Liczby hiperrzeczywiste

Liczby hiperrzeczywiste (niestandardowe liczby rzeczywiste, liczby hiperrealne) – pojęcie analizy niestandardowej; niearchimedesowe rozszerzenie ciała liczb rzeczywistych.

Konstrukcja ciała liczb hiperrzeczywistych (ultrapotęga)

Konstrukcja zbioru

Zbiór liczb hiperrzeczywistych można skonstruować metodą ultrapotęgi. Podstawową strukturą, poprzez którą dokonuje się tej konstrukcji, jest ultrafiltr, czyli rodzina $U\subset {\mathcal {P}}(I)$ spełniająca warunki:

1. $\emptyset \notin U,$
2. $A,B\in U\Rightarrow A\cap B\in U,$
3. $(A\in U\wedge A\subset B)\Rightarrow B\in U,$
4. $\forall _{A\subset I}{\big (}A\in U\vee I\setminus A\in U{\big )}$.

Niech ${\mathcal {U}}$ będzie ultrafiltrem na $\mathbb {N}$ zawierającym filtr Frécheta ${\mathfrak {F}},$ tzn. rodzinę ${\mathfrak {F}}:=\{N\subseteq \mathbb {N} :\#(\mathbb {N} \setminus N)<\aleph _{0}\}$ (Ultrafiltry nie zawierające filtru Frecheta są główne, czyli są generowane przez jeden punkt). Niech na produkcie $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ będzie zdefiniowana dwuargumentowa relacja $\equiv$ w sposób następujący:

$(a_{n})\equiv (b_{n}):\Longleftrightarrow \{n\in \mathbb {N} :a_{n}=b_{n}\}\in {\mathcal {U}}$.

Jest to relacja równoważności, ponieważ $\equiv$ jest:

• zwrotna: $\{n\in \mathbb {N} :a_{n}=a_{n}\}=\mathbb {N} \in {\mathcal {U}}$,
• symetryczna: $\{n\in \mathbb {N} :a_{n}=b_{n}\}=\{n\in \mathbb {N} :b_{n}=a_{n}\}$,
• przechodnia: $\{n\in \mathbb {N} :a_{n}=b_{n}\}\in {\mathcal {U}}\wedge \{n\in \mathbb {N} :b_{n}=c_{n}\}\in {\mathcal {U}}\Rightarrow \{n\in \mathbb {N} :a_{n}=b_{n}\}\cap \{n\in \mathbb {N} :b_{n}=c_{n}\}\in {\mathcal {U}}$.

Zbiór liczb hiperrzeczywistych definiuje się jako zbiór klas abstrakcji $\mathbb {R} ^{*}:=\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }/_{\equiv }$.

Intuicyjnie liczby hiper-rzeczywiste uzyskujemy poprzez utożsamienie między sobą tych ciągów złożonych z liczb rzeczywistych, które zgadzają się na "odpowiednio" dużym zbiorze indeksów. Tzn. na zbiorze z rozważanego ultrafiltru:

$a\approx b\,\Leftrightarrow \,\{n\in \mathbb {N} :a_{n}=b_{n}\}\in {\mathcal {U}};$

Ponieważ relacja $\equiv$ jest kongruencją względem zwykłych działań + i · na liczbach rzeczywistych, działania te przenoszą się w standardowy sposób na $\mathbb {R} ^{*}$:

$[(a_{n})_{n}]_{\equiv }\oplus [(b_{n})_{n}]_{\equiv }\,\mathop {=} ^{\text{df}}\,[(a_{n}+b_{n})_{n}]_{\equiv }$

$[(a_{n})_{n}]_{\equiv }\odot [(b_{n})_{n}]_{\equiv }\,\mathop {=} ^{\text{df}}\,[(a_{n}\cdot b_{n})_{n}]_{\equiv }$

Struktura ${\mathcal {R}}^{\,}\mathop {=} ^{\text{df}}\,\langle \mathbb {R} ^{*},\oplus ,\odot \rangle$ jest ciałem.

