Liczba trójkątna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Liczby trójkątne

Liczba trójkątna Tnliczba obiektów, które – ustawione w regularnej trójkątnej siatce – mogą utworzyć kształt wypełnionego trójkąta równobocznego, w którego boku stoi n obiektów. Początkowymi liczbami trójkątnymi (włączając „zerową” liczbę trójkątną T0 = 0, odpowiadającą „trójkątowi pustemu”) są

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...

(ciąg A000217 w OEIS).

Każdą liczbę trójkątną można przedstawić w postaci sumy kolejnych, początkowych liczb naturalnych: . Tę sumę skończonego ciągu arytmetycznego zapisać można w postaci zwartej:

lub przy pomocy symbolu Newtona:

.

Symbol oznacza liczbę różnych dwuelementowych podzbiorów zbioru (n+1)–elementowego, zatem n–ta liczba trójkątna jest rozwiązaniem zagadnienia przywitań dla n + 1 osób[1].

Korzystając z powyższego wzoru możemy obliczyć różnicę i sumę dwóch kolejnych liczb trójkątnych:

różnica: ,
suma: .

Łatwo można sprawdzić, czy dana liczba jest trójkątna: trzeba w tym celu skorzystać z faktu, że jest liczbą trójkątną wtedy i tylko wtedy, gdy jest liczbą kwadratową[2].

Przypisy

  1. Zagadnienie przywitań (ang. handshake problem): w pomieszczeniu spotyka się N osób, każda przywita się z każdą, ile będzie przywitań (handshake, dosł. podań ręki)?
  2. SzczepanS. Jeleński SzczepanS., Śladami Pitagorasa, Warszawa 1988, ISBN 83-02-02857-6.

Linki zewnętrzne[edytuj]