Lemat Zassenhausa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Lemat Zassenhausa (nieoficjalnie: motyli) – techniczny wynik teorii grup dotyczący kraty podgrup danej grupy, w uogólnieniach również kraty podmodułów ustalonego modułu lub, ogólnie, dowolnej kraty modularnej[1]. „Motyla” można dojrzeć na diagramie Hassego grup biorących udział w twierdzeniu.

Hans Julius Zassenhaus udowodnił lemat, mając na celu jak najzgrabniejszy dowód twierdzenia Shreiera; można go też uzyskać z ogólniejszego wyniku znanego jako twierdzenie Goursata dla rozmaitości Goursata (których przykładem są grupy) przy użyciu prawa modularności Dedekinda[2]. Twierdzenie zachodzi w szczególności również dla grup z operatorami: w sformułowaniu wystarczy zamienić podgrupy normalne na podgrupy stabilne.

Lemat[edytuj]

Diagram Hassego do lematu Zassenhausa obrazujący określenie „motyli” (niestandardowo większe podgrupy znajdują się na dole diagramu, a mniejsze – na górze).

Niech będzie grupą, a oraz jej podgrupami; ponadto niech oraz będą podgrupami normalnymi, wówczas

i ma miejsce izomorfizm

.

Dowód[edytuj]

Niech Ponieważ to[a] czyli podobnie dla jest Jako że oraz zapisując dla zwięzłości to zachodzi (jako iloczyn prosty, zob. iloczyn kompleksowy).

Ponieważ oraz to[b]

Teraz oraz (ponieważ ), tak więc (1) staje się

Powtarzając to samo rozumowanie dla zastąpionymi odpowiednio uzyskuje się

Teza wynika z połączenia (2) oraz (3).

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

Uwagi

  1. Lemat 1. Niech oraz Wówczas oraz
    Dowód. Jeśli jest grupą, oraz to oraz jest izomorficzna z na mocy drugiego twierdzenia o izomorfizmie. Stosując to twierdzenie dla zastąpionych odpowiednio otrzymuje się oraz Skoro a to zachodzi teza.
  2. Lemat 2. Niech oraz Wówczas oraz
    Dowód. Ponieważ to wiadomo, że oraz Zatem Należy dowieść, że jest normalna w Zauważając, że (zob. normalizator), otrzymuje się dla wszystkich (zob. sprzężenie i podgrupa normalna). Wtedy, dla dowolnych jest ponieważ oraz Zatem dla wszystkich oraz Z drugiego twierdzenia o izomorfizmie z odpowiednio w miejscach otrzymuje się oraz Ponieważ oraz to izomorfizm ten oznacza, że

Przypisy

  1. Zob. Pierce, s. 27, ćw. 1.
  2. The Butterfly and the Serpent. W: J. Lambek: Logic and Algebra. Aldo Ursini, Paulo Agliano (red.). CRC Press, 1996, s. 161–180. ISBN 978-0-8247-9606-8.