Przejdź do zawartości

Podstawa logarytmu naturalnego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Liczba Eulera)

Podstawa logarytmu naturalnego, liczba , liczba Eulera, liczba Neperastała matematyczna wykorzystywana w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. W przybliżeniu wynosi 2,718281828459[1], oznacza się ją literą [2].

Definicja

[edytuj | edytuj kod]

Liczba może być zdefiniowana na kilka równoważnych sposobów.

Granica ciągu

[edytuj | edytuj kod]

Jako granica ciągu, jest określana przez

Dowód zbieżności

Wykażemy, że ciąg gdzie jest niemalejący i ograniczony z góry, a zatem jest zbieżny.

Przypomnijmy, że dla dodatnich liczb zachodzi następująca nierówność Cauchy’ego między ich średnią arytmetyczną a geometryczną:

(1)

Rozważając oraz otrzymujemy

a stąd

więc również i

Czyli ciąg jest niemalejący.

Podłóżmy i zauważmy, że

Z nierówności (1) zastosowanej do oraz otrzymujemy, że:

Stąd a więc też

Czyli ciąg jest niemalejący. Ponieważ to możemy wywnioskować, że ciąg jest nierosnący, a stąd

Ciąg jest więc niemalejący i ograniczony z góry (np. przez ), a więc jest zbieżny.

Suma szeregu

[edytuj | edytuj kod]

Jako suma szeregu, jest określana przez

gdzie jest silnią liczby

Za pomocą całki

[edytuj | edytuj kod]
Pole powierzchni pod hiperbolą jest równe 1

Liczbę można także zdefiniować jako jedyną liczbę rzeczywistą taką że:

(to znaczy, że liczba to taka, że pole powierzchni pod hiperbolą od 1 do jest równe 1).

Za pomocą funkcji

[edytuj | edytuj kod]
Wykres funkcji

Liczbę można również zdefiniować jako taki argument funkcji

dla którego jej wartość jest największa.

Własności

[edytuj | edytuj kod]

Wzory na obliczenie e

[edytuj | edytuj kod]

(oba to tzw. wzory Stirlinga)

gdzie to podsilnia, definiowana kombinatorycznie jako liczba nieporządków zbioru –elementowego, algebraicznie zaś jako

Iloczyny nieskończone

[edytuj | edytuj kod]

W 1980 roku, Nick Pippenger udowodnił wzór[5][6]

gdzie n!!, to silnia podwójna.

Kultura

[edytuj | edytuj kod]

W celu zapamiętania kolejnych cyfr dziesiętnych liczby tworzone są wierszyki, a nawet opowiadania (podobnie jak o liczbie π), w których długość każdego kolejnego słowa równa się kolejnej cyfrze w rozwinięciu dziesiętnym

„We present a mnemonic to memorize a constant so exciting that Euler exclaimed: '!' when first it was found, yes, loudly '!'. My students perhaps will compute e, use power or Taylor series, an easy summation formula, obvious, clear, elegant!”

Gdzie znak „!” oznacza cyfrę 0.

Inne interpretacje liczby

[edytuj | edytuj kod]

Wkładamy do pewnego banku jedną złotówkę. Załóżmy, że oprocentowanie wkładu (stopa procentowa) w skali rocznej wynosi 100%. Ale odsetki mogą być doliczane do kwoty podstawowej w różnorodny sposób. Jeśli będą obliczane po upływie roku, to na koniec roku będziemy mieli 2 złote. Jeśli będą dwa okresy kapitalizacji (czyli odsetki obliczane dwa razy w roku), to na koniec roku będziemy mieć czyli 2,25 złotego. W przypadku kapitalizacji co kwartał otrzymamy co w przybliżeniu wynosi 2,44 zł. Jeśli kapitalizacja odbywała się w sposób ciągły (czyli liczba okresów dąży do nieskończoności) to na koniec roku otrzymamy czyli złotych.

Dowód niewymierności

[edytuj | edytuj kod]

Używamy -tego przybliżenia które zapisujemy

Szacujemy błąd

Z tego wynika, że gdzie

Dowód przez sprowadzenie do sprzeczności:

Załóżmy, że jest liczbą wymierną. Czyli da się ją przedstawić w postaci gdzie

W tym wzorze bierzemy tak duże żeby było większe od

Wówczas:

Mnożąc stronami przez dostajemy:

  więc  

  więc  

Zostały same liczby całkowite poza która całkowita nie jest.

To dowodzi sprzeczności, a więc i nieprawdziwości twierdzenia, że „ jest wymierne”.

Zobacz też

[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. Ciąg A001113 w On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
  2. e, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-29].
  3. Charles Hermite: Sur la fonction exponentielle. C. R. Acad. Sci. Paris 77, 1873, s. 18–24, 74–79, 226–233.
  4. A. Hurwitz, 1894, Dowód przestępności liczby e., Prace Matematyczno-Fizyczne, 5(1), 6–8., pdf.
  5. Eric W. Weisstein, Pippenger Product, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2013-02-27] (ang.).
  6. Nick Pippinger. An Infinite Product for e. „Amer. Math. Monthly”. 87 (V), s. 391, maj 1980. (ang.). 

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne

[edytuj | edytuj kod]