Podciało tego ciała generowane przez elementy postaci

$r^{*}\,\mathop {=} ^{\text{df}}\,[(r,r,r,r,\dots )]_{\equiv }\,,\qquad$ dla $\;\;r\in \mathbb {R}$,

jest izomorficzna z ciałem liczb rzeczywistych ${\mathcal {R}}\,\mathop {=} ^{\text{df}}\,\langle \mathbb {R} ,+,\cdot \rangle$

Relacja $\preceq$ zdefiniowana wzorem:

$[(a_{n})_{n}]_{\equiv }\preceq [(b_{n})_{n}]_{\equiv }\;\mathop {\Leftrightarrow } ^{\text{df}}\;\{n:\;a_{n}\leqslant b_{n}\}\in {\mathcal {U}}$

jest porządkiem na $\mathbb {R} ^{*}$. Porządek ten jest porządkiem ciągłym.

Liczba hiperrzeczywista $\varepsilon >0^{*}$ jest nieskończenie mała, jeśli

$\varepsilon <r^{*}$ dla $r\in \mathbb {R} _{+}$

Nieskończenie małą jest, n.p.,

$h\,\mathop {=} ^{\text{df}}\,[(1,1/2,1/3,1/4,\dots ,1/n,\dots )]_{\equiv }$

Oczywiście, skoro $1/n>0$, dla $n=1,2,3,\dots$, to $h>0^{*}$

Jeśli teraz $r>0$, to $1/n<r$ dla wszystkich poza skończoną ilością liczb naturalnych, skąd

$\{n:\,1/n<r\}\in {\mathcal {U}}$

co implikuje , że $h<r^{*}$.

Odwrotności liczb nieskończenie małych, to nieskończenie duże liczby hiper-rzeczywiste.

Suma i iloczyn dwóch liczb nieskończenie małych jest nieskończenie mała. Suma i iloczyn dwóch nieskończenie dużych liczb hiper-rzeczywistych jest nieskończenie dużą liczbą hiper-rzeczywistą.

Uwaga. W przypadku ultrafiltru głównego, uzyskana struktura byłaby izomorficzna z ciałem liczb rzeczywistych.

Konstrukcja ciała

Działania na klasach abstrakcji zdefiniowane są poprzez działania na współrzędnych, tzn.:

$[(a_{n})]\oplus [(b_{n})]:=[(a_{n}+b_{n})]$

$[(a_{n})]\odot [(b_{n})]:=[(a_{n}\cdot b_{n})]$.

Działania $\oplus$ i $\odot$ są dobrze zdefiniowane na $\mathbb {R} ^{*}$.

Dowód

Niech $[(a_{n})]=[(a_{n}')]$ oraz $[(b_{n})]=[(b_{n}')].$ To znaczy, że $\{n\in \mathbb {N} :a_{n}=a_{n}'\}\in {\mathcal {U}}$ i $\{n\in \mathbb {N} :b_{n}=b_{n}'\}\in {\mathcal {U}}.$ Zatem $\{n\in \mathbb {N} :a_{n}=a_{n}'\}\cap \{n\in \mathbb {N} :b_{n}=b_{n}'\}\in {\mathcal {U}}.$ Ponieważ $\{n\in \mathbb {N} :a_{n}=a_{n}'\}\cap \{n\in \mathbb {N} :b_{n}=b_{n}'\}\subset \{n\in \mathbb {N} :a_{n}+b_{n}=a_{n}'+b_{n}'\},$ to $\{n\in \mathbb {N} :a_{n}+b_{n}=a_{n}'+b_{n}'\}\in {\mathcal {U}}$.

Niech $[(a_{n})]=[(a_{n}')]$ oraz $[(b_{n})]=[(b_{n}')].$ To znaczy, że $\{n\in \mathbb {N} :a_{n}=a_{n}'\}\in {\mathcal {U}}$ i $\{n\in \mathbb {N} :b_{n}=b_{n}'\}\in {\mathcal {U}}.$ Zatem $\{n\in \mathbb {N} :a_{n}=a_{n}'\}\cap \{n\in \mathbb {N} :b_{n}=b_{n}'\}\in {\mathcal {U}}.$ Ponieważ $\{n\in \mathbb {N} :a_{n}=a_{n}'\}\cap \{n\in \mathbb {N} :b_{n}=b_{n}'\}\subset \{n\in \mathbb {N} :a_{n}\cdot b_{n}=a_{n}'\cdot b_{n}'\},$ to $\{n\in \mathbb {N} :a_{n}\cdot b_{n}=a_{n}'\cdot b_{n}'\}\in {\mathcal {U}}$. $\square$

Struktura $(\mathbb {R} ^{*},\oplus ,\odot ,0^{*},1^{*})$ jest ciałem przemiennym.

