Lemat Kuratowskiego-Zorna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Lemat Kuratowskiego-Zornatwierdzenie teorii mnogości, nazywane zwyczajowo lematem, dające pewien warunek dostateczny istnienia elementu maksymalnego w danym zbiorze częściowo uporządkowanym; znajduje ono wiele zastosowań w pozostałych działach matematyki, gdzie wykorzystywane jest w dowodach istnienia różnych obiektów (gdy szukany element, którego istnienie jest postulowane, jest maksymalnym w pewnym zbiorze z częściowym porządkiem).

Lemat ten został sformułowany przez Kazimierza Kuratowskiego w 1922 roku oraz niezależnie przez Maxa Zorna w 1935 roku; na świecie wynik ten jest znany jako lemat Zorna, jedynie w Polsce i Rosji nazywany jest lematem Kuratowskiego-Zorna. Jest on równoważny aksjomatowi wyboru – każdy z nich można udowodnić przy pomocy drugiego (z użyciem aksjomatów Zermelo-Fraenkela teorii mnogości) – przy czym jest to jedna z bardziej użytecznych jego postaci (zob. pozostałe). Istnieją również dowody wykorzystujące równoważniki aksjomatu wyboru, np. twierdzenie Zermelo, czy twierdzenie Hausdorffa o łańcuchu maksymalnym.

Twierdzenie[edytuj]

Zbiór nazywa się częściowo uporządkowanym przez (dwuargumentową) relację (tzw. częściowy porządek), jeśli jest ona zwrotna (), antysymetryczna ( oraz pociągają ) i przechodnia ( oraz pociągają ); jeśli to element nazywa się późniejszym od (a element nazywa się wcześniejszym od ).

Podzbiór zbioru nazywa się liniowo uporządkowanym, jeżeli dowolne jego dwa elementy można porównać za pomocą relacji zbiór nazywa się wtedy łańcuchem w Element nazywa się ograniczeniem górnym łańcucha jeśli element jest późniejszy od jakiegokolwiek innego elementu tego łańcucha.

Zbiór częściowo uporządkowany, w którym każdy łańcuch ma ograniczenie górne, nazywa się łańcuchowo zupełnym; element nazywa się maksymalnym w zbiorze jeśli pociąga dla dowolnego

Twierdzenie Kuratowskiego-Zorna
W dowolnym niepustym zbiorze łańcuchowo zupełnym istnieje (co najmniej jeden) element maksymalny.
Wniosek
W dowolnej niepustej rodzinie zbiorów częściowo uporządkowanej relacją zawierania, do której należy suma każdego jej niepustego łańcucha, istnieje element maksymalny[1].

Bibliografia[edytuj]

  • Krzysztof Ciesielski, Set Theory for the Working Mathematician. Cambridge University Press, 1997. ISBN 0-521-59465-0

Przypisy

  1. Jeśli jest łańcuchem w rodzinie jak w założeniu, to zawiera każdy ze zbiorów tego łańcucha; stąd jeśli to zbiór ten jest ograniczeniem górnym łańcucha w W ten sposób spełnione są założenia lematu Kuratowskiego-Zorna: ograniczeniem górnym dowolnego niepustego łańcucha jest jego suma, zaś pustego – przez dowolny element czyli w rodzinie istnieje element maksymalny.