Lemat Riemanna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Lemat Riemanna[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie funkcją ciągłą z wyjątkiem skończonej liczby punktów tego przedziału. Wówczas

Dowód[edytuj | edytuj kod]

1. Dla funkcji tożsamościowo równej 1[edytuj | edytuj kod]

w związku z tym twierdzenie jest prawdziwe dla funkcji f(x) = 1

2. Dla funkcji [edytuj | edytuj kod]

3. Dla funkcji liniowej , gdzie [edytuj | edytuj kod]

Słuszność twierdzenia dla tak określonej funkcji wynika z punktów 1. i 2. oraz własności liniowości całki oznaczonej.

4. Dla funkcji przedziałami liniowej[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli funkcja jest liniowa w skończonej ilości podprzedziałów przedziału [a; b] to na mocy 3 jest w każdym z tych podprzedziałów jest słuszny lemat Riemmana wskutek czego twierdzenie jest słuszne w przedziale [a; b]

5. Dla funkcji ciągłej na przedziale [edytuj | edytuj kod]

Można przypuszczać że funkcję ciągłą na da się aproksymować za pomocą funkcji przedziałami liniowej z dowolną dokładnością. Oczywistym jest wówczas że lemat Riemmana (na podstawie punktu 4) jest prawdziwy także dla dowolnej funkcji ciągłej.

Istotnie w tym przypadku intuicja nie zawodzi, co można wykazać przeprowadzając poniższe rozumowanie.

Jeżeli funkcja jest ciągła na to jest jednostajnie ciągła na (na mocy twierdzenia Heinego-Cantora, gdyż jako domknięte i ograniczone przedziały domknięte prostej są zwarte z twierdzenia Heinego-Borela).

Wybierzmy pewną liczbę , wybór ten pociąga za sobą istnienie pewnej liczby , takiej że dla dowolnych wartości tak, że

,

obierzmy następnie liczby w taki sposób aby .

Rozważmy funkcję liniową w każdym z przedziałów i o własności . Weźmy należący do przedziału . Korzystając z faktu że jest liniowa wiemy, iż leży pomiędzy i dlatego liczba leży pomiędzy liczbami i które mają moduł mniejszy od . Co za tym idzie:

Wynika z tego, że dla dowolnej ciągłej funkcji można znaleźć taką funkcję taką że:

,

przedziałami liniową, to znaczy (na mocy 4) spełniającą lemat Riemanna:

czyli:

Co dowodzi słuszności twierdzenia dla funkcji ciągłej

6. Dla funkcji posiadającej jeden punkt nieciągłości w punkcie .[edytuj | edytuj kod]

Całkę występującą w twierdzeniu rozbijamy na sumę całek:

Przy czym funkcje są równe funkcji (odpowiednio) na przedziale i , a w punkcie są uzupełnione tak aby były ciągłe w przedziałach i (korzystamy z faktu, iż zmiana wartości w skończonej ilości punktów funkcji podcałkowej nie zmienia wartości całki).

Funkcje są ciągłe więc (na mocy 5) przechodząc z do nieskończoności otrzymujemy tezę twierdzenia (równość jest zachowana w przejściu granicznym).

7. Dla funkcji mającej skończoną liczbę punktów nieciągłości[edytuj | edytuj kod]

Dzieląc przedział na skończoną liczbę podprzedziałów w których funkcja ma tylko jeden punkt nieciągłości na mocy 6. otrzymujemy tezę twierdzenia. QED