Ciąg Fibonacciego

Wykres funkcji dla pierwszych ośmiu wyrazów ciągu Fibonacciego $(F_{0}\dots F_{7})$

Ciąg Fibonacciego – ciąg liczb naturalnych określony rekurencyjnie w sposób następujący:

Pierwszy wyraz jest równy 0, drugi jest równy 1, każdy następny jest sumą dwóch poprzednich.

Formalnie:

$F_{n}:={\begin{cases}0&{\text{dla }}n=0,\\1&{\text{dla }}n=1,\\F_{n-1}+F_{n-2}&{\text{dla }}n>1.\end{cases}}$

Kolejne wyrazy tego ciągu nazywane są liczbami Fibonacciego. Zaliczanie zera do elementów ciągu Fibonacciego zależy od umowy – część autorów definiuje ciąg od $F_{1}=F_{2}=1$.

Pierwsze dwadzieścia wyrazów ciągu Fibonacciego to:

$F_{0}$	$F_{1}$	$F_{2}$	$F_{3}$	$F_{4}$	$F_{5}$	$F_{6}$	$F_{7}$	$F_{8}$	$F_{9}$	$F_{10}$	$F_{11}$	$F_{12}$	$F_{13}$	$F_{14}$	$F_{15}$	$F_{16}$	$F_{17}$	$F_{18}$	$F_{19}$
0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233	377	610	987	1597	2584	4181

Ciąg został omówiony w roku 1202 przez Leonarda z Pizy, zwanego Fibonaccim, w dziele Liber abaci jako rozwiązanie zadania o rozmnażaniu się królików. Nazwę „ciąg Fibonacciego” spopularyzował w XIX w. Édouard Lucas.

Wzór Bineta

Jawny wzór na $n$-ty wyraz ciągu Fibonacciego podany w 1843 r. przez J.P.M. Bineta możemy otrzymać, korzystając z metody funkcji tworzących.

Niech

$f_{n}=F_{n+1}.$

Funkcja tworząca dla tego ciągu ma postać

$s(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}x^{n}.$

Podstawiając $f_{n}=f_{n-1}+f_{n-2},$ otrzymujemy:

${\begin{aligned}s(x)&=1+x+\sum _{n=2}^{\infty }\left(f_{n-2}+f_{n-1}\right)x^{n}\\&=1+x+x^{2}\sum _{n=2}^{\infty }f_{n-2}x^{n-2}+x\sum _{n=2}^{\infty }f_{n-1}x^{n-1}\\&=1+x+x^{2}s(x)+x(s(x)-1)=1+xs(x)+x^{2}s(x).\end{aligned}}$

W szczególności,

$s(x)={\frac {1}{1-x-x^{2}}}.$

Wyrażenie ${\frac {1}{1-x-x^{2}}}$ można przedstawić w prostszej postaci, mianowicie:

${\frac {1}{1-x-x^{2}}}=A/(1-ax)+B/(1-bx),$

gdzie:

$a={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},$

$b={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}},$

$A={\frac {a}{a-b}},$

$B={\frac {-b}{a-b}}.$

Wówczas:

$s(x)=A\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}x^{n}+B\sum _{n=0}^{\infty }b^{n}x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a^{n+1}-b^{n+1})}{(a-b)}}x^{n},$

a stąd:

$f_{n}={\frac {(a^{n+1}-b^{n+1})}{(a-b)}}.$

Ponieważ $F_{n}=f_{n-1},$ wyprowadzony został ostatecznie tzw. wzór Bineta zwany czasem wzorem Eulera-Bineta:

$F_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-{\frac {1}{\sqrt {5}}}\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}.$

Ponieważ drugi człon tego wyrażenia szybko zbiega do zera

$F_{n}\approx {\frac {1}{\sqrt {5}}}\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}.$

Znaczenia kombinatoryczne

• liczba ciągów o wyrazach równych 1 lub 2, które sumują się do liczby $n,$ jest równa $F_{n+1},$
• liczba pokryć planszy $2\times n$ kostkami domina $2\times 1$ jest równa $F_{n+1},$
• liczba ciągów binarnych bez kolejnych jedynek (równoważnie zer) jest równa $F_{n+2},$
• liczba podzbiorów zbioru $\{1,\dots ,n\}$ bez kolejnych liczb jest równa $F_{n+2},$
• liczba ciągów binarnych bez nieparzystej długości ciągów jedynek jest równa $F_{n+1},$
• liczba ciągów binarnych bez parzystej długości ciągów zer lub jedynek jest równa $2F_{n}.$

Własności

Sumy wyrazów tworzące ciąg Fibonacciego na trójkącie Pascala.

