Liczby Bernoulliego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Liczby Bernoulliego to nieskończony ciąg liczb wymiernych oznaczanych jako gdzie jest numerem porządkowym liczby, wprowadzony w roku 1631 przez Johanna Faulhabera w celu ułatwienia obliczania sum ustalonych potęg kolejnych liczb naturalnych. Takie ich zastosowania i niektóre ich własności opisał szczegółowo Jakob Bernoulli w książce Ars Conjectandi (wydanej po śmierci autora w roku 1713). Stwierdza tam między innymi, że potrafi, wykorzystując wzór Faulhabera (patrz niżej) obliczyć sumę: „w pół kwadransa”.

Liczby Bernoulliego znalazły zastosowanie w analizie (rozwinięcia funkcji w szereg Taylora) i w teorii liczb.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Obecnie funkcjonują w matematyce dwie definicje liczb Bernoulliego: nowsza – podana niżej jako definicja 1 i starsza – niżej cytowana jako definicja 2. Dla odróżnienia liczby Bernoulliego określone według definicji 1 oznacza się przez a według definicji 2 – przez Przy tym liczby stanowią podzbiór właściwy liczb

Liczby Bernoulliego – definicja 1[edytuj | edytuj kod]

Liczby Bernoulliego definiuje się jako współczynniki pojawiające się w rozwinięciu w szereg Taylora funkcji:

Szereg powyższy jest zbieżny dla

Równoważnie liczby Bernoulliego można zdefiniować rekurencyjnie za pomocą wzoru:

gdzie

Według tej definicji wszystkie liczby Bernoulliego, o indeksach nieparzystych większych od 2, są równe 0.

Liczby o indeksach parzystych większych od 0 są na przemian dodatnie i ujemne.

Pierwsze 21 liczb Bernoulliego zaczynając od :

Liczby Bernoulliego – definicja 2[edytuj | edytuj kod]

Liczby Bernoulliego definiuje się tym razem jako współczynniki pojawiające się w rozwinięciu w szereg Taylora funkcji:

Pierwsze kilka liczb Bernoulliego zaczynając od :

Powiązanie pomiędzy liczbami i opisuje poniższy wzór:

Wzór asymptotyczny[edytuj | edytuj kod]

Wykorzystując wzór Stirlinga otrzymuje się następujące przybliżenie wartości liczb Bernoulliego:

Twierdzenie Staudta[edytuj | edytuj kod]

Każda liczba Bernoulliego może być przedstawiona w postaci[1]

gdzie
jest liczbą naturalną, a sumowanie przebiega po takich dzielnikach k liczby dla których jest liczbą pierwszą.

Na przykład liczba Bernoulliego może być przedstawiona w postaci bo liczba 6 ma cztery dzielniki: 1, 2, 3, 6, z których trzy: 1, 2, 6 są odpowiednio liczbami o 1 mniejszymi od liczb pierwszych: 2, 3, 7.

Przykłady zastosowań[edytuj | edytuj kod]

Można je znaleźć w rozwinięciach w szereg Taylora wielu funkcji takich jak i w innych.

Wzór Faulhabera na sumę potęg kolejnych liczb naturalnych:

Związek z funkcją dzeta Riemanna wyraża wzór Eulera:

W szczególności wynika stąd, że

Inny wzór wyprowadzony także przez Eulera:

Liczby Bernoulliego badano też m.in. w związku z liczbami pierwszymi regularnymi. Wiele dalszych własności liczb Bernoulliego i innych ich zastosowań można znaleźć w podanych niżej źródłach.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. A. О. Гельфонд Исчисление конечных разностей, ГИТТЛ, 1952, s. 336–337.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]