Dowód

Zauważyć można, że:

• $\{n\in \mathbb {N} :a_{n}+b_{n}=b_{n}+a_{n}\}=\mathbb {N} \in {\mathcal {U}}$;
• $\{n\in \mathbb {N} :(a_{n}+b_{n})+c_{n}=a_{n}+(b_{n}+c_{n})\}=\mathbb {N} \in {\mathcal {U}}$;
• $[(a_{n})]\oplus 0^{*}=[(a_{n})]$;
• Niech $\ominus [(a_{n})]:=[(-a_{n})];$ wtedy $[(a_{n})]\oplus [(-a_{n})]=0^{*}$;
• $\{n\in \mathbb {N} :a_{n}\cdot b_{n}=b_{n}\cdot a_{n}\}=\mathbb {N} \in {\mathcal {U}}$;
• $\{n\in \mathbb {N} :(a_{n}\cdot b_{n})\cdot c_{n}=a_{n}\cdot (b_{n}\cdot c_{n})\}=\mathbb {N} \in {\mathcal {U}}$;
• $[(a_{n})]\odot 1^{*}=[(a_{n})]$;
• Dla $[(a_{n})]\neq 0^{*}$ niech $[(a_{n})]^{-1}:=[(i_{n})],$ gdzie $i_{n}:={\begin{cases}a_{n}^{-1},&\mathrm {dla} \ a_{n}\neq 0\\1,&\mathrm {dla} \ a_{n}=0\end{cases}};$ wtedy $[(a_{n})]\odot [(a_{n})]^{-1}=1^{*}$;
• $\{n\in \mathbb {N} :(a_{n}+b_{n})\cdot c_{n}=a_{n}\cdot c_{n}+b_{n}\cdot c_{n}\}=\mathbb {N} \in {\mathcal {U}}$. $\square$

(Nie)zależność konstrukcji od wyboru ultrafiltru

Przy założeniu prawdziwości hipotezy continuum, konstrukcja ciała $\mathbb {R} ^{*}$ nie zależy od wyboru ultrafiltru, tzn. wszystkie otrzymane struktury będą izomorficzne niezależnie od wybranego ultrafiltra niegłównego. Jednak przy założeniu fałszywości hipotezy continuum, konstrukcja ciała liczb hiperrzeczywistych zależy od wyboru ultrafiltru.

Własności ciała uporządkowanego liczb hiperrzeczywistych

Porządek liczb hiperrzeczywistych

Niech będzie dana relacja $[(a_{n})]\prec [(b_{n})]:\Leftrightarrow \{n\in \mathbb {N} :a_{n}<b_{n}\}\in {\mathcal {U}}.$ Jest ona dobrze zdefiniowana na $\mathbb {R} ^{*}$.

Dowód

Niech $[(a_{n})]=[(a_{n}')],$ $[(b_{n})]=[(b_{n}')]$ i $[(a_{n})]\prec [(b_{n})].$ To znaczy, że $\{n\in \mathbb {N} :a_{n}=a_{n}'\}\in {\mathcal {U}},$ $\{n\in \mathbb {N} :b_{n}=b_{n}'\}\in {\mathcal {U}}$ oraz $\{n\in \mathbb {N} :a_{n}<b_{n}\}\in {\mathcal {U}}.$ Zatem $\{n\in \mathbb {N} :a_{n}=a_{n}'\}\cap \{n\in \mathbb {N} :b_{n}=b_{n}'\}\cap \{n\in \mathbb {N} :a_{n}<b_{n}\}\in {\mathcal {U}}.$ Ponieważ $\{n\in \mathbb {N} :a_{n}=a_{n}'\}\cap \{n\in \mathbb {N} :b_{n}=b_{n}'\}\cap \{n\in \mathbb {N} :a_{n}<b_{n}\}\subset \{n\in \mathbb {N} :a_{n}'<b_{n}'\},$ to $\{n\in \mathbb {N} :a_{n}'<b_{n}'\}\in {\mathcal {U}}$. $\square$

Ciało liczb hiperrzeczywistych jest ciałem uporządkowanym $(\mathbb {R} ^{*},\oplus ,\odot ,0^{*},1^{*},\prec ),$ z porządkiem zdefiniowanym następująco:

$[(a_{n})]\prec [(b_{n})]:\Leftrightarrow \{n\in \mathbb {N} :a_{n}<b_{n}\}\in {\mathcal {U}}$.