Można też wyrazić wartości kolejnych elementów ciągu za pomocą symbolu Newtona:

$F_{n}=\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {n+1}{2}}\right\rfloor }{n-k \choose k-1}$

Zachodzą równości:

$\sum _{k=1}^{n}F_{k}=F_{n+2}-1$

$\sum _{i=0}^{n}iF_{i}=nF_{n+2}-F_{n+3}+2$

Ciąg kwadratów, których długości boków są kolejnymi liczbami Fibonacciego

$\sum _{k=1}^{n}F_{k}^{2}=F_{n+1}F_{n}$ (równanie ilustruje rysunek)

$\sum _{k=1}^{n}F_{k}^{3}=(F_{3n+2}+(-1)^{n+1}6F_{n-1}+5)/10$

$F_{2n}=F_{n+1}^{2}-F_{n-1}^{2}$

$F_{2n-1}=F_{n}^{2}+F_{n-1}^{2}$

$F_{n+1}F_{n-1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n},$ tzw. zależność Cassiniego (1680), która leży u podstaw zagadki brakującego kwadratu oraz uogólniona wersja:

$F_{n}^{2}-F_{n-r}F_{n+r}=(-1)^{n-r}F_{r}^{2},$ tzw. zależność Catalana

$F_{n+1}F_{m}+F_{n}F_{m-1}=F_{m+n}$

$\sum _{i=0}^{n-1}F_{2i+1}=F_{2n}$

$\sum _{i=1}^{n}F_{2i}=F_{2n+1}-1$

$\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}F_{i}=(-1)^{n+1}F_{n-1}+1$

$\sum _{k=0}^{n-1}{n \choose k}F_{n-k}=F_{2n}$

$\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{n-i \choose j}{n-j \choose i}=F_{2n+2}$

Dowód: W zapisie $2n+1$ jako sumy jedynek i dwójek jest nieparzysta liczba jedynek. Lewa strona równości stanowi zliczanie liczby zapisów $2n+1,$ w którym parametry $i$ i $j$ odpowiadają liczbie dwójek po prawej i lewej stronie środkowej jedynki.

Kilka mniej znanych twierdzeń na temat ciągu Fibonacciego:

• Z wyjątkiem jednocyfrowych liczb ciągu Fibonacciego zawsze cztery albo pięć następujących po sobie wyrazów ciągu ma tę samą liczbę cyfr w układzie dziesiętnym.
• Jedynymi liczbami w całym ciągu Fibonacciego, będącymi kwadratami liczb całkowitych są 0, 1 i 144^{[potrzebny przypis]}.
• Co trzecia liczba Fibonacciego jest podzielna przez 2, co czwarta – przez 3. Ogólniej: jeśli numer $n$ dzieli się przez $k,$ to liczba $F_{n}$ dzieli się przez $F_{k}.$ Dokładniej:

Jeśli $n=mq,$ to: $F_{n}=F_{m}\sum _{j=1}^{q}F_{m-1}^{j-1}F_{n-jm+1}.$

Zachodzi jeszcze silniejszy związek: największy wspólny dzielnik dwóch liczb Fibonacciego jest liczbą Fibonacciego, której numer jest równy największemu wspólnemu dzielnikowi numerów tych liczb: $\gcd(F_{m},\,F_{n})=F_{\gcd(m,\,n)}\dots$

• Każda niezerowa liczba całkowita ma wielokrotność będącą liczbą Fibonacciego.
• Istnieje nieskończenie wiele liczb $n,$ dla których zachodzi podzielność $n|F_{n}.$ W szczególności można pokazać, że jeśli $m\in \mathbb {N}$ to $5^{m}|F_{5^{m}}.$

Obliczanie liczb Fibonacciego

Teoretycznie wartości kolejnych wyrazów ciągu Fibonacciego mogą być obliczone wprost z definicji, jest to jednak metoda na tyle wolna, że stosowanie jej ma tylko sens dla niewielu początkowych wyrazów ciągu, nawet na bardzo szybkich komputerach. Wynika to z tego, że definicja $F_{n}$ wielokrotnie odwołuje się do wartości poprzednich wyrazów ciągów. Drzewo wywołań takiego algorytmu dla parametru $n$ musi mieć co najmniej $F_{n}$ liści o wartości 1. Ponieważ ciąg Fibonacciego rośnie wykładniczo, oznacza to wyjątkowo słabą wydajność.

