Lemat Kuratowskiego-Zorna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Lemat Kuratowskiego-Zorna, lemat Zornatwierdzenie teorii mnogości, nazywane zwyczajowo lematem, dające pewien warunek dostateczny istnienia elementu maksymalnego w danym zbiorze częściowo uporządkowanym; znajduje ono wiele zastosowań w pozostałych działach matematyki, gdzie wykorzystywane jest w dowodach istnienia różnych obiektów (gdy szukany element, którego istnienie jest postulowane, jest maksymalnym w pewnym zbiorze z częściowym porządkiem).

Lemat ten został sformułowany przez Kazimierza Kuratowskiego w 1922 roku oraz niezależnie przez Maxa Zorna w 1935 roku. Jest on równoważny aksjomatowi wyboru – każdy z nich można udowodnić przy pomocy drugiego (na gruncie aksjomatyki Zermela-Fraenkla teorii mnogości) – przy czym jest to jedna z bardziej użytecznych jego postaci (zob. pozostałe). Istnieją również dowody wykorzystujące równoważniki aksjomatu wyboru, np. twierdzenie Zermela, czy twierdzenie Hausdorffa o łańcuchu maksymalnym.

Motywacja[edytuj | edytuj kod]

Niekiedy zachodzi potrzeba udowodnienia istnienia[a] obiektu matematycznego (który można postrzegać jako element maksymalny pewnego zbioru częściowo uporządkowanego). Dowód istnienia takiego obiektu można próbować przeprowadzić nie wprost zakładając, że nie ma wspomnianego elementu (maksymalnego), wykorzystując przy tym indukcję pozaskończoną oraz założenia sytuacyjne do tego, by wykazać sprzeczność. Lemat Kuratowskiego-Zorna służy wyklarowaniu założeń, które muszą być spełnione w danej sytuacji, aby można było wykorzystać takie rozumowanie. Tym samym lemat Kuratowskiego-Zorna umożliwia matematykom wyzbycie się konieczności każdorazowego powtarzania rozumowania indukcyjnego na rzecz sprawdzenia założeń lematu.

Jeśli konstruując obiekt matematyczny etapami okazuje się, że (i) nie skończyłeś nawet po nieskończenie wielu etapach oraz (ii) zdaje się, że nie ma nic, co mogło by powstrzymać cię przed dalszym konstruowaniem, wówczas pomocny może okazać się lemat Kuratowskiego-Zorna.

William Timothy Gowers, Jak używać lematu Kuratowskiego-Zorna[1]

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Zbiór nazywa się częściowo uporządkowanym przez (dwuargumentową) relację (tzw. częściowy porządek), jeśli jest ona zwrotna (), antysymetryczna ( oraz pociągają ) i przechodnia ( oraz pociągają ); jeśli to element nazywa się późniejszym od (a element nazywa się wcześniejszym od ).

Podzbiór zbioru nazywa się liniowo uporządkowanym, jeżeli dowolne jego dwa elementy można porównać za pomocą relacji zbiór nazywa się wtedy łańcuchem w Element nazywa się ograniczeniem górnym łańcucha jeśli element jest późniejszy od jakiegokolwiek innego elementu tego łańcucha.

Zbiór częściowo uporządkowany, w którym każdy łańcuch ma ograniczenie górne, nazywa się łańcuchowo zupełnym; element nazywa się maksymalnym w zbiorze jeśli pociąga dla dowolnego

Twierdzenie Kuratowskiego-Zorna
W dowolnym niepustym zbiorze łańcuchowo zupełnym istnieje (co najmniej jeden) element maksymalny.
Wniosek
W dowolnej niepustej rodzinie zbiorów częściowo uporządkowanej relacją zawierania, do której należy suma każdego jej niepustego łańcucha, istnieje element maksymalny[b].

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  1. Zob. filozofia matematyki oraz Bartol 1996 ↓.
  2. Jeśli jest łańcuchem w rodzinie jak w założeniu, to zawiera każdy ze zbiorów tego łańcucha; stąd jeśli to zbiór ten jest ograniczeniem górnym łańcucha w W ten sposób spełnione są założenia lematu Kuratowskiego-Zorna: ograniczeniem górnym dowolnego niepustego łańcucha jest jego suma, zaś pustego – przez dowolny element czyli w rodzinie istnieje element maksymalny.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. William Timothy Gowers: How to use Zorn’s lemma. 2008-08-12. [dostęp 2019-10-29]. Cytat: If you are building a mathematical object in stages and find that (i) you have not finished even after infinitely many stages, and (ii) there seems to be nothing to stop you continuing to build, then Zorn’s lemma may well be able to help you.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]