Dowód

Można wykazać, że każde dwie liczby hiperrzeczywiste są porównywalne w sensie prawa trychotomii. Niech $E_{1}:=\{n\in \mathbb {N} :a_{n}<b_{n}\},$ $E_{2}:=\{n\in \mathbb {N} :a_{n}>b_{n}\},$ $E_{3}:=\{n\in \mathbb {N} :a_{n}=b_{n}\}.$ Widać, że $E_{i}\cap _{i\neq j}E_{j}=\emptyset$ oraz $E_{1}\cup E_{2}\cup E_{3}=\mathbb {N} \in {\mathcal {U}}.$ Stąd wynika, że $\exists !_{i\in \{1,2,3\}}\ E_{i}\in {\mathcal {U}},$ co dowodzi stwierdzenia.

Można wykazać przechodniość relacji $\prec .$ Niech $[(a_{n})]\prec [(b_{n})]$ oraz $[(b_{n})]\prec [(c_{n})].$ Widać, że $\{n\in \mathbb {N} :a_{n}<b_{n}\}\in {\mathcal {U}}$ oraz $\{n\in \mathbb {N} :b_{n}<c_{n}\}\in {\mathcal {U}},$ a także, że $\{n\in \mathbb {N} :a_{n}<b_{n}\}\cap \{n\in \mathbb {N} :b_{n}<c_{n}\}\subset \{n\in \mathbb {N} :a_{n}<c_{n}\},$ skąd wynika, że $\{n\in \mathbb {N} :a_{n}<c_{n}\}\in {\mathcal {U}},$ czyli $[(a_{n})]\prec [(c_{n})]$.

Zatem relacja $\prec$ jest liniowym porządkiem na $\mathbb {R} ^{*}.$ Poniżej wykazana jest zgodności tego porządku z działaniem addytywnym $\oplus$ oraz multyplikatywnym $\odot .$

Można wykazać zgodność porządku z dodawaniem, tzn. ${\big (}[(a_{n})]\prec [(b_{n})]\wedge [(c_{n})]\prec [(d_{n})]{\big )}\Longrightarrow [(a_{n})]\oplus [(c_{n})]\prec [(b_{n})]\oplus [(d_{n})].$ Widać, że z poprzednika implikacji wynika, iż $E_{1}:=\{n\in \mathbb {N} :a_{n}<b_{n}\}\in {\mathcal {U}}$ oraz $E_{2}:=\{n\in \mathbb {N} :c_{n}<d_{n}\}\in {\mathcal {U}}.$ Ze zgodności naturalnego porządku z dodawaniem w ciele liczb rzeczywistych wynika, że $E_{1}\cap E_{2}\subset \{n\in \mathbb {N} :a_{n}+c_{n}<b_{n}+d_{n}\},$ a skoro $E_{1}\cap E_{2}\in {\mathcal {U}},$ to $\{n\in \mathbb {N} :a_{n}+c_{n}<b_{n}+d_{n}\}\in {\mathcal {U}}$.

Można wykazać zgodność porządku z mnożeniem, tzn. ${\big (}[(a_{n})]\prec [(b_{n})]\wedge 0^{*}\prec [(c_{n})]{\big )}\Longrightarrow [(a_{n})]\odot [(c_{n})]\prec [(b_{n})]\odot [(c_{n})].$ Widać, że z poprzednika implikacji wynika, iż $E_{1}:=\{n\in \mathbb {N} :a_{n}<b_{n}\}\in {\mathcal {U}}$ oraz $E_{2}:=\{n\in \mathbb {N} :0<c_{n}\}\in {\mathcal {U}}.$ Ze zgodności naturalnego porządku z mnożeniem w ciele liczb rzeczywistych wynika, że $E_{1}\cap E_{2}\subset \{n\in \mathbb {N} :a_{n}\cdot c_{n}<b_{n}\cdot c_{n}\},$ a skoro $E_{1}\cap E_{2}\in {\mathcal {U}},$ to $\{n\in \mathbb {N} :a_{n}\cdot c_{n}<b_{n}\cdot c_{n}\}\in {\mathcal {U}}$. $\square$

