Liczby hiperrzeczywiste (niestandardowe liczby rzeczywiste[1], liczby hiperrealne[2]) – pojęcie analizy niestandardowej; niearchimedesowe rozszerzenie ciała liczb rzeczywistych[3].
Konstrukcja ciała liczb hiperrzeczywistych (ultrapotęga)[edytuj | edytuj kod]
Zbiór liczb hiperrzeczywistych można skonstruować metodą ultrapotęgi[a][4]. Podstawową strukturą, poprzez którą dokonuje się tej konstrukcji, jest ultrafiltr, czyli rodzina
spełniająca warunki:



[1][5][6][7].
Niech
będzie ultrafiltrem na
zawierającym filtr Frécheta
tzn. rodzinę
[1][5]. Niech na produkcie
będzie zdefiniowana dwuargumentowa relacja
w sposób następujący:
[1][4][8].
Jest to relacja równoważności[1][4][8], ponieważ
jest:
- zwrotna:
[4][8],
- symetryczna:
[4][8],
- przechodnia:
[4][8].
Zbiór liczb hiperrzeczywistych definiuje się jako zbiór klas abstrakcji
[4][8].
Można zauważyć, że zbiór liczb rzeczywistych
zawiera się w zbiorze liczb hiperrzeczywistych
poprzez utożsamienie
[1][9][10], tzn. ciało
jest izomorficzne z ciałem liczb rzeczywistych
[10].
Równość liczb hiperrzeczywistych można rozumieć tak, iż zbiór indeksów, na których wyrazy obu ciągów się zgadzają, musi należeć do ultrafiltru, tzn.:
oraz analogicznie dla nierówności:
[9].
Działania na klasach abstrakcji zdefiniowane są poprzez działania na współrzędnych, tzn.:
[8][9]
[8][9].
Działania
i
są dobrze zdefiniowane na
[8].
- Dowód
Niech
oraz
To znaczy, że
i
Zatem
Ponieważ
to
[8].
Niech
oraz
To znaczy, że
i
Zatem
Ponieważ
to
[8].
Struktura
jest ciałem przemiennym[11][12].
- Dowód
Zauważyć można, że:
[11];
[11];
[11];
- Niech
wtedy
[11];
[11];
[11];
[11];
- Dla
niech
gdzie
wtedy
[11][13];
[11]. 
(Nie)zależność konstrukcji od wyboru ultrafiltru[edytuj | edytuj kod]
Przy założeniu prawdziwości hipotezy continuum, konstrukcja ciała
nie zależy od wyboru ultrafiltru, tzn. wszystkie otrzymane struktury będą izomorficzne niezależnie od wybranego ultrafiltra niegłównego[1][14]. Jednak przy założeniu fałszywości hipotezy continuum, konstrukcja ciała liczb hiperrzeczywistych zależy od wyboru ultrafiltru[1][14].
Własności ciała uporządkowanego liczb hiperrzeczywistych[edytuj | edytuj kod]
Porządek liczb hiperrzeczywistych[edytuj | edytuj kod]
Niech będzie dana relacja
Jest ona dobrze zdefiniowana na
[15].
- Dowód
Niech
i
To znaczy, że
oraz
Zatem
Ponieważ
to
[15].
Ciało liczb hiperrzeczywistych jest ciałem uporządkowanym
z porządkiem zdefiniowanym następująco:
[1][9][11][12][16].
- Dowód
Można wykazać, że każde dwie liczby hiperrzeczywiste są porównywalne w sensie prawa trychotomii. Niech
Widać, że
oraz
Stąd wynika, że
co dowodzi stwierdzenia[13].
Można wykazać przechodniość relacji
Niech
oraz
Widać, że
oraz
a także, że
skąd wynika, że
czyli
[13].
Zatem relacja
jest liniowym porządkiem[b][17][18] na
Poniżej wykazana jest zgodności tego porządku z działaniem addytywnym
oraz multyplikatywnym
Można wykazać zgodność porządku z dodawaniem, tzn.
