Liczby harmoniczne

Liczby harmoniczne – sumy odwrotności początkowych liczb naturalnych:

H_{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\ldots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.

$H_{n}$ jest więc $n$ -krotną odwrotnością średniej harmonicznej tych liczb naturalnych.

Liczby harmoniczne były badane w starożytności i pełnią ważną rolę w wielu działach teorii liczb. Potocznie nazywane są szeregiem harmonicznym, są blisko związane z funkcją ζ Riemanna, a także pojawiają się w różnych wyrażeniach licznych funkcji specjalnych.

Dla dowolnego rzeczywistego $m$ istnieje takie naturalne $n,$ dla którego $H_{n}>m.$ Wynika to bezpośrednio z rozbieżności szeregu harmonicznego.

Obliczanie

Leonhard Euler podał następujący wzór^[1]:

H_{n}=\int _{0}^{1}{\frac {\,\,\,1-x^{n}}{1-x}}\,dx.

Powyższa równość jest oczywista dzięki przekształceniom algebraicznym poniższej tożsamości:

{\frac {\,\,\,1-x^{n}}{1-x}}=1+x+\ldots +x^{n-1}.

Liczby harmoniczne pojawiają się w wielu wzorach obliczeniowych, jak na przykład funkcja digamma:

\psi (n)=H_{n-1}-\gamma ,

gdzie $\gamma$ to stała Eulera. Związek ten jest często stosowany do zdefiniowania przedłużenia liczb harmonicznych poza liczby naturalne $n.$

W 2002 roku Jeffrey Lagarias udowodnił, że hipoteza Riemanna może być zastąpiona równoważnym wyrażeniem, że

\sigma (n)\leqslant H_{n}+\ln(H_{n})e^{H_{n}}

jest prawdziwe dla dowolnej liczby naturalnej $n\geqslant 1,$ z ostrą nierównością jeśli $n>1;$ $\sigma (n)$ oznacza sumę dzielników liczby $n$ ^[2].

Uogólnione liczby harmoniczne rzędu $n$ z $m$ są zdefiniowane jako^[3]

H_{n,m}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{m}}}.

Należy zauważyć, że jeśli $m>1$ to istnieje granica przy $n$ zmierzającym do nieskończoności.

Inne stosowane zapisy to

H_{n,m}=H_{n}^{(m)}=H_{m}(n).

Przypadek dla wartości $m=1$ jest przypadkiem specjalnym, który nazywa się liczbą harmoniczną, a indeks $m$ jest w zapisie pomijany^[3].

↑ EdE. Sandifer EdE., How Euler Did It. Estimating the Basel Problem, grudzień 2003 [dostęp 2012-11-20] [zarchiwizowane 2005-05-13] (ang.).
↑ Jeffrey C. Lagarias: An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis. 2002. [dostęp 2012-11-20]. (ang.).
↑ ^a ^b MarcinM. Szweda MarcinM., Kongruencje na liczbach harmonicznych i ich uogólnienia, [w:] Oblicze 2016, Poznań: Koło Naukowe Matematyków UAM, wrzesień 2016, s. 201, ISBN 978-83-946301-0-2 [dostęp 2019-02-09] (pol.).

Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Harmonic Number, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).
Extending the Harmonic Numbers to the Reals, [w:] Lines That Connect [online], YouTube, 22 sierpnia 2021 (ang.).