatem ma rząd , a więc .
  5. Niech , gdzie , i . Teraz daje oraz dla pewnych i podobnie daje oraz dla pewnych . Zatem oraz .

Przypisy

  1. Édouard Goursat. Sur les substitutions orthogonales et les divisions régulières de l'espace. „Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure”, s. 9–102, 1889. Elsevier. ISSN 0012-9593 (fr.). 
  2. Serge Lang: Algebra. Wyd. 3. T. 211. Nowy Jork: Springer-Verlag, 2002, seria: Graduate Texts in Mathematics. DOI: 10.1007/978-1-4613-0041-0. ISBN 978-0-387-95385-4. ISSN 0072-5285.