Liczby doskonałe

Liczba doskonała – liczba naturalna, która jest sumą wszystkich swych naturalnych dzielników właściwych (to znaczy od niej mniejszych). Korzystając z pojęcia funkcji σ, można liczby doskonałe definiować jako te, dla których zachodzi warunek:

$\sigma (n)=2n$ .

Najmniejszą liczbą doskonałą jest $6$, ponieważ $6=3+2+1$. Następną jest $28$, ponieważ: $28=14+7+4+2+1$.

Kolejnymi są: $496$, $8\,128$, $33\,550\,336$, $8\,589\,869\,056$, $137\,438\,691\,328$ i $2\,305\,843\,008\,139\,952\,128$.

Największą znaną obecnie (21 października 2024) liczbą doskonałą jest $2^{136279840}\cdot (2^{136279841}-1)$ . Liczy ona
dokładnie $82\,048\,640$ cyfr w rozwinięciu dziesiętnym.

Uwaga. Wszystkie znane liczby doskonałe, są parzyste. Dotychczas nie udało się znaleźć żadnej nieparzystej liczby doskonałej, ani też udowodnić, że takie liczby nie istnieją. W piśmiennictwie pojawiają się jednak prace bazujące na obliczeniach komputerowych, które przedstawiają pewne konieczne ograniczenia dolne dla takiej liczby (gdyby miała istnieć). W 2012 roku matematycy Pascal Ochem oraz Michaël Rao dowiedli, przeprowadzając odpowiednie kalkulacje, że jeśli nieparzysta liczba doskonała $N$ istnieje, to musi ona mieć co najmniej 1501 cyfr w swoim zapisie dziesiętnym (pokazali oni, że musi być: $N>10^{1500}$). Zagadnienie istnienia nieparzystej liczby doskonałej jest jednym z najstarszych wciąż nierozwiązanych problemów w matematyce.

Metoda Euklidesa znajdowania liczb doskonałych

W IX księdze Elementów, najstarszym znanym piśmie opisującym liczby doskonałe, Euklides podał sposób znajdowania liczb doskonałych parzystych:

Należy obliczać sumy kolejnych potęg dwójki ($1+2+4+8+\dots$ ). Jeżeli któraś z otrzymanych sum okaże się liczbą pierwszą, należy pomnożyć ją przez ostatni składnik i otrzymamy liczbę doskonałą.

Sposób podany przez Euklidesa każe badać kolejno sumy:

$1+2^{1},\quad 1+2^{1}+2^{2},\quad 1+2^{1}+2^{2}+2^{3},\quad \dots$

Są to sumy ciągu geometrycznego o ilorazie $2$, mają więc one postać $2^{i}-1$. Jeśli któraś z liczb $2^{i}-1$ okaże się liczbą pierwszą, to wówczas $(2^{i}-1)\cdot 2^{i-1}$ jest liczbą doskonałą.

Własności

Leonhard Euler udowodnił, że każda liczba doskonała parzysta ma postać $(2^{p}-1)\cdot 2^{p-1}$, gdzie $2^{p}-1$ jest liczbą pierwszą. Warunkiem pierwszości liczby $2^{p}-1$ jest pierwszość liczby $p$.

Rzeczywiście, niech $n=ab$ będzie liczbą złożoną, gdzie $a,b>1$ są liczbami naturalnymi. Wówczas:

$2^{n}-1=2^{ab}-1=(2^{a})^{b}-1^{b}=$

$=(2^{a}-1)\cdot {\Big (}2^{\,a(b-1)}+2^{\,a(b-2)}+2^{\,a(b-3)}+\,\,\ldots \,\,+2^{\,a(b-b)}{\Big )}$

również jest liczbą złożoną. Istnieje jednoznaczna odpowiedniość liczb doskonałych parzystych z liczbami pierwszymi Mersenne’a w postaci

$M_{p}=2^{p}-1$ .

Euler udowodnił, że każda liczba doskonała nieparzysta musi być postaci $p^{4k+1}l^{2}$, gdzie $p$ jest liczbą pierwszą postaci $4m+1$. Wiadomo też, że jeśli liczba taka istnieje, to musi być większa od $10^{1500}$.

Zobacz też

• liczby towarzyskie
• liczby zaprzyjaźnione

Bibliografia

• Wacław Sierpiński, Arytmetyka teoretyczna.
• Władysław Narkiewicz, Nieparzyste Liczby doskonałe, Delta, 12(403), s. 4.
• WłodzimierzW. Holsztyński WłodzimierzW., Liczby doskonałe, „Delta”, grudzień 2007, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-11-02] .

Linki zewnętrzne

Polskojęzyczne

• Nagrania na YouTube [dostęp 2024-09-04]:
  • Liczby doskonałe, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej (MiNI PW), kanał „Archipelag Matematyki”, 10 października 2017.
  • Tomasz Miller, Liczby pierwsze i doskonałe, Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych – Uniwersytet Jagielloński (CKBI UJ), kanał „Copernicus”, 27 października 2022.

Anglojęzyczne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Perfect Number, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Odd Perfect Number, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• Perfect number, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-03-25].
• Derek Muller, The Oldest Unsolved Problem in Math, kanał Veritasium na YouTube, 8 marca 2024 [dostęp 2024-03-25].
• Mersenne Prime Search
• Odd Perfect Number Search. oddperfect.org. [zarchiwizowane z tego adresu (2018-11-06)].