Liczby niewymierne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Liczby niewymierneliczby rzeczywiste niebędące liczbami wymiernymi, czyli takie liczby rzeczywiste, których nie można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb: liczby całkowitej przez liczbę całkowitą różną od zera.

Rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej jest nieskończone i nieokresowe.

Historia[edytuj]

Liczby niewymierne odkryli Pitagorejczycy, w związku z twierdzeniem Pitagorasa. Zauważyli oni mianowicie, że przekątna kwadratu o boku 1 jest niewspółmierna z bokiem, co właśnie oznacza niewymierność liczby \sqrt{2}.

Przykłady[edytuj]

  • Pierwiastek arytmetyczny drugiego stopnia z liczby naturalnej jest liczbą wymierną wtedy i tylko wtedy, gdy liczba ta jest kwadratem liczby naturalnej. Zatem na przykład \sqrt{2} oraz \sqrt{99992} są liczbami niewymiernymi (zobacz dowód niewymierności pierwiastka z 2).
  • Każda liczba przestępna jest niewymierna. Taką liczbą jest np. liczba π, innym przykładem jest 0,123456789101112131415... (zapisy dziesiętne kolejnych liczb naturalnych).
  • Łatwo udowodnić niewymierność wielu logarytmów np. \log_{10} 2, \log_{2} 3.
    Dowód nie wprost dla \log_{2} 3. Gdyby dla pewnych liczb całkowitych dodatnich m oraz n zachodziła równość \log_{2} 3=\frac{m}{n}, to mielibyśmy 2^{\frac{m}{n}} = 3, i wobec tego także 2^{m}=3^{n} – ale ta równość jest fałszywa, gdyż lewa strona jest parzysta, a prawa nieparzysta, zatem \log_23 nie jest wymierny.

Ułamki łańcuchowe[edytuj]

Każdą liczbę niewymierną można rozwinąć w nieskończony ułamek łańcuchowy; skończone ułamki łańcuchowe przedstawiają liczby wymierne.

Zbiór liczb niewymiernych[edytuj]

Jako podprzestrzeń linii prostej \mathbb R, zbiór liczb niewymiernych jest homeomorficzny z przestrzenią Baire'a, czyli ze zbiorem wszystkich funkcji f: \mathbb N \to \mathbb N.

Zobacz też[edytuj]