Liczba Liouville’a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Liczba Liouville’aliczba rzeczywista o takiej własności, że dla dowolnej liczby naturalnej istnieją liczby całkowite oraz takie że:

Intuicyjnie oznacza to, że dowolną liczbę Liouville’a można „dobrze” aproksymować liczbami wymiernymi. Liczby Liouville’a noszą swą nazwę na cześć Josepha Liouville’a, który wprowadził je w roku 1844 i pokazał, że są one liczbami przestępnymi. Był to pierwszy dowód istnienia liczb przestępnych, co więcej konstruktywny, czyli podający algorytm ich uzyskiwania.

Przykłady. Stała Liouville’a[edytuj | edytuj kod]

Liczby postaci

gdzie jest dowolną liczbą naturalną większą od 1, są liczbami Liouville’a. Dla dowodu określmy i następująco:

Wówczas dla wszystkich naturalnych

co spełnia warunki definicji.

Liczba

nosi nazwę stałej Liouville’a.

Podstawowe własności[edytuj | edytuj kod]

Równoważną definicję liczby Liouville’a otrzymamy przyjmując, że dla dowolnego istnieje nieskończenie wiele par liczb całkowitych dla których spełniona jest powyższa nierówność.

Niewymierność liczb Liouville’a[edytuj | edytuj kod]

Nietrudno wykazać, że jeśli jest liczbą Liouville’a, to jest liczbą niewymierną. Gdyby tak nie było, istniałyby liczby całkowite i dla których mielibyśmy Niech oznacza taką liczbę naturalną, że Wówczas, jeśli i są dowolnymi liczbami całkowitymi, takimi że i to

co jest sprzeczne z określeniem liczby Liouville’a.

Własności miarowe zbióru liczb Liouville’a[edytuj | edytuj kod]

Wykażemy, że zbiór liczb Liouville’a jest miary zero Lebesgue’a. Dowód przedstawiony poniżej jest oparty na rozumowaniu, które podał Oxtoby[1]. Dla liczb naturalnych oraz połóżmy:

Zauważmy, że dla każdych liczb naturalnych i mamy

Oczywiście, Pamiętając że można również wykazać, że

Ponieważ to teraz łatwo wnioskujemy, że dla każdej liczby naturalnej przekrój jest miary Lebesgue’a zero, a zatem i jest miary zero. Czyli z miarowego punktu widzenia, prawie żadna liczba rzeczywista nie jest liczbą Liouville’a.

Własności topologiczne zbioru liczb Liouville’a[edytuj | edytuj kod]

Dla liczby naturalnej połóżmy:

Każdy ze zbiorów jest otwartym gęstym podzbiorem prostej (zauważmy, że zawiera wszystkie liczby wymierne). Ponadto zatem jest gęstym zbiorem typu Gδ, a stąd jego dopełnienie jest zbiorem pierwszej kategorii. Czyli, z topologicznego punktu widzenia, prawie każda liczba rzeczywista jest liczbą Liouville’a.

Stopień niewymierności[edytuj | edytuj kod]

Istnieje prosta metoda pozwalająca zmierzyć „jak bardzo” niewymierna jest dana liczba. Polega ona na badanie dokładności aproksymacji liczby za pomocą liczb wymiernych.

Stopniem niewymierności nazywamy kres górny zbioru liczb rzeczywistych o tej własności, że nierówność

zachodzi dla nieskończenie wielu par gdzie

Wszystkie liczby Liouville’a i tylko one mają nieskończony stopień niewymierności.

Liczby Liouville’a jako liczby przestępne[edytuj | edytuj kod]

Poniżej wykażemy, że każda liczba Liouville’a jest przestępna. Jednak nie każda liczba przestępna jest liczbą Liouville’a – ponieważ zbiór liczb Liouville’a jest zbiorem miary zero Lebesgue’a, to istnieje nieprzeliczalnie wiele liczb przestępnych, które nie są liczbami Liouville’a. Okazuje się, że liczbami Liouville’a nie są również liczby e oraz π.

Punktem kluczowym dowodu jest obserwacja, że liczba algebraiczna, która jest niewymierna, nie daje się w pewnym sensie „dobrze” aproksymować liczbami wymiernymi. Poniższy lemat należący do Liouville’a nazywany jest również często twierdzeniem Liouville’a o aproksymacji diofantycznej.

Lemat: Jeśli jest liczbą niewymierną, która jest pierwiastkiem wielomianu stopnia o współczynnikach całkowitych, to istnieje liczba rzeczywista taka, że dla dowolnych liczb całkowitych oraz zachodzi

Dowód lematu: Niech oznacza największą wartość modułu pochodnej wielomianu w przedziale Niech będą różnymi pierwiastkami wielomianu które są różne od α. Wybierzmy taką liczbę która spełnia warunek:

Przypuśćmy, że istnieją takie liczby całkowite dla których nierówność podana w tezie lematu nie zachodzi. Oznacza to, że

Wówczas leży w przedziale oraz nie jest żadną z liczb Zatem nie jest też pierwiastkiem a ponadto żaden pierwiastek nie leży pomiędzy i

Na mocy twierdzenia o wartości średniej pomiędzy i istnieje taka liczba że

Ponieważ jest pierwiastkiem a nie, zatem i:

Ponieważ jest postaci gdzie każde jest całkowite, można zapisać jako

Ostatnia nierówność zachodzi, gdyż nie jest pierwiastkiem wielomianu a są liczbami całkowitymi.

Zatem a skoro na mocy określenia liczby i z definicji otrzymujemy stąd sprzeczność:

Wynika stąd, że nie istnieją liczby i o takich własnościach, co dowodzi lematu.

Dowód stwierdzenia: Niech będzie liczbą Liouville’a, wiemy już, że jest liczbą niewymierną. Gdyby była liczbą algebraiczną, na mocy lematu istniałyby liczby naturalna i rzeczywista dodatnia takie że dla dowolnych całkowitych i

Niech będzie taką liczbą naturalną, że Jeśli położyć to – ponieważ jest liczbą Liouville’a – znajdziemy liczby całkowite i takie, że

co stoi w sprzeczności z lematem. Stąd nie jest algebraiczna, a zatem jest przestępna.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. John C. Oxtoby, Measure and category. A survey of the analogies between topological and measure spaces. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 2. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1980, s. 8. ​ISBN 0-387-90508-1​.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]