Liczba Liouville’a

Liczba Liouville’a – liczba rzeczywista $x$ o takiej własności, że dla dowolnej liczby naturalnej $n$ istnieją liczby całkowite $p$ oraz $q>1,$ takie że:

$0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}}.$

Intuicyjnie oznacza to, że dowolną liczbę Liouville’a można „dobrze” aproksymować liczbami wymiernymi. Liczby Liouville’a noszą swą nazwę na cześć Josepha Liouville’a, który wprowadził je w roku 1844 i pokazał, że są one liczbami przestępnymi. Był to pierwszy dowód istnienia liczb przestępnych, co więcej konstruktywny, czyli podający algorytm ich uzyskiwania.

Przykłady. Stała Liouville’a

Liczby postaci

$c=\sum _{j=1}^{\infty }a^{-j!},$

gdzie $a$ jest dowolną liczbą naturalną większą od 1, są liczbami Liouville’a. Dla dowodu określmy $p_{n}$ i $q_{n}$ następująco:

$p_{n}=\sum _{j=1}^{n}a^{(n!-j!)},\quad q_{n}=a^{n!}.$

Wówczas dla wszystkich $n$ naturalnych

$|c-p_{n}/q_{n}|=\sum _{j=n+1}^{\infty }a^{-j!}=a^{-(n+1)!}+a^{-(n+2)!}+\ldots <a^{-(n!n)}=(1/{q_{n}})^{n},$

co spełnia warunki definicji.

Liczba

$c=\sum _{j=1}^{\infty }10^{-j!}=0{,}110001000000000000000001000\dots$

nosi nazwę stałej Liouville’a.

Podstawowe własności

Równoważną definicję liczby Liouville’a otrzymamy, przyjmując, że dla dowolnego $n$ istnieje nieskończenie wiele par liczb całkowitych $(p,q),$ dla których spełniona jest powyższa nierówność.

Niewymierność liczb Liouville’a

Nietrudno wykazać, że jeśli $x$ jest liczbą Liouville’a, to jest liczbą niewymierną. Gdyby tak nie było, istniałyby liczby całkowite $c$ i $d,$ dla których mielibyśmy $x=c/d.$ Niech $n$ oznacza taką liczbę naturalną, że $2^{n-1}>d.$ Wówczas, jeśli $p$ i $q$ są dowolnymi liczbami całkowitymi, takimi że $q>1$ i $p/q\neq c/d,$ to

$\left|x-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {c}{d}}-{\frac {p}{q}}\right|\geqslant {\frac {1}{dq}}>{\frac {1}{2^{n-1}\cdot q}}\geqslant {\frac {1}{q^{n}}},$

co jest sprzeczne z określeniem liczby Liouville’a.

Własności miarowe zbióru liczb Liouville’a

Wykażemy, że zbiór $L$ liczb Liouville’a jest miary zero Lebesgue’a. Dowód przedstawiony poniżej jest oparty na rozumowaniu, które podał Oxtoby. Dla liczb naturalnych $n>2$ oraz $q\geqslant 2$ połóżmy:

$V_{n,q}=\bigcup \limits _{p=-\infty }^{\infty }\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}},{\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right).$

Zauważmy, że dla każdych liczb naturalnych $n$ i $m$ mamy

$L\cap (-m,m)\subseteq \bigcup \limits _{q=2}^{\infty }V_{n,q}\cap (-m,m)\subseteq \bigcup \limits _{q=2}^{\infty }\bigcup \limits _{p=-mq}^{mq}\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}},{\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right).$

Oczywiście, $\left|\left({\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right)-\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}}\right)\right|={\frac {2}{q^{n}}}.$ Pamiętając, że $n>2,$ można również wykazać, że

$\sum \limits _{q=2}^{\infty }\sum _{p=-mq}^{mq}{\frac {2}{q^{n}}}=\sum \limits _{q=2}^{\infty }{\frac {2(2mq+1)}{q^{n}}}\leqslant (4m+1)\sum \limits _{q=2}^{\infty }{\frac {1}{q^{n-1}}}\leqslant {\frac {4m+1}{n-2}}.$

Ponieważ $\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {4m+1}{n-2}}=0,$ to teraz łatwo wnioskujemy, że dla każdej liczby naturalnej $m$ przekrój $L\cap (-m,m)$ jest miary Lebesgue’a zero, a zatem i $L$ jest miary zero. Czyli z miarowego punktu widzenia, prawie żadna liczba rzeczywista nie jest liczbą Liouville’a.