Moduł liczby hiperrzeczywistej

Tak jak w każdym ciele uporządkowanym, tak i w ciele liczb hiperrzeczywistych, można zdefiniować moduł jako

$|a|:={\begin{cases}a,&{\mbox{ dla }}0^{*}\preceq a\\\ominus a,&{\mbox{ dla }}a\prec 0^{*}\end{cases}}$.

Moduł liczby hiperrzeczywistej można utożsamić z klasą abstrakcji ciągu modułów, tzn.: $|[(a_{n})]|=[(|a_{n}|)]$.

Niearchimedesowość

Ciało liczb hiperrzeczywistych jest niearchimedesowe, tzn. nie spełnia aksjomatu Archimedesa.

Dowód

Można poczynić najpierw obserwację, że $\{n\in \mathbb {N} :0<1/n\}=\mathbb {N} \in {\mathcal {U}},$ co oznacza, że $0^{*}\prec [(1/n)]$. Lecz ponieważ ciało liczb rzeczywistych jest archimedesowe, to $\forall _{r\in \mathbb {R} _{+}}\exists _{n_{0}\in \mathbb {N} }\forall _{n>n_{0}}\ 1/n<r,$ skąd wynika, że $E:=\{n_{0}+i\}_{i=1}^{\infty }\subset \{n\in \mathbb {N} :1/n<r\}$. Zbiór $E$ należy do ultrafiltru ${\mathcal {U}},$ zatem $\{n\in \mathbb {N} :1/n<r\}\in {\mathcal {U}}$. Zatem:

$\forall _{r\in \mathbb {R} _{+}}\ 0^{*}\prec [(1/n)]\prec r^{*},$

co znaczy, że ciało to nie spełnia aksjomatu Archimedesa. $\square$

Ciało liczb hiperrzeczywistych spełnia jednak pewne zmodyfikowane równoważniki aksjomatu Archimedesa, jak np.:

• $\forall _{r\in \mathbb {R} ^{*}}\exists _{n\in \mathbb {N} ^{*}}\ r\prec n$.

Rzeczywista domkniętość

Ciało liczb hiperrzeczywistych $(\mathbb {R} ^{*},\oplus ,\odot ,0^{*},1^{*},\prec )$ jest rzeczywiście domknięte.

Zupełność w sensie Cauchy’ego

Ciało liczb hiperrzeczywistych $(\mathbb {R} ^{*},\oplus ,\odot ,0^{*},1^{*},\prec )$ jest zupełne w sensie Cauchy’ego, tzn.:

$\forall _{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subset \mathbb {R} ^{*}}{\Big (}\forall _{\varepsilon \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\exists _{k}\forall _{n>k}\ {\big [}|a_{n}\ominus a_{k}|\prec \varepsilon {\big ]}\Longrightarrow \exists _{k}\forall _{n>k}\ [a_{n}=a_{k}]{\Big )}$.

Dowód

Rozważyć można przypadek szczególny, a mianowicie ciąg różnowartościowy $(a_{n}).$ Rodzinę przedziałów otwartych

$\{(0,|a_{i}\ominus a_{j}|):i,j\in \mathbb {N} \wedge i\neq j\}$

można uporządkować malejąco relacją inkluzji:

$(0,r_{n+1})\subset (0,r_{n}),$ gdzie $r_{k}:=|a_{i}\ominus a_{j}|.$

Ponieważ $\bigcap \{(0,r_{n}):n\in \mathbb {N} \}\neq \emptyset$, to $\exists _{r}\ r\in \bigcap \{(0,r_{n}):n\in \mathbb {N} \}.$ Niech $\varepsilon :={\frac {r}{4}}.$ Wtedy istnieje takie $k,$ że dla $n,m>k,$ $n\neq m$ zachodzi: $|a_{n}\ominus a_{m}|\prec {\frac {r}{2}},$ co stoi w sprzeczności z definicją liczby $r.$