Widać, że z poprzednika implikacji wynika, iż
oraz
Ze zgodności naturalnego porządku z dodawaniem w ciele liczb rzeczywistych wynika, że
a skoro
to
[13].
Można wykazać zgodność porządku z mnożeniem, tzn.
Widać, że z poprzednika implikacji wynika, iż
oraz
Ze zgodności naturalnego porządku z mnożeniem w ciele liczb rzeczywistych wynika, że
a skoro
to
[13].
Moduł liczby hiperrzeczywistej[edytuj | edytuj kod]
Tak jak w każdym ciele uporządkowanym, tak i w ciele liczb hiperrzeczywistych, można zdefiniować moduł[19] jako
[20].
Moduł liczby hiperrzeczywistej można utożsamić z klasą abstrakcji ciągu modułów, tzn.:
[21].
Ciało liczb hiperrzeczywistych jest niearchimedesowe, tzn. nie spełnia aksjomatu Archimedesa[12][20][22].
- Dowód
Można poczynić najpierw obserwację, że
co oznacza, że
[22]. Lecz ponieważ ciało liczb rzeczywistych jest archimedesowe, to
skąd wynika, że
[22]. Zbiór
należy do ultrafiltru
zatem
[22]. Zatem:
![{\displaystyle \forall _{r\in \mathbb {R} _{+}}\ 0^{*}\prec [(1/n)]\prec r^{*},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/564add4450bee589f4f416f125bb840ae0fcdadd)
co znaczy, że ciało to nie spełnia aksjomatu Archimedesa[22].
Ciało liczb hiperrzeczywistych spełnia jednak pewne zmodyfikowane równoważniki aksjomatu Archimedesa, jak np.:
[20][23].
Ciało liczb hiperrzeczywistych
jest rzeczywiście domknięte[24].
Zupełność w sensie Cauchy’ego[edytuj | edytuj kod]
Ciało liczb hiperrzeczywistych
jest zupełne w sensie Cauchy’ego[25], tzn.:
[25].
- Dowód[25]
Rozważyć można przypadek szczególny, a mianowicie ciąg różnowartościowy
Rodzinę przedziałów otwartych

można uporządkować malejąco relacją inkluzji:
gdzie 
Ponieważ
[c], to
Niech
Wtedy istnieje takie
że dla
zachodzi:
co stoi w sprzeczności z definicją liczby
Niech
będzie dowolnym ciągiem spełniającym warunek Cauchy’ego, wówczas zbiór
może być skończony lub nieskończony. W tym pierwszym przypadku ciąg ten od pewnego miejsca jest ciągiem stałym. Gdy jest nieskończony, to istnieje różnowartościowy podciąg
który jest ciągiem Cauchy’ego, co doprowadza do sprzeczności, jak pokazano wcześniej.
Szczególne podstruktury ciała liczb hiperrzeczywistych[edytuj | edytuj kod]
Zbiór liczb ograniczonych
definiuje się następująco:
[20][26].
Struktura
jest pierścieniem[20][27].
Zbiór liczb nieskończenie małych
definiuje się następująco:
[26].
Równoważnie, liczby nieskończenie małe można zdefiniować jako:
[20][26],
tzn. są to liczby na moduł mniejsze od każdej dodatniej liczby rzeczywistej.
Zbiór
jest różny od
ponieważ należy do niego np. liczba
[15][20].
Struktura
jest grupą[27], a
jest pierścieniem[20].
W zbiorze
nie ma liczby ani największej, ani najmniejszej[20].
Zbiór liczb nieskończenie dużych
definiuje się następująco:
[26].
Zbiór
jest niepusty, ponieważ należy do niego np. liczba
[15].
W naturalny sposób definiuje się takie podzbiory, jak np.
- liczby hipernaturalne (niestandardowe liczby naturalne):
[d][1][28];
- nieskończenie duże liczby hipernaturalne:
gdzie
rozumie się jako
[29][30].
- liczby hiperwymierne (niestandardowe liczby wymierne):
[e][1][28].