Własności topologiczne zbioru liczb Liouville’a

Dla liczby naturalnej $n$ połóżmy:

$U_{n}=\bigcup \limits _{q=2}^{\infty }\bigcup \limits _{p=-\infty }^{\infty }\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}},{\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right).$

Każdy ze zbiorów $U_{n}$ jest otwartym gęstym podzbiorem prostej $\mathbb {R}$ (zauważmy, że $U_{n}$ zawiera wszystkie liczby wymierne). Ponadto $L=\bigcap \limits _{n=1}^{\infty }U_{n}\setminus {\mathbb {Q} },$ zatem $L$ jest gęstym zbiorem typu G_δ, a stąd jego dopełnienie jest zbiorem pierwszej kategorii. Czyli, z topologicznego punktu widzenia, prawie każda liczba rzeczywista jest liczbą Liouville’a.

Stopień niewymierności

Istnieje prosta metoda pozwalająca zmierzyć, „jak bardzo” niewymierna jest dana liczba. Polega ona na badaniu dokładności aproksymacji liczby $x$ za pomocą liczb wymiernych.

Stopniem niewymierności nazywamy kres górny zbioru liczb rzeczywistych $\mu$ o tej własności, że nierówność

$0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{\mu }}}$

zachodzi dla nieskończenie wielu par $(p,q),$ gdzie $q>0.$

Wszystkie liczby Liouville’a i tylko one mają nieskończony stopień niewymierności.

Liczby Liouville’a jako liczby przestępne

Poniżej wykażemy, że każda liczba Liouville’a jest przestępna. Jednak nie każda liczba przestępna jest liczbą Liouville’a – ponieważ zbiór liczb Liouville’a jest zbiorem miary zero Lebesgue’a, to istnieje nieprzeliczalnie wiele liczb przestępnych, które nie są liczbami Liouville’a. Okazuje się, że liczbami Liouville’a nie są również liczby e oraz π.

Punktem kluczowym dowodu jest obserwacja, że liczba algebraiczna, która jest niewymierna, nie daje się w pewnym sensie „dobrze” aproksymować liczbami wymiernymi. Poniższy lemat należący do Liouville’a nazywany jest również często twierdzeniem Liouville’a o aproksymacji diofantycznej.

Lemat: Jeśli $\alpha$ jest liczbą niewymierną, która jest pierwiastkiem wielomianu $f$ stopnia $n>0$ o współczynnikach całkowitych, to istnieje liczba rzeczywista $A>0$ taka, że dla dowolnych liczb całkowitych $p$ oraz $q>0$ zachodzi $|\alpha -p/q|>A/q^{n}.$

Dowód lematu: Niech $M$ oznacza największą wartość modułu pochodnej $|f'(x)|$ wielomianu $f$ w przedziale $[\alpha -1,\alpha +1].$ Niech $\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{m}$ będą różnymi pierwiastkami wielomianu $f,$ które są różne od α. Wybierzmy taką liczbę $A>0,$ która spełnia warunek:

$A<\min \left(1,{\frac {1}{M}},|\alpha -\alpha _{1}|,|\alpha -\alpha _{2}|,\dots ,|\alpha -\alpha _{m}|\right).$

Przypuśćmy, że istnieją takie liczby całkowite $p,q,$ dla których nierówność podana w tezie lematu nie zachodzi. Oznacza to, że

$\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|\leqslant {\frac {A}{q^{n}}}\leqslant A<\min {\big (}1,|\alpha -\alpha _{1}|,|\alpha -\alpha _{2}|,\dots ,|\alpha -\alpha _{m}|{\big )}.$

