Liczby Stirlinga

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Liczby Stirlinga – dwa szczególne ciągi liczbowe analizowane przez Jamesa Stirlinga[1].

Liczby Stirlinga I rodzaju[edytuj | edytuj kod]

Opisują liczbę sposobów na rozmieszczenie liczb w cyklach, oznaczane są symbolem:

który czyta się „k cykli n”. Spełniają one związek rekurencyjny postaci:

przy założeniach

Przyjmuje się, że jeżeli to

Niekiedy liczby Stirlinga pierwszego rodzaju są oznaczane innym symbolem:

oraz

Czasami przyjmuje się także naprzemienne, dodatnie i ujemne wartości liczb Stirlinga pierwszego rodzaju, co ma uzasadnienie przy wzorach na potęgi kroczące. W przyjętej tu konwencji liczby Stirlinga pierwszego rodzaju są zawsze nieujemne.

Pochodzenie wzoru rekurencyjnego[edytuj | edytuj kod]

Przyjmując za znaczenie liczb Stirlinga pierwszego rodzaju ilość rozmieszczeń liczb w cyklach, łatwo jest pokazać pochodzenie rekurencyjnej zależności między nimi. Wystarczy wybrać dowolną liczbę i rozpatrzyć ilość pozostałych cykli. Jeżeli ta liczba była w cyklu, składającym się z jednego elementu, to pozostałe liczb jest rozmieszczonych w cyklach, zaś dodanie jednej cyfry następuje w jeden sposób, poprzez stworzenie nowego cyklu. Jeżeli liczba była w liczniejszym cyklu, to pozostałe liczb jest rozmieszczonych w cyklach, zaś dodatkową liczbę można wstawić do dowolnego cyklu w dowolny sposób, czyli „obok” każdej liczby, a liczb jest co oznacza sposobów umieszczenia liczby w tym przypadku. Rekurencyjna zależność jest sumą obu przypadków. Warto przy tym zauważyć, że zbiór liczb można ustawić w 0 cykli na 0 sposobów, oraz 1 liczbę w 1 cyklu na 1 sposób.

Potęgi kroczące[edytuj | edytuj kod]

Liczby Stirlinga pierwszego rodzaju bywają także definiowane jako współczynniki, występujące przy zamianie potęg malejących (silni dolnej) na zwyczajne potęgi:

Przy zamianie normalnych potęg na potęgi rosnące (silnię górną) występuje zależność:

Trójkąt liczbowy[edytuj | edytuj kod]

Liczby Stirlinga I rodzaju tworzą trójkąt liczbowy podobny do trójkąta Pascala. (Przyjęto tu naprzemienne, dodatnie i ujemne wartości liczb Stirlinga, co ma uzasadnienie tylko przy wzorach na potęgi kroczące)

n/k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1
1 0 1
2 0 −1 1
3 0 2 −3 1
4 0 −6 11 −6 1
5 0 24 −50 35 −10 1
6 0 −120 274 −225 85 −15 1
7 0 720 −1764 1624 −735 175 −21 1
8 0 −5040 13068 −13132 6769 −1960 322 −28 1
9 0 40320 −109584 118124 −67284 22449 −4536 546 −36 1

Liczby Stirlinga II rodzaju[edytuj | edytuj kod]

Opisują liczbę sposobów podziału zbioru n elementowego na k niepustych podzbiorów, oznaczane są symbolem który czyta się „k podzbiorów n”. Spełniają one związek rekurencyjny postaci:

przy założeniach Przyjmuje się, że jeżeli to

Niekiedy liczby Stirlinga drugiego rodzaju zapisywane są w inny sposób: bądź Liczby Stirlinga drugiego rodzaju są zawsze dodatnie.

Potęgi kroczące[edytuj | edytuj kod]

Niekiedy liczby Stirlinga drugiego rodzaju są definiowane jako współczynniki, występujące przy zamianie normalnych potęg na potęgi malejące (silnię dolną). Zachodzi wówczas zależność:

Pochodzenie wzoru rekurencyjnego[edytuj | edytuj kod]

Przyjmując za znaczenie liczb Stirlinga drugiego rodzaju ilość sposobów podziału zbioru -elementowego na podzbiorów niepustych, łatwo jest uzasadnić rekurencyjną zależność. Rozpatrzymy zbiór liczb, i wybierzmy jedną z nich. Jeżeli ta liczba stanowiła jednoelementowy podzbiór, to pozostałe liczb będzie podzielone na podzbiorów, zaś jedną liczbę można dodać na jeden sposób, jako kolejny podzbiór. Jeżeli liczba była elementem liczniejszego podzbioru, to pozostałe liczb zostało podzielone na podzbiorów, zaś dodatkową liczbę można dołączyć do każdego z podzbiorów, których jest Można to więc w tym przypadku zrobić na dokładnie sposobów. Rekurencyjna zależność jest sumą obu przypadków. Warto przy tym zauważyć, że zbiór liczb można podzielić na 1 podzbiór na 1 sposób, a także na podzbiorów na 1 sposób.

Trójkąt liczbowy[edytuj | edytuj kod]

n/k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1
1 0 1
2 0 1 1
3 0 1 3 1
4 0 1 7 6 1
5 0 1 15 25 10 1
6 0 1 31 90 65 15 1
7 0 1 63 301 350 140 21 1
8 0 1 127 966 1701 1050 266 28 1
9 0 1 255 3025 7770 6951 2646 462 36 1

Własności liczb[edytuj | edytuj kod]

  • (prawo dualności),

Z wzorów, pokazujących zależności między potęgami kroczącymi a normalnymi potęgami wynikają następujące zależności:

oraz

gdzie to delta Kroneckera,

Warto także odnotować fakt, że:

określa liczbę surjekcji zbioru -elementowego na zbiór -elementowy, co łatwo udowodnić indukcyjnie zauważając związki:

oraz że dla dowolnego

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Stirling numbers – Encyclopedia of Mathematics, www.encyclopediaofmath.org [dostęp 2017-11-01] (ang.).

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Donald Ervin Knuth, Grzegorz Jakacki: Sztuka programowania. T. 1, Algorytmy podstawowe. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2002. ​ISBN 83-204-2540-9​ (t. 1).