Liczby Bernoulliego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Liczby Bernoulliego to nieskończony ciąg liczb wymiernych oznaczanych jako , gdzie jest numerem porządkowym liczby, wprowadzony w roku 1631 przez Johanna Faulhabera w celu ułatwienia obliczania sum ustalonych potęg kolejnych liczb naturalnych. Takie ich zastosowania i niektóre ich własności opisał szczegółowo Jakob Bernoulli w książce Ars Conjectandi (wydanej po śmierci autora w roku 1713). Stwierdza tam między innymi, że potrafi, wykorzystując wzór Faulhabera (patrz niżej) obliczyć sumę: "w pół kwadransa". Liczby Bernoulliego znalazły zastosowanie w analizie (rozwinięcia funkcji w szereg Taylora) i w teorii liczb.

Definicja[edytuj]

Obecnie funkcjonują w matematyce dwie definicje liczb Bernoulliego: nowsza - podana niżej jako definicja 1 i starsza - niżej cytowana jako definicja 2. Dla odróżnienia liczby Bernoulliego określone według definicji 1 oznacza się przez a według definicji 2 - przez Przy tym liczby stanowią podzbiór właściwy liczb .

Liczby Bernoulliego - Definicja 1[edytuj]

Liczby Bernoulliego definiuje się jako współczynniki pojawiające się w rozwinięciu w szereg Taylora funkcji:

Szereg powyższy jest zbieżny dla . Równoważnie liczby Bernoulliego można zdefiniować rekurencyjnie za pomocą wzoru:

gdzie

Według tej definicji wszystkie liczby Bernoulliego, o indeksach nieparzystych większych od 2, są równe 0.

Liczby o indeksach parzystych większych od 0 są na przemian dodatnie i ujemne.

Pierwsze 21 liczb Bernoulliego zaczynając od :

Liczby Bernoulliego - Definicja 2[edytuj]

Liczby Bernoulliego definiuje się tym razem jako współczynniki pojawiające się w rozwinięciu w szereg Taylora funkcji:

Pierwsze kilka liczb Bernoulliego zaczynając od :

Powiązanie pomiędzy liczbami i opisuje poniższy wzór:

Wzór asymptotyczny[edytuj]

Wykorzystując wzór Stirlinga otrzymuje się następujące przybliżenie wartości liczb Bernoulliego:


Twierdzenie Staudta[edytuj]

Każda liczba Bernoulliego może być przedstawiona w postaci[1]

, gdzie
jest liczbą naturalną, a sumowanie przebiega po takich dzielnikach k liczby , dla których jest liczbą pierwszą.

Na przykład liczba Bernoulliego może być przedstawiona w postaci , bo liczba 6 ma cztery dzielniki: 1, 2, 3, 6, z których trzy: 1, 2, 6 są odpowiednio liczbami o 1 mniejszymi od liczb pierwszych: 2, 3, 7.

Przykłady zastosowań[edytuj]

Można je znaleźć w rozwinięciach w szereg Taylora wielu funkcji takich jak i w innych.

Wzór Faulhabera na sumę potęg kolejnych liczb naturalnych:

Związek z funkcją dzeta Riemanna wyraża wzór Eulera:

W szczególności wynika stąd, że

Inny wzór wyprowadzony także przez Eulera:

Liczby Bernoulliego badano też m.in. w związku z liczbami pierwszymi regularnymi. Wiele dalszych własności liczb Bernoulliego i innych ich zastosowań można znaleźć w podanych niżej źródłach.


Przypisy

  1. A. О. Гельфонд Исчисление конечных разностей, ГИТТЛ, 1952, s. 336-337

Bibliografia[edytuj]

  1. Paulo Ribenboim, Mała księga wielkich liczb pierwszych, Warszawa, WNT 1997 ISBN 83-204-2201-9
  2. J. H. Conway, R. K. Guy, Księga liczb, Warszawa, WNT 1999 ISBN 83-204-2366-X
  3. R.L. Graham,D.E.Knuth, O. Patashnik Matematyka konkretna, §6.5.: Liczby Bernoulliego, Warszawa, PWN 2006 ISBN 83-01-14764-4
  4. Eric W. Weisstein, „Bernoulli Number” na MathWorld.