Można wykazać pewną intuicyjną własność nieskończenie dużych liczb hipernaturalnych, a mianowicie dla
[29],
czyli nieskończenie duże liczby hipernaturalne to takie liczby hipernaturalne, które są większe od każdej liczby naturalnej.
Można udowodnić, że
co znaczy, że grupa liczb nieskończenie małych jest ideałem w pierścieniu liczb ograniczonych[20][27]. Co więcej, jest to ideał maksymalny[27][31], więc struktura ilorazowa
jest ciałem[31][32]. Ciało
jest izomorficzne z ciałem liczb rzeczywistych
[31][32].
Można również zauważyć, że:
- liczba odwrotna do niezerowej liczby nieskończenie małej jest liczbą nieskończenie dużą[33];
- liczba odwrotna do liczby nieskończenie dużej jest nieskończenie mała[33];
- suma liczby nieskończenie dużej i nieskończenie małej jest nieskończenie duża[33];
- iloczyn liczby nieskończenie małej i ograniczonej jest nieskończenie mały[33];
- iloczyn liczby nieskończenie dużej i ograniczonej jest nieskończenie duży[33].
Warto zauważyć związek:
[32]. To znaczy, że dla
zachodzi związek
dla pewnej
[10].
Niech dla liczby
będzie dana
[10]. Zbiór
nazywa się monadą[10]. Zbiór liczb ograniczonych można zapisać jako sumę nieprzeliczalnie wielu monad rzeczywistych:
[10].
Inne struktury arytmetyczne i analityczne dla liczb hiperrzeczywistych[edytuj | edytuj kod]
Działania na standardowych liczbach hiperrzeczywistych[edytuj | edytuj kod]
Można zauważyć pewne pożądane własności dla standardowych liczb hiperrzeczywistych, np.:
dla 
dla 
dla
[21].
Relacja nieskończonej bliskości[edytuj | edytuj kod]
W zbiorze liczb hiperrzeczywistych można zdefiniować dwuargumentową relację nieskończonej bliskości, a mianowicie:
[31][32][33].
To znaczy, że dwie liczby hiperrzeczywiste są nieskończenie bliskie, gdy ich różnica jest liczbą nieskończenie małą[32][33]. Relacja
jest relacją równoważności[31][32][33].
Nie istnieją dwie różne liczby rzeczywiste nieskończenie bliskie sobie[33].
- Dowód
Niech
oraz
Zauważmy, że
Lecz
zatem
sprzeczność[33].
Twierdzenie o części standardowej[edytuj | edytuj kod]
Prawdą jest, że nieskończenie blisko liczby hiperrzeczywistej ograniczonej znajduje się dokładnie jedna liczba standardowa, tzn.:
[32][34].
Dzięki temu twierdzeniu można dobrze zdefiniować część standardową liczby hiperrzeczywistej[32][34], którą można oznaczyć np. jako
[10][35]. Tzn. część standardowa
liczby ograniczonej
to liczba spełniająca relację:
[35].
Dowolną funkcję rzeczywistą
można rozszerzyć do funkcji hiperrzeczywistej
jako klasę abstrakcji ciągu obrazów:
[30][36][37].
Zauważmy, że „zwykłe” funkcje rzeczywiste w tej definicji pozostaną „zwykłe”:
[30][36].
Dowolny ciąg liczb rzeczywistych
można rozszerzyć do ciągu hiperrzeczywistego
jako funkcję:
[f][29][30][37].
Ciąg rzeczywisty
jest ciągiem Cauchy’ego
[38].
Punkt
jest punktem skupienia ciągu
[38].
Funkcja
jest ciągła w punkcie
gdy
[38][39][40].
- Przykład
Funkcja
jest ciągła w każdym punkcie[41].
Niech
będzie ustalonym dowolnie punktem oraz niech będzie dany
taki, że
[41]. Zatem
[41]. Zatem:
[41].
