Lemat Schwarza

Lemat Schwarza – twierdzenie analizy zespolonej o wielu użytecznych wariantach będące jednym z najprostszych obok zasady maksimum wyników opisujących sztywność funkcji holomorficznych. Przedstawiona niżej główna wersja lematu orzeka, że dana funkcja holomorficzna zespolonego koła jednostkowego w siebie, dla której początek płaszczyzny jest punktem stałym, jest obrotem bądź „ściąga” każdy punkt do początku (zob. przekształcenie zwężające).

Twierdzenie

Niech $H^{\infty }$ oznacza przestrzeń wszystkich ograniczonych funkcji holomorficznych określonych na kole jednostkowym $B$ na płaszczyźnie zespolonej z normą daną wzorem $\|f\|_{\infty }=\sup _{z\in B}\displaystyle |f(z)\displaystyle |.$

Jeżeli $f\in H^{\infty }$ oraz $\|f\|_{\infty }\leqslant 1,$ a przy tym $f(0)=0,$ to

${\big |}f(z){\big |}\leqslant |z|$

dla $z\in B$ oraz

${\big |}f'(0){\big |}\leqslant 1.$

Ponadto jeśli $|f(z)\displaystyle |=|z|$ dla choć jednego punktu $z\neq 0$ należącego do zbioru $B$ lub $|f'(0)\displaystyle |=1,$ to istnieje stała $\lambda$ spełniająca $|\lambda |=1,$ dla której $f(z)=\lambda z.$