Liczby harmoniczne

Liczby harmoniczne $H_{n,1}$ z $n=\lfloor {x}\rfloor$ (linia czerwona) z jej asymptotyczną granicą $\gamma +\ln[x]$ (linia niebieska)

Liczby harmoniczne – sumy odwrotności początkowych liczb naturalnych:

$H_{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\ldots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.$

$H_{n}$ jest więc $n$-krotną odwrotnością średniej harmonicznej tych liczb naturalnych.

Liczby harmoniczne były badane w starożytności i pełnią ważną rolę w wielu działach teorii liczb. Potocznie nazywane są szeregiem harmonicznym, są blisko związane z funkcją ζ Riemanna, a także pojawiają się w różnych wyrażeniach licznych funkcji specjalnych.

Dla dowolnego rzeczywistego $m$ istnieje takie naturalne $n,$ dla którego $H_{n}>m.$ Wynika to bezpośrednio z rozbieżności szeregu harmonicznego.

Obliczanie

Leonhard Euler podał następujący wzór:

$H_{n}=\int _{0}^{1}{\frac {\,\,\,1-x^{n}}{1-x}}\,dx.$

Powyższa równość jest oczywista dzięki przekształceniom algebraicznym poniższej tożsamości:

${\frac {\,\,\,1-x^{n}}{1-x}}=1+x+\ldots +x^{n-1}.$

Zastosowanie

Liczby harmoniczne pojawiają się w wielu wzorach obliczeniowych, jak na przykład funkcja digamma:

$\psi (n)=H_{n-1}-\gamma ,$

gdzie $\gamma$ to stała Eulera. Związek ten jest często stosowany do zdefiniowania przedłużenia liczb harmonicznych poza liczby naturalne $n.$

W 2002 roku Jeffrey Lagarias udowodnił, że hipoteza Riemanna może być zastąpiona równoważnym wyrażeniem, że

$\sigma (n)\leqslant H_{n}+\ln(H_{n})e^{H_{n}}$

jest prawdziwe dla dowolnej liczby naturalnej $n\geqslant 1,$ z ostrą nierównością jeśli $n>1;$ $\sigma (n)$ oznacza sumę dzielników liczby $n$.

Uogólnienie

Uogólnione liczby harmoniczne rzędu $n$ z $m$ są zdefiniowane jako

$H_{n,m}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{m}}}.$

Należy zauważyć, że jeśli $m>1$ to istnieje granica przy $n$ zmierzającym do nieskończoności.

Inne stosowane zapisy to

$H_{n,m}=H_{n}^{(m)}=H_{m}(n).$

Przypadek dla wartości $m=1$ jest przypadkiem specjalnym, który nazywa się liczbą harmoniczną, a indeks $m$ jest w zapisie pomijany.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Harmonic Number, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.).
• Extending the Harmonic Numbers to the Reals, [w:] Lines That Connect [online], YouTube, 22 sierpnia 2021  (ang.).