Liczby harmoniczne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Liczby harmoniczne z (linia czerwona) z jej asymptotyczną granicą (linia niebieska)

Liczby harmoniczne – w matematyce, to sumy odwrotności pierwszych n liczb naturalnych:

Co odpowiada również odwrotności średnich harmonicznych z tych liczb naturalnych.

Liczby harmoniczne były badane w starożytności i pełnią ważną rolę w wielu działach teorii liczb. Potocznie nazywane są szeregiem harmonicznym, są blisko związane z funkcją ζ Riemanna, a także pojawiają się w różnych wyrażeniach licznych funkcji specjalnych.

Obliczanie[edytuj]

Leonhard Euler podał następujący wzór[1]:

Powyższa równość jest oczywista dzięki przekształceniom algebraicznym poniższej tożsamości:

Zastosowanie[edytuj]

Liczby harmoniczne pojawiają się w wielu wzorach obliczeniowych, jak na przykład funkcja digamma:

gdzie to stała Eulera. Związek ten jest często stosowany do zdefiniowania przedłużenia liczb harmonicznych poza liczby naturalne n.

W 2002 roku Jeffrey Lagarias udowodnił, że hipoteza Riemanna może być zastąpiona równoważnym wyrażeniem, że

jest prawdziwe dla dowolnej liczby naturalnej n ≥ 1, z ostrą nierównością jeśli n > 1; σ(n) oznacza sumę dzielników liczby n[2].

Uogólnienie[edytuj]

Uogólnione liczby harmoniczne rzędu n z m są zdefiniowane jako

Należy zauważyć, że jeśli m > 1 to istnieje granica przy n zmierzającym do nieskończoności.

Inne stosowane zapisy to

Przypadek dla wartości m = 1 jest przypadkiem specjalnym, który nazywa się liczbą harmoniczną, a indeks m jest w zapisie pomijany.

Przypisy

  1. Ed Sandifer: How Euler Did It. Estimating the Basel Problem (ang.). 2003. [dostęp 2012-11-20]. [zarchiwizowane z tego adresu (2005-05-13)].
  2. Jeffrey C. Lagarias: An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis (ang.). 2002. [dostęp 2012-11-20].

Linki zewnętrzne[edytuj]