Niech $(a_{n})$ będzie dowolnym ciągiem spełniającym warunek Cauchy’ego, wówczas zbiór $\{a_{n}\}$ może być skończony lub nieskończony. W tym pierwszym przypadku ciąg ten od pewnego miejsca jest ciągiem stałym. Gdy jest nieskończony, to istnieje różnowartościowy podciąg $(a_{n_{k}}),$ który jest ciągiem Cauchy’ego, co doprowadza do sprzeczności, jak pokazano wcześniej. $\square$

Szczególne podstruktury ciała liczb hiperrzeczywistych

Liczby ograniczone

Zbiór liczb ograniczonych $\mathbb {L}$ definiuje się następująco:

$\mathbb {L} :=\{x\in \mathbb {R} ^{*}:\exists _{n\in \mathbb {N} }\ |x|\prec n^{*}\}$.

Struktura $(\mathbb {L} ,\oplus ,\odot ,0^{*},1^{*})$ jest pierścieniem.

Liczby nieskończenie małe

Zbiór liczb nieskończenie małych $\Omega$ definiuje się następująco:

$\Omega :=\{x\in \mathbb {R} ^{*}:\forall _{n\in \mathbb {N} }\ |x|\prec (1/n)^{*}\}$.

Równoważnie, liczby nieskończenie małe można zdefiniować jako:

$\Omega =\{x\in \mathbb {R} ^{*}:\forall _{r\in \mathbb {R} _{+}}\ |x|\prec r^{*}\}$,

tzn. są to liczby na moduł mniejsze od każdej dodatniej liczby rzeczywistej.

Zbiór $\Omega$ jest różny od $\{0\},$ ponieważ należy do niego np. liczba $[(1/n)_{n=1}^{\infty }]$.

Struktura $(\Omega ,\oplus ,0^{*})$ jest grupą, a $(\Omega ,\oplus ,\odot ,0^{*})$ jest pierścieniem.

W zbiorze $\Omega$ nie ma liczby ani największej, ani najmniejszej.

Liczby nieskończenie duże

Zbiór liczb nieskończenie dużych $\Psi$ definiuje się następująco:

$\Psi :=\{x\in \mathbb {R} ^{*}:\forall _{n\in \mathbb {N} }\ |x|\succ n^{*}\}$.

Zbiór $\Psi$ jest niepusty, ponieważ należy do niego np. liczba $[(n)_{n=1}^{\infty }]$.

Inne podzbiory

W naturalny sposób definiuje się takie podzbiory, jak np.

• liczby hipernaturalne (niestandardowe liczby naturalne): $\mathbb {N} ^{*}:=\{[(a_{n})]\in \mathbb {R} ^{*}:\{n\in \mathbb {N} :a_{n}\in \mathbb {N} \}\in {\mathcal {U}}\}$;
  • nieskończenie duże liczby hipernaturalne: $\mathbb {N} _{\infty }:=\mathbb {N} ^{*}\setminus \mathbb {N} ,$ gdzie $\mathbb {N}$ rozumie się jako $\{n^{*}:n\in \mathbb {N} \}$.
• liczby hiperwymierne (niestandardowe liczby wymierne): $\mathbb {Q} ^{*}:=\{[(a_{n})]\in \mathbb {R} ^{*}:\{n\in \mathbb {N} :a_{n}\in \mathbb {Q} \}\in {\mathcal {U}}\}$.

Można wykazać pewną intuicyjną własność nieskończenie dużych liczb hipernaturalnych, a mianowicie dla $K\in \mathbb {N} ^{*}{:}$

$K\in \mathbb {N} _{\infty }\Leftrightarrow \forall _{k\in \mathbb {N} }\ k^{*}\prec K$,

czyli nieskończenie duże liczby hipernaturalne to takie liczby hipernaturalne, które są większe od każdej liczby naturalnej.

