Liczba bezkwadratowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
10 jest podzielne przez 2, 5 i 10, żadna z nich nie jest kwadratem liczby całkowitej (pierwszych kilka kwadratów liczby całkowitej to 1, 4, 9 i 16)

Liczba bezkwadratowa – taka liczba całkowita, która nie jest podzielna przez żaden kwadrat liczby całkowitej z wyjątkiem 1. Na przykład 10 jest liczbą bezkwadratową, ale 18 nie jest, bo 18 jest podzielne przez 9 = 3². Najmniejsze dodatnie liczby bezkwadratowe to[1]:

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, ... (OEIS: A005117.)

Bezkwadratowe czynniki liczb całkowitych[edytuj | edytuj kod]

Radykał liczby całkowitej jest zawsze bezkwadratowy: liczba całkowita jest bezkwadratowa, jeśli jest równa swemu radykałowi.

Radykał liczby całkowitej jest jej największym czynnikiem bezkwadratowym. Liczba całkowita jest bezkwadratowa, wtedy i tylko wtedy, gdy jest równa swemu radykałowi.

Dowolna dodatnia liczba całkowita może zostać przedstawiona w jednoznaczny sposób jako iloczyn potęgi liczby całkowitej i liczby bezkwadratowej, które są względnie pierwsze. Czynnik bezkwadratowy jest największym bezkwadratowym dzielnikiem liczby który jest względnie pierwszy z

Dowolna dodatnia liczba całkowita może zostać przedstawiona w jednoznaczny sposób jako iloczyn drugiej potęgi liczby całkowitej i liczby bezkwadratowej:

W tym rozkładzie jest największym dzielnikiem liczby takim, że jest dzielnikiem

Równoważne charakterystyki[edytuj | edytuj kod]

Dodatnia liczba całkowita jest bezkwadratowa, wtedy i tylko wtedy, gdy w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby żadna liczba pierwsza nie występuje więcej niż raz[1]. Można to samo wyrazić w inny sposób: dla każdego dzielnika liczby będącego liczbą pierwszą, nie dzieli jeszcze Inne sformułowanie jest następujące: jest bezkwadratowe wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym rozkładzie czynniki i względnie pierwsze. Bezpośrednim wnioskiem z tej definicji jest to, że wszystkie liczby pierwsze są bezkwadratowe.

Dodatnia liczba całkowita jest bezkwadratowa, wtedy i tylko wtedy, gdy gdzie oznacza funkcję Möbiusa.

Dodatnia liczba całkowita jest bezkwadratowa, wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie grupy abelowe rzędu izomorficzne, co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy dowolna z nich jest cykliczna. Wynika to z klasyfikacji skończenie generowanych grup abelowych.

Liczba całkowita jest bezkwadratowa, wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy jest produktem ciał. Wynika to z chińskiego twierdzenie o resztach oraz faktu, że pierścień postaci jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy jest liczbą pierwszą.

Dla każdej dodatniej liczby całkowitej zbiór wszystkich dodatnich dzielników staje się zbiorem częściowo uporządkowanym jeśli użyjemy podzielności jako relacji porządku. Taki częściowo uporządkowany zbiór jest zawsze kratą rozdzielną. Jest algebrą Boole’a wtedy i tylko wtedy, gdy jest bezkwadratowe.

Funkcja tworząca Dirichleta[edytuj | edytuj kod]

Funkcja tworząca Dirichleta dla liczb bezkwadratowych jest następująca

gdzie jest funkcją dzeta Riemanna.

Można to łatwo zobaczyć w produkcie Eulera

Dystrybucja[edytuj | edytuj kod]

Niech oznacza liczbę liczb bezkwadratowych między 1 i Wtedy [1]. Dla dużych 3/4 dodatnich liczb mniejszych niż nie dzieli się przez 4, 8/9 z tych liczb nie dzieli się przez 9 i tak dalej. Ponieważ te zdarzenia są niezależne otrzymujemy przybliżenie

Powyższą tezę można uściślić, a całkowicie elementarne oszacowanie daje

(zobacz pi i notacja dużego ) ponieważ używamy powyższej charakterystyki do uzyskania

a zauważywszy, że ostatni składnik sumy jest równy zero dla mamy

Wykorzystanie przez Arnolda Walfisza[2] największego znanego obszaru bez zer funkcji dzeta Riemanna, który odkryli Winogradow, Korobow i Richert, umożliwiło zredukowanie maksymalnego rozmiaru błędu i mamy

dla pewnej dodatniej stałej Na podstawie hipotezy Riemanna błąd można dalej redukować[3][4][5], by otrzymać

Dlatego asymptotyczna gęstość liczb bezkwadratowych jest

gdzie ζ is the funkcją dzeta Riemanna, a 1/ζ(2) jest w przybliżeniu 0,6079. Dlatego ponad 3/5 liczb całkowitych jest bezkwadratowa.

Podobnie, jeśli oznacza liczbę -wolnych liczb całkowitych (wtedy na przykład 2-wolne liczby całkowite oznaczają liczby bezkwadratowe, 3-wolne liczby całkowite są bezsześcienne) między 1 i można pokazać, że

Kodowanie jako liczby binarne[edytuj | edytuj kod]

Jeśli przedstawimy liczby bezkwadratowe jako nieskończony produkt

wtedy możemy wziąć te i użyć ich jako bitów w liczbie binarnej z kodowaniem

Liczba bezkwadratowa 42 ma rozkład lub jest nieskończonym produktem Dlatego 42 można zakodować jako sekwencję binarną ...001011 lub dziesiętne 11.

Skoro rozkład na liczby pierwsze jest jednoznaczny, więc również jednoznaczne jest binarne zakodowanie liczb bezkwadratowych.

Stwierdzenie odwrotne jest również prawdziwe. Ponieważ każda dodatnia liczba całkowita ma jednoznaczną reprezentację binarną, możliwe jest odwrócenie kodowania, więc mogą zostać odkodowane jednoznacznie do liczby bezkwadratowej.

Na przykład jeśli znowu zaczniemy od liczby 42, jako od zwykłej dodatniej liczby całkowitej, to jej binarna reprezentacja 101010 dekoduje się do

Dlatego kodowania liczb całkowitych bezkwadratowych w prawidłowej kolejności są permutacjami zbioru wszystkich liczb całkowitych.

Zobacz sekwencje OEIS: A019565., A048672. i A064273.

Twierdzenie bezkwadratowe Erdősa[edytuj | edytuj kod]

Środkowy współczynnik dwumianowy

nigdy nie jest bezkwadratowy dla Zostało to udowodnione w 1985 przez Andrása Sárközy’ego dla wszystkich wystarczjąco dużych liczb całkowitych[6], a dla wszystkich liczb całkowitych w 1996 przez Oliviera Ramaré’a i Andrew Granville’a[7].

Rdzeń bezkwadratowy[edytuj | edytuj kod]

Funkcja multiplikatywna jest definiowana do mapowania dodatnich liczb całkowitych na -wolne liczby przez redukcję wykładników w potęgach liczb pierwszych reprezentacji modulo :

Zbiorem wartości są w szczególności liczby bezkwadratowe. Ich funkcje tworzące Dirichleta są następujące

Odpowiedniki OEIS to: A007913. A050985. i A053165.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]