Wówczas $p/q$ leży w przedziale $[\alpha -1,\alpha +1]$ oraz $p/q$ nie jest żadną z liczb $\{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{m}\}.$ Zatem $p/q$ nie jest też pierwiastkiem $f,$ a ponadto żaden pierwiastek $f$ nie leży pomiędzy $\alpha$ i $p/q.$

Na mocy twierdzenia o wartości średniej pomiędzy $p/q$ i $\alpha$ istnieje taka liczba $x_{0},$ że

$f(\alpha )-f\left({\frac {p}{q}}\right)=\left(\alpha -{\frac {p}{q}}\right)\cdot f'(x_{0}).$

Ponieważ $\alpha$ jest pierwiastkiem $f,$ a $p/q$ nie, zatem $|f'(x_{0})|>0$ i:

$\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|={\frac {\left|f(\alpha )-f\left({\frac {p}{q}}\right)\right|}{|f'(x_{0})|}}={\frac {\left|f\left({\frac {p}{q}}\right)\right|}{|f'(x_{0})|}}.$

Ponieważ $f$ jest postaci $\sum _{i=0}^{n}c_{i}\cdot x^{i},$ gdzie każde $c_{i}$ jest całkowite, $|f(p/q)|$ można zapisać jako

$\left|f\left({\frac {p}{q}}\right)\right|=\left|\sum _{i=0}^{n}c_{i}\left({\frac {p}{q}}\right)^{i}\right|={\frac {\left|\sum _{i=0}^{n}c_{i}p^{i}q^{n-i}\right|}{q^{n}}}\geqslant {\frac {1}{q^{n}}}.$

Ostatnia nierówność zachodzi, gdyż $p/q$ nie jest pierwiastkiem wielomianu $f,$ a $c_{i}$ są liczbami całkowitymi.

Zatem $|f(p/q)|\geqslant 1/q^{n},$ a skoro $|f'(x_{0})|\leqslant M$ na mocy określenia liczby $M$ i $1/M>A$ z definicji $A,$ otrzymujemy stąd sprzeczność:

$\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|={\frac {\left|f\left({\frac {p}{q}}\right)\right|}{|f'(x_{0})|}}\geqslant {\frac {1}{Mq^{n}}}>{\frac {A}{q^{n}}}\geqslant \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|.$

Wynika stąd, że nie istnieją liczby $p$ i $q$ o takich własnościach, co dowodzi lematu.

Dowód stwierdzenia: Niech $x$ będzie liczbą Liouville’a, wiemy już, że $x$ jest liczbą niewymierną. Gdyby $x$ była liczbą algebraiczną, na mocy lematu istniałyby liczby naturalna $n$ i rzeczywista dodatnia $A,$ takie że dla dowolnych całkowitych $p$ i $q{:}$

$\left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {A}{q^{n}}}.$

Niech $r$ będzie taką liczbą naturalną, że $1/(2^{r})\leqslant A.$ Jeśli położyć $m=r+n,$ to – ponieważ $x$ jest liczbą Liouville’a – znajdziemy liczby całkowite $a,b>1$ i takie, że

$\left|x-{\frac {a}{b}}\right|<{\frac {1}{b^{m}}}={\frac {1}{b^{r+n}}}={\frac {1}{b^{r}b^{n}}}\leqslant {\frac {1}{2^{r}b^{n}}}\leqslant {\frac {A}{b^{n}}},$

co stoi w sprzeczności z lematem. Stąd $x$ nie jest algebraiczna, a zatem jest przestępna.

Zobacz też

• liczby algebraiczne
• liczby przestępne
• ułamek łańcuchowy
• zbiór miary zero
• zbiór pierwszej kategorii

Linki zewnętrzne

• Początki liczb przestępnych (ang.)
• WojciechW. Czerwiński WojciechW., O przybliżaniu ułamkami, [w:] pismo „Delta”, deltami.edu.pl, marzec 2021, ISSN 0137-3005 [dostęp 2021-09-29]  (pol.).