Związki między strukturami

Można udowodnić, że $\forall _{x\in \Omega }\forall _{y\in \mathbb {L} }\ x\odot y\in \Omega ,$ co znaczy, że grupa liczb nieskończenie małych jest ideałem w pierścieniu liczb ograniczonych. Co więcej, jest to ideał maksymalny, więc struktura ilorazowa $\mathbb {L} /_{\Omega }$ jest ciałem. Ciało $\mathbb {L} /_{\Omega }$ jest izomorficzne z ciałem liczb rzeczywistych $\mathbb {R}$.

Można również zauważyć, że:

• liczba odwrotna do niezerowej liczby nieskończenie małej jest liczbą nieskończenie dużą;
• liczba odwrotna do liczby nieskończenie dużej jest nieskończenie mała;
• suma liczby nieskończenie dużej i nieskończenie małej jest nieskończenie duża;
• iloczyn liczby nieskończenie małej i ograniczonej jest nieskończenie mały;
• iloczyn liczby nieskończenie dużej i ograniczonej jest nieskończenie duży.

Warto zauważyć związek: $\mathbb {L} =\bigcup _{r\in \mathbb {R} }r^{*}\oplus \Omega$. To znaczy, że dla $a\in \mathbb {L}$ zachodzi związek $a={\mbox{st}}(a)+\omega$ dla pewnej $\omega \in \Omega$.

Niech dla liczby $a\in \mathbb {L}$ będzie dana $\mu (a):=\{x\in \mathbb {L} :a\thickapprox x\}$. Zbiór $\mu (a)$ nazywa się monadą. Zbiór liczb ograniczonych można zapisać jako sumę nieprzeliczalnie wielu monad rzeczywistych:

$\mathbb {L} =\bigcup _{r\in \mathbb {R} }\mu (r)$.

Inne struktury arytmetyczne i analityczne dla liczb hiperrzeczywistych

Działania na standardowych liczbach hiperrzeczywistych

Można zauważyć pewne pożądane własności dla standardowych liczb hiperrzeczywistych, np.:

• $(a+b)^{*}=a^{*}\oplus b^{*},$ dla $a,b\in \mathbb {R} ;$
• $(a\cdot b)^{*}=a^{*}\odot b^{*},$ dla $a,b,\in \mathbb {R} ;$
• $(a^{*})^{-1}=(a^{-1})^{*},$ dla $a\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$.

Relacja nieskończonej bliskości

W zbiorze liczb hiperrzeczywistych można zdefiniować dwuargumentową relację nieskończonej bliskości, a mianowicie:

$\forall _{x,y\in \mathbb {R} ^{*}}\ x\thickapprox y:\Longleftrightarrow x\ominus y\in \Omega$.

To znaczy, że dwie liczby hiperrzeczywiste są nieskończenie bliskie, gdy ich różnica jest liczbą nieskończenie małą. Relacja $\thickapprox$ jest relacją równoważności.

Nie istnieją dwie różne liczby rzeczywiste nieskończenie bliskie sobie.

Dowód

Niech $a,b\in \mathbb {R} ,$ $a\neq b$ oraz $a^{*}\thickapprox b^{*}.$ Zauważmy, że $\exists _{r\in \mathbb {R} }\ r\neq 0\wedge a-b=r.$ Lecz $r^{*}\notin \Omega ,$ zatem $a\not \thickapprox b;$ sprzeczność. $\square$

Twierdzenie o części standardowej

Prawdą jest, że nieskończenie blisko liczby hiperrzeczywistej ograniczonej znajduje się dokładnie jedna liczba standardowa, tzn.:

$\forall _{a\in \mathbb {L} }\ \exists !_{r\in \mathbb {R} }\ a\thickapprox r^{*}$.

Dzięki temu twierdzeniu można dobrze zdefiniować część standardową liczby hiperrzeczywistej, którą można oznaczyć np. jako ${\mbox{st}}(a)$. Tzn. część standardowa ${\mbox{st}}(a)$ liczby ograniczonej $a$ to liczba spełniająca relację: $({\mbox{st}}(a))^{*}\thickapprox a$.

Rozszerzone ciągi i funkcje

Dowolną funkcję rzeczywistą $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ można rozszerzyć do funkcji hiperrzeczywistej $f^{*}\colon \mathbb {R} ^{*}\to \mathbb {R} ^{*},$ jako klasę abstrakcji ciągu obrazów:

$f^{*}([(a_{n})]):=[(f(a_{n}))]$.

