Lemat Riemanna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Lemat Riemanna[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie funkcją ciągłą z wyjątkiem skończonej liczby punktów tego przedziału. Wówczas

Dowód[edytuj | edytuj kod]

1. Dla funkcji tożsamościowo równej 1[edytuj | edytuj kod]

w związku z tym twierdzenie jest prawdziwe dla funkcji f(x) = 1.

2. Dla funkcji [edytuj | edytuj kod]

3. Dla funkcji liniowej gdzie [edytuj | edytuj kod]

Słuszność twierdzenia dla tak określonej funkcji wynika z punktów 1. i 2. oraz własności liniowości całki oznaczonej.

4. Dla funkcji przedziałami liniowej[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli funkcja jest liniowa w skończonej liczbie podprzedziałów przedziału [a; b], to na mocy 3. w każdym z tych podprzedziałów jest słuszny lemat Riemmana, wskutek czego twierdzenie jest słuszne w przedziale [a; b].

5. Dla funkcji ciągłej na przedziale [edytuj | edytuj kod]

Można przypuszczać, że funkcję ciągłą na da się aproksymować za pomocą funkcji przedziałami liniowej z dowolną dokładnością. Oczywistym jest wówczas, że lemat Riemmana (na podstawie punktu 4.) jest prawdziwy także dla dowolnej funkcji ciągłej.

Istotnie w tym przypadku intuicja nie zawodzi, co można wykazać, przeprowadzając poniższe rozumowanie.

Jeżeli funkcja jest ciągła na to jest jednostajnie ciągła na (na mocy twierdzenia Heinego-Cantora, gdyż jako domknięte i ograniczone przedziały domknięte prostej są zwarte z twierdzenia Heinego-Borela).

Wybierzmy pewną liczbę wybór ten pociąga za sobą istnienie pewnej liczby takiej że dla dowolnych wartości tak, że

Obierzmy następnie liczby w taki sposób, aby

Rozważmy funkcję liniową w każdym z przedziałów i o własności Weźmy należący do przedziału

Korzystając z faktu, że jest liniowa, wiemy, iż leży pomiędzy i dlatego liczba leży pomiędzy liczbami i które mają moduł mniejszy od Co za tym idzie:

Wynika z tego, że dla dowolnej ciągłej funkcji można znaleźć taką funkcję taką, że:

przedziałami liniową, to znaczy (na mocy 4.) spełniającą lemat Riemanna:

czyli:

Co dowodzi słuszności twierdzenia dla funkcji ciągłej.

6. Dla funkcji posiadającej jeden punkt nieciągłości w punkcie [edytuj | edytuj kod]

Całkę występującą w twierdzeniu rozbijamy na sumę całek:

Przy czym funkcje są równe funkcji (odpowiednio) na przedziale i a w punkcie są uzupełnione tak, aby były ciągłe w przedziałach i (korzystamy z faktu, iż zmiana wartości w skończonej liczbie punktów funkcji podcałkowej nie zmienia wartości całki).

Funkcje są ciągłe, więc (na mocy 5.) przechodząc z do nieskończoności, otrzymujemy tezę twierdzenia (równość jest zachowana w przejściu granicznym).

7. Dla funkcji mającej skończoną liczbę punktów nieciągłości[edytuj | edytuj kod]

Dzieląc przedział na skończoną liczbę podprzedziałów, w których funkcja ma tylko jeden punkt nieciągłości na mocy 6., otrzymujemy tezę twierdzenia, QED.