Istnieje równie prosta i znacznie szybsza metoda. Obliczamy wartości ciągu po kolei: $F_{0},$ $F_{1},$ $F_{2}$ i tak aż do $F_{n},$ za każdym razem korzystając z tego, co już obliczyliśmy. Nie trzeba nawet zapamiętywać wszystkich obliczonych dotychczas wartości, ponieważ wystarczą dwie ostatnie. Daje to złożoność liniową – o wiele lepszą od wykładniczej złożoności poprzedniej metody. Metoda ta może być postrzegana jako zastosowanie programowania dynamicznego.

 Fibonacci( n )
   if n=0 then return 0
   if n=1 then return 1
   f' ← 0
   f ← 1
   for i ← 2 to n
     do
       m ← f + f'
       f' ← f
       f ← m
     end
   return f

Macierze liczb Fibonacciego

Można zrobić to jeszcze szybciej dzięki zależności:

${\begin{bmatrix}F_{n+2}&F_{n+1}\\F_{n+1}&F_{n}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}F_{n+3}&F_{n+2}\\F_{n+2}&F_{n+1}\end{bmatrix}}.$

Ponieważ równocześnie:

${\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}F_{2}&F_{1}\\F_{1}&F_{0}\end{bmatrix}},$

to indukcyjnie:

${\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}^{n}={\begin{bmatrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{bmatrix}},\quad n\geqslant 1$

lub w notacji wektorowej

${\begin{bmatrix}F_{n+1}\\F_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}^{n}\times {\begin{bmatrix}F_{1}\\F_{0}\end{bmatrix}}.$

A ponieważ potęgowanie macierzy dla naturalnego wykładnika potęgi można przeprowadzić bardzo wydajnie algorytmem szybkiego potęgowania, możemy wyliczyć dowolny wyraz ciągu Fibonacciego z kosztem logarytmicznym względem $n,$ tzn. obliczenie $F_{n}$ wymaga ilości mnożeń $\Theta (\log n)$ (symbol $\Theta$ oznacza asymptotyczne tempo wzrostu).

• zobacz implementacje algorytmów obliczających wyrazy ciągu Fibonacciego

Graficzna reprezentacja dwójkowa

Ciąg Fibonacciego w systemie dwójkowym

Jeśli kolejne wyrazy ciągu zapisać w systemie dwójkowym, jeden pod drugim, z wyrównaniem do prawej strony, to otrzymamy wydłużający się w dół trójkąt, którego elementy powtarzają się („czubek” pojawia się poniżej, przy prawej krawędzi, w coraz dłuższym rozwinięciu – pojawia się nad nim „biały trójkąt”), co czyni go podobnym do fraktala. Dla lepszej przejrzystości na rysunku obok wszystkie zera zastąpiono białymi punktami, a jedynki – czarnymi.

Złota liczba

Granica ciągu:

${\frac {F(n+1)}{F(n)}},$

czyli ilorazów sąsiadujących ze sobą wyrazów ciągu Fibonacciego, to tzw. złota liczba lub złota proporcja definiowana jako dodatnie rozwiązanie równania:

${\frac {x}{1}}={\frac {1}{x-1}}$ lub równoważnego $x=1+{\frac {1}{x}},$

czyli

$\lim _{n\to \infty }{\frac {F(n+1)}{F(n)}}=\phi ,$

$\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1{,}61803\,39887\ldots$

Dowód

Taka granica istnieje, gdyż ten ciąg jest nierosnący i ograniczony z dołu przez 0. Teraz należy wyłącznie ją obliczyć.

${\begin{aligned}x&={\lim _{n\to \infty }{\frac {F(n+1)}{F(n)}}}\\[.2em]&=\lim _{n\to \infty }{\frac {F(n)+F(n-1)}{F(n)}}\\[.2em]&=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {F(n)}{F(n)}}+{\frac {F(n-1)}{F(n)}}\right)\\[.2em]&=1+\lim _{n\to \infty }{\frac {F(n-1)}{F(n)}}\\[.2em]&=1+{\frac {1}{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F(n)}{F(n-1)}}}}\\[.2em]&=1+{\frac {1}{x}}.\end{aligned}}$

Jest ona także pierwiastkiem wielomianu $x^{2}-x-1$ oraz równania $x+x^{-2}=2.$

W powyższym dowodzie informacja o początkowych wyrazach ciągu, czy też jakichkolwiek innych, nie była wykorzystywana, dlatego dla dowolnego ciągu

$G_{n}:=G(n):={\begin{cases}a&{\text{dla }}n=0,\\b&{\text{dla }}n=1,\\G(n-1)+G(n-2)&{\text{dla }}n>1.\end{cases}}$

zachodzi wzór: $G_{n}=a\cdot F_{n-1}+b\cdot F_{n}.$ Czasem taki ciąg G również nazywany jest ciągiem Fibonacciego lub uogólnionym ciągiem Fibonacciego.

