Liczba trójkątna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Liczby trójkątne

Liczba trójkątna Tnliczba obiektów, które – ustawione w regularnej trójkątnej siatce – mogą utworzyć kształt wypełnionego trójkąta równobocznego, w którego boku stoi n obiektów. Początkowymi liczbami trójkątnymi (włączając „zerową” liczbę trójkątną T0 = 0, odpowiadającą „trójkątowi pustemu”) są

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...

(ciąg A000217 w OEIS).

Liczby trójkątne należą do rodziny liczb figuratywnych[1].

Każda liczba trójkątna jest sumą kolejnych, początkowych liczb naturalnych:

.

Korzystając ze wzoru na sumę skończonego ciągu arytmetycznego:

,

gdzie jest symbolem Newtona:

Liczba jest liczbą różnych dwuelementowych podzbiorów zbioru (n+1)–elementowego, zatem n–ta liczba trójkątna jest rozwiązaniem zagadnienia przywitań dla n + 1 osób[2].

Korzystając z powyższego wzoru możemy obliczyć różnicę i sumę dwóch kolejnych liczb trójkątnych:

różnica: ,
suma: .

Łatwo można sprawdzić, czy dana liczba jest trójkątna: trzeba w tym celu skorzystać z faktu, że jest liczbą trójkątną wtedy i tylko wtedy, gdy jest liczbą kwadratową[3].

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Weisstein, Eric W., Figurate Number, mathworld.wolfram.com [dostęp 2017-12-23] (ang.).
  2. Zagadnienie przywitań (ang. handshake problem): w pomieszczeniu spotyka się N osób, każda przywita się z każdą, ile będzie przywitań (handshake, dosł. podań ręki)?
  3. Szczepan Jeleński, Śladami Pitagorasa, Warszawa 1988, ISBN 83-02-02857-6.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]