Zauważmy, że „zwykłe” funkcje rzeczywiste w tej definicji pozostaną „zwykłe”:

$f^{*}(x^{*})=[(f(x))]=(f(x))^{*}$.

Dowolny ciąg liczb rzeczywistych $(a_{n})\subset \mathbb {R}$ można rozszerzyć do ciągu hiperrzeczywistego $(a_{K})\subset \mathbb {R} ^{*},$ jako funkcję:

$\mathbb {N} ^{*}\ni K\mapsto r_{K}\in \mathbb {R} ^{*}$.

Ciąg Cauchy’ego

Ciąg rzeczywisty $(a_{n})$ jest ciągiem Cauchy’ego $\Longleftrightarrow \forall _{K,L\in \mathbb {N} _{\infty }}\ a_{K}^{*}\thickapprox a_{L}^{*}$.

Punkt skupienia ciągu

Punkt $s$ jest punktem skupienia ciągu $(a_{n})$ $\Longleftrightarrow \exists _{K\in \mathbb {N} _{\infty }}\ a_{K}^{*}\thickapprox s$.

Ciągłość funkcji

Funkcja $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ jest ciągła w punkcie $x_{0}\in \mathbb {R} ,$ gdy

$\forall _{x\in \mathbb {R} ^{*}}\ x\thickapprox x_{0}^{*}\Rightarrow f^{*}(x)\thickapprox f^{*}(x_{0}^{*})$.

Przykład

Funkcja $f(x)=x^{2}$ jest ciągła w każdym punkcie.

Niech $x_{0}$ będzie ustalonym dowolnie punktem oraz niech będzie dany $x$ taki, że $x^{*}\thickapprox x_{0}^{*}$. Zatem $\exists _{\omega \in \Omega }\ x=x_{0}\oplus \omega$. Zatem:

$f^{*}(x^{*})=f^{*}(x_{0}^{*}\oplus \omega )=(x_{0}^{*})^{2}\oplus 2x_{0}^{*}\omega \oplus \omega ^{2}$.

Zatem:

$f^{*}(x^{*})\ominus f^{*}(x_{0}^{*})=\omega \odot (2x_{0}^{*}\oplus \omega ),$

co jest iloczynem liczby nieskończenie małej i sumy liczb nieskoczenie małej i ograniczonej, czyli iloczynem liczby nieskończenie małej i ograniczonej, czyli liczbą nieskończenie małą. Zatem $f^{*}(x^{*})\thickapprox f^{*}(x_{0}^{*})$. $\square$

Granice

W ciele liczb hiperrzeczywistych można zinterpretować pojęcie granicy ciągu, a mianowicie:

$\forall _{(r_{n})\subset \mathbb {R} }\forall _{g\in \mathbb {R} }\ \lim _{n\to \infty }r_{n}=g\Longleftrightarrow \forall _{K\in \mathbb {N} _{\infty }}\ r_{K}\thickapprox g^{*}$.

Pochodne

Niech $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ i niech $P\in \mathbb {R} .$ Wtedy:

$f'(x_{0})=P\Longleftrightarrow \forall _{\varepsilon \in \Omega \wedge \varepsilon \neq 0^{*}}\ P^{*}\thickapprox {\frac {f^{*}(x_{0}^{*}\oplus \varepsilon )\ominus f^{*}(x_{0}^{*})}{\varepsilon }}$,

co inaczej można zapisać:

$f'(x_{0})={\mbox{st}}\left({\frac {f^{*}(x_{0}^{*}\oplus \varepsilon )\ominus f^{*}(x_{0}^{*})}{\varepsilon }}\right)$.

Przykład

Dla $f(x)=x^{2}$ w dowolnym punkcie istnieje pochodna i $f'(x)=2x$.

${\frac {f^{*}(x^{*}\oplus \varepsilon )\ominus f^{*}(x^{*})}{\varepsilon }}={\frac {(x\oplus \varepsilon )^{2}\ominus x^{2}}{\varepsilon }}=2x\oplus \varepsilon \thickapprox 2x\ \ \square$

Linki zewnętrzne

• Leif Arkeyd, Analiza niestandardowa, miesięcznik „Delta”, lipiec 2004 [dostęp 2021-07-01].