Zatem:

co jest iloczynem liczby nieskończenie małej i sumy liczb nieskoczenie małej i ograniczonej, czyli iloczynem liczby nieskończenie małej i ograniczonej, czyli liczbą nieskończenie małą[41]. Zatem
[41].
W ciele liczb hiperrzeczywistych można zinterpretować pojęcie granicy ciągu, a mianowicie:
[36][38].
Niech
i niech
Wtedy:
[38][39][42],
co inaczej można zapisać:
[42].
- Przykład
Dla
w dowolnym punkcie istnieje pochodna i
[42].
[42]
- ↑ Przedstawiona tu konstrukcja zbioru liczb hiperrzeczywistych jako
gdzie
jest ultrafiltrem zawierającym filtr Frécheta, jest szczególnym przypadkiem ogólniejszej konstrukcji:
gdzie
i
są nieskończonymi zbiorami, a
jest ultrafiltrem niegłównym.
- ↑ Przy tym stwierdzeniu skorzystano z następującej definicji liniowego porządku:
jest liniowym porządkiem na
gdy relacja
jest przechodnia oraz
- ↑ Fakt ten wynika z twierdzenia o nasyceniu.
- ↑
- ↑
- ↑ Warto odnotować, że ciąg hiperrzeczywisty ma nieprzeliczalnie wiele wyrazów!
- ↑ a b c d e f g h i j k Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ISBN 978-83-7271-446-6, s. 181.
- ↑ Piotr Błaszczyk, O definicji 7 z Księgi V Elementów Euklidesa, „Zagadnienia Filozoficzne w Nauce” 46, 2010, s. 117–139.
- ↑ Analiza niestandardowa, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-09-15] .
- ↑ a b c d e f g Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 24.
- ↑ a b Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 23.
- ↑ Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 2.
- ↑ Piotr Błaszczyk, O ciałach uporządkowanych, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 4, 2012, ISSN 2080-9751, s. 27–28.
- ↑ a b c d e f g h i j k Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 3.
- ↑ a b c d e Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 25.
- ↑ a b c d e f g Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ISBN 978-83-7271-446-6, s. 184.
- ↑ a b c d e f g h i j k Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 26.
- ↑ a b c Piotr Błaszczyk, O ciałach uporządkowanych, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 4, 2012, ISSN 2080-9751, s. 28.
- ↑ a b c d e Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 27.
- ↑ a b Alexander Prestel, Nonstandard Analysis, Springer, New York 1995, s. 326.
- ↑ a b c d Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 4.
- ↑ Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 6.
- ↑ Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 20.
- ↑ Piotr Błaszczyk, O ciałach uporządkowanych, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 4, 2012, ISSN 2080-9751, s. 16–17.
- ↑ Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ISBN 978-83-7271-446-6, s. 258.
- ↑ a b c d e f g h i j Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ISBN 978-83-7271-446-6, s. 182.
- ↑ a b Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 29.
- ↑ a b c d e Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 27–28.
- ↑ Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 28–29.
- ↑ Piotr Błaszczyk, O ciałach uporządkowanych, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 4, 2012, ISSN 2080-9751, s. 29.
- ↑ a b c Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ISBN 978-83-7271-446-6, s. 187.
- ↑ a b c d Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 30.
- ↑ a b c d Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 32.
- ↑ a b Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 28.
- ↑ a b c Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 34.
- ↑ a b c d Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ISBN 978-83-7271-446-6, s. 185.
- ↑ a b c d e Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ISBN 978-83-7271-446-6, s. 183.
- ↑ a b c d e f g h Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 33.
- ↑ a b c d e f g h i j Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 8.
- ↑ a b Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 9.
- ↑ a b Piotr Błaszczyk, O definicji 7 z Księgi V „Elementów” Euklidesa, „Zagadnienia Filozoficzne w Nauce”, XLVI, 2010, s. 134.
- ↑ a b c Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 35.
- ↑ a b Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 5.
- ↑ a b c d e Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ISBN 978-83-7271-446-6, s. 186.
- ↑ a b Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 38.
- ↑ Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 12.
- ↑ a b c d e f Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 13.
- ↑ a b c d Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 17.