Jeżeli, a i b nie są równocześnie zerami, to granica ciągu $\left({\frac {G(n+1)}{G(n)}}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ jest taka sama jak dla oryginalnego ciągu Fibonacciego.

Kolejne wyrazy ciągu: ${\frac {F(n+1)}{F(n)}}$ są także wartością $n$-tego odcinka ułamka łańcuchowego: $\varphi =[1;1,1,1,\dots ]=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\cdots }}}}}},$

wartościami kolejnych odcinków są liczby:

${\cfrac {1}{1}}=1\qquad {\cfrac {2}{1}}=1+{\cfrac {1}{1}}\qquad {\cfrac {3}{2}}=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1}}}}\qquad {\cfrac {5}{3}}=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1}}}}}}\qquad {\cfrac {8}{5}}=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1}}}}}}}}$

Liczby pierwsze w ciągu Fibonacciego

Kilka początkowych wyrazów w ciągu Fibonacciego to także liczby pierwsze, a mianowicie: 2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229. Wydaje się prawdopodobne, że liczb pierwszych w ciągu Fibonacciego istnieje nieskończenie wiele, lecz problem ten jak dotąd nie doczekał się rozstrzygnięcia.

Pokrewne ciągi

Ciąg Lucasa

Ciąg Lucasa jest pewną odmianą ciągu Fibonacciego, definiujemy go

$L_{n}:=L(n):={\begin{cases}2&{\text{dla }}n=0,\\1&{\text{dla }}n=1,\\L(n-1)+L(n-2)&{\text{dla }}n>1.\end{cases}}$

Zachodzą równości:

$L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1}$

$F_{n}={\tfrac {1}{5}}(L_{n-1}+L_{n+1}).$

$F_{n+1}={\tfrac {1}{2}}(F_{n}+L_{n}).$

$F_{2n}=F_{n}L_{n}.$

$F_{m+n}={\tfrac {1}{2}}(F_{m}L_{n}+F_{n}L_{m}).$

$F_{m-n}={\tfrac {1}{2}}(-1)^{n}(F_{m}L_{n}-F_{n}L_{m}).$

Ciąg „Tribonacciego”

Różni się od ciągu Fibonacciego tym, że każdy kolejny jego wyraz powstaje przez zsumowanie poprzednich trzech wyrazów zamiast dwóch.

Jego kilka początkowych wyrazów to: 0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890...

Stała „Tribonacciego” jest granicą ciągu: ${\frac {T(n+1)}{T(n)}}$ (gdzie $T(n)$ jest $n$-tym wyrazem ciągu „Tribonacciego”), czyli analogiem złotej liczby dla ciągu Fibonacciego. Jest ona pierwiastkiem wielomianu $x^{3}-x^{2}-x-1$ oraz równania $x+x^{-3}=2$ i wynosi ok. 1,83929.

Ciąg „Tetranacciego”

Różni się od ciągu Fibonacciego tym, każdy kolejny jego wyraz powstaje przez zsumowanie poprzednich czterech wyrazów zamiast dwóch.

Jego kilka początkowych wyrazów to: 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, 208, 401, 773, 1490, 2872, 5536, 10671, 20569...

Stała „Tetranacciego” jest granicą ciągu: ${\frac {T(n+1)}{T(n)}}$ (gdzie $T(n)$ jest $n$-tym wyrazem ciągu „Tetranacciego”). Jest ona pierwiastkiem wielomianu $x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1$ oraz równania $x+x^{-4}=2$ i wynosi ok. 1,92756.

Słowa Fibonacciego

Ciąg słów Fibonacciego to ciąg słów

$F_{n}={\begin{cases}b&{\text{dla }}n=1,\\a&{\text{dla }}n=2,\\F_{n-1}\cdot F_{n-2}&{\text{dla }}n>2,{\text{ gdzie }}\cdot {\text{ oznacza sklejenie ciagow}}\end{cases}}$

Ciąg Fibonacciego w biologii

W kształtach wielu roślin widać linie spiralne. Na przykład na owocu ananasa 8 takich linii biegnie w jedną stronę, a 5 lub 13 w przeciwną. Na tarczy słonecznika może się krzyżować 55 spiral z 89 (liczby te bywają większe). Również różyczki kalafiora ułożone są spiralnie.

