Liczby harmoniczne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Liczby harmoniczne H_{n,1} z n=\lfloor{x}\rfloor (linia czerwona) z jej asymptotyczną granicą \gamma+\ln[x] (linia niebieska)

Liczby harmoniczne – w matematyce, to sumy odwrotności pierwszych n liczb naturalnych:

H_n= 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}

Co odpowiada również odwrotności średnich harmonicznych z tych liczb naturalnych.

Liczby harmoniczne były badane w starożytności i pełnią ważną rolę w wielu działach teorii liczb. Potocznie nazywane są szeregiem harmonicznym, są blisko związane z funkcją ζ Riemanna, a także pojawiają się w różnych wyrażeniach licznych funkcji specjalnych.

Obliczanie[edytuj | edytuj kod]

Leonhard Euler podał następujący wzór[1]:

H_n = \int_0^1 \frac{\,\,\, 1 - x^n}{1 - x}\,dx

Powyższa równość jest oczywista dzięki przekształceniom algebraicznym poniższej tożsamości:

\quad\frac{\,\,\, 1-x^n}{1-x}=1+x+\cdots +x^{n-1}

Zastosowanie[edytuj | edytuj kod]

Liczby harmoniczne pojawiają się w wielu wzorach obliczeniowych, jak na przykład funkcja digamma:

 \psi(n) = H_{n-1} - \gamma

gdzie \scriptstyle \gamma to stała Eulera. Związek ten jest często stosowany do zdefiniowania przedłużenia liczb harmonicznych poza liczby naturalne n.

W 2002 roku Jeffrey Lagarias udowodnił, że hipoteza Riemanna może być zastąpiona równoważnym wyrażeniem, że

 \sigma(n) \le H_n + \ln(H_n)e^{H_n}

jest prawdziwe dla dowolnej liczby naturalnej n ≥ 1, z ostrą nierównością jeśli n > 1; σ(n) oznacza sumę dzielników liczby n[2].

Uogólnienie[edytuj | edytuj kod]

Uogólnione liczby harmoniczne rzędu n z m są zdefiniowane jako

H_{n,m}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^m}

Należy zauważyć, że jeśli m > 1 to istnieje granica przy n zmierzającym do nieskończoności.

Inne stosowane zapisy to

H_{n,m}= H_n^{(m)} = H_m(n).

Przypadek dla wartości m = 1 jest przypadkiem specjalnym, który nazywa się liczbą harmoniczną, a indeks m jest w zapisie pomijany.

Przypisy

  1. Ed Sandifer: How Euler Did It. Estimating the Basel Problem (ang.). 2003. [dostęp 2012-11-20].
  2. Jeffrey C. Lagarias: An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis (ang.). 2002. [dostęp 2012-11-20].

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]