Lemat Riemanna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Lemat Riemanna[edytuj]

Niech będzie funkcją ciągłą z wyjątkiem skończonej liczby punktów tego przedziału. Wówczas

Dowód[edytuj]

1. Dla funkcji tożsamościowo równej 1[edytuj]

w związku z tym twierdzenie jest prawdziwe dla funkcji f(x) = 1

2. Dla funkcji [edytuj]

3. Dla funkcji liniowej , gdzie [edytuj]

Słuszność twierdzenia dla tak określonej funkcji wynika z punktów 1. i 2. oraz własności liniowości całki oznaczonej.

4. Dla funkcji przedziałami liniowej[edytuj]

Jeżeli funkcja jest liniowa w skończonej ilości podprzedziałów przedziału [a; b] to na mocy 3 jest w każdym z tych podprzedziałów jest słuszny lemat Riemmana wskutek czego twierdzenie jest słuszne w przedziale [a; b]

5. Dla funkcji ciągłej na przedziale [edytuj]

Można przypuszczać że funkcję ciągłą na da się aproksymować za pomocą funkcji przedziałami liniowej z dowolną dokładnością. Oczywistym jest wówczas że lemat Riemmana (na podstawie punktu 4) jest prawdziwy także dla dowolnej funkcji ciągłej.

Istotnie w tym przypadku intuicja nie zawodzi, co można wykazać przeprowadzając poniższe rozumowanie.

Jeżeli funkcja jest ciągła na to (na mocy twierdzenia Cantora) jest jednostajnie ciągła na (przedział ten jest zbiorem zwartym).

Wybierzmy pewną liczbę , wybór ten pociąga za sobą istnienie pewnej liczby , takiej że dla dowolnych wartości tak, że

,

obierzmy następnie liczby w taki sposób aby .

Rozważmy funkcję liniową w każdym z przedziałów i o własności . Weźmy należączy do przedziału . Korzystając z faktu że jest liniowa wiemy, iż leży pomiędzy i dlatego liczba leży pomiędzy liczbami i które mają moduł mniejszy od . Co za tym idzie:

Wynika z tego, że dla dowolnej ciągłej funkcji można znaleźć taką funkcję taką że:

,

przedziałami liniową, to znaczy (na mocy 4) spełniającą lemat Riemanna:

czyli:

Co dowodzi słuszności twierdzenia dla funkcji ciągłej

6. Dla funkcji posiadającej jeden punkt nieciągłości w punkcie .[edytuj]

Całkę występującą w twierdzeniu rozbijamy na sumę całek:

Przy czym funkcje są równe funkcji (odpowiednio) na przedziale i , a w punkcie są uzupełnione tak aby były ciągłe w przedziałach i (korzystamy z faktu, iż zmiana wartości w skończonej ilości punktów funkcji podcałkowej nie zmienia wartości całki).

Funkcje są ciągłe więc (na mocy 5) przechodząc z do nieskończoności otrzymujemy tezę twierdzenia (równość jest zachowana w przejściu granicznym).

7. Dla funkcji mającej skończoną liczbę punktów nieciągłości[edytuj]

Dzieląc przedział na skończoną liczbę podprzedziałów w których funkcja ma tylko jeden punkt nieciągłości na mocy 6. otrzymujemy tezę twierdzenia. QED