U większości roślin takie organy jak łodyga, liście czy kwiaty rozwijają się z małego, centralnie usytuowanego skupiska komórek – merystemu. Każdy zawiązek nowego organu (zwany primordium) wyrasta z merystemu w innym kierunku, pod pewnym kątem w stosunku do zawiązka, który pojawił się wcześniej. Okazuje się, że u wielu roślin ten kąt jest taki sam i że to właśnie dzięki niemu powstają wspomniane linie spiralne. Ten kąt to w przybliżeniu 137,5 stopnia (jest to tak zwany „Złoty kąt”). „Złotego kąta” nie da się wyrazić ułamkiem zwykłym. Jego dopełnienie do 360 stopni wynosi w przybliżeniu 5/8 kąta pełnego, dokładniej jest to 8/13 kąta pełnego, jeszcze dokładniej 13/21 i tak dalej (oparcie na liczbach Fibonacciego), ale żaden ułamek zwykły nie odpowiada mu ściśle.

Kiedy pojawiają się kolejne zawiązki, to jeśli każdy następny utworzy z poprzednim wspomniany „złoty kąt”, nigdy nie dojdzie do tego, by dwa z nich (lub więcej) rozwijały się w tym samym kierunku. Dzięki temu organy nie wyrastają z merystemu promieniście, lecz układają się w linie spiralne.

Ciąg Fibonacciego w muzyce

Niektórzy muzykolodzy dopatrują się istnienia ciągu Fibonacciego w utworach muzycznych oraz w budowie instrumentów. Zależności takie występują w utworach muzycznych – najczęściej w proporcjach rytmicznych. Węgierski muzykolog Erno Lendvai wykrył wiele takich zależności w muzyce Beli Bartóka, przede wszystkim w Muzyce na instrumenty strunowe, perkusję i czelestę, gdzie w cz. I kolejne odcinki formy zaczynają się w następującym porządku:

• zakończenie ekspozycji – t. 21,
• początek stretto – t. 34,
• kulminacja części – t. 55,
• koniec części – t. 89.

W drugiej połowie XX wieku ciąg Fibonacciego stosowany był przez niektórych kompozytorów do proporcjonalnego porządkowania rytmu lub harmonii. Szczególnie często sięgali do niego kompozytorzy stosujący technikę serialną, np.: Karlheinz Stockhausen Klavierstück IX, Luigi Nono Il canto sospeso, Christobal Halffter Fibonacciana. Na ciągu Fibonacciego stosowanym równocześnie w przód i wstecz zbudowane jest Trio klarnetowe Krzysztofa Meyera. Jednostką miary jest w tym utworze ćwierćnuta, a kolejne odcinki różnią się obsadą. I tak np.:

• kolejne odcinki grane przez fortepian mają długość: 89, 55, 34, 21, 13 ćwierćnut,
• wszystkie instrumenty razem grają: 21, 34, 55, 89, 144 ćwierćnut.

Ciąg Fibonacciego używany jest też przez twórców spoza muzyki klasycznej, np. zespół Tool wykonujący muzykę z pogranicza rocka i metalu progresywnego w albumie Lateralus w tytułowym utworze użył ciągu Fibonacciego do stworzenia linii wokalnej.

Ciąg Fibonacciego w literaturze

Motyw ciągu Fibonacciego wykorzystany został także w utworach literackich. W książce Kod Leonarda da Vinci Dana Browna stanowi on element jednego z kodów, który muszą złamać główni bohaterowie. W powieści Gniazdo światów Marka Huberatha ciąg Fibonacciego jest podstawą struktury wszechświata, na której oparte są kolejne jego poziomy.

Istnieją też utwory poetyckie nawiązujące formą do ciągu Fibonacciego. Współczesny poeta polski Marcin Orliński (na potrzeby czasopisma satyrycznego) nazwał ten gatunek fibonagramem. W obrębie fibonagramu wyróżnił fibonagram literowy (liczba liter w kolejnych wyrazach odpowiada wartości kolejnych wyrazów w ciągu) i fibonagram wyrazowy (liczba słów w wersie odpowiada wartości kolejnych wyrazów w ciągu).

Linki zewnętrzne

• Antoni Długosz, Dywany Antoniego – nie tylko bajka o pewnych zastosowaniach ciągu Fibonacciego
• Liczba Fibonacciego (ang.) w encyklopedii MathWorld
• Formuły związane z ciągiem Fibonacciego
• Ciąg Fibonacciego w On-Line Encyclopedia of Integer Sequences