Liczby urojone

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Liczba urojonaliczba, która podniesiona do kwadratu daje wartość ujemną[1]. Pojęcie to zostało wprowadzone przez Girolamo Cardano w XVI wieku, lecz nazwę nadał im Kartezjusz w 1637 roku. Nie zostały szerzej zaakceptowane aż do prac Eulera (1707–1783) i Gaussa (1777–1855).

Każda liczba urojona może zostać zapisana jako bi, gdzie:

Istnieją dwa pierwiastki spełniające tę równość: i oraz -i w związku z czym zapis i=\sqrt{-1} jest niepoprawny[2].

Liczbą zespoloną nazywamy zaś liczbę a + bi, gdzie a oraz b są liczbami rzeczywistymi.

Każda liczba zespolona może więc zostać zapisana jako suma liczby rzeczywistej i liczby urojonej[1].

Całkowite potęgi liczby i powtarzają się cyklicznie. Dla k \in \mathbb Z:

i^n = \begin{cases} 1, & n=4k \\ i, & n=4k+1 \\ -1, & n=4k+2 \\ -i, & n=4k+3 \end{cases}

W elektronice, elektrotechnice i pokrewnych dziedzinach, jednostka urojona jest często zapisywana jako j w celu uniknięcia pomyłki z wartością chwilową prądu elektrycznego, tradycyjnie oznaczaną literą i.


Przypisy

  1. 1,0 1,1 Jerzy Topp: Algebra liniowa. Gdańsk: Wydawnictwo Politechniki Gdańskiej, 2005. ISBN 8373481354.
  2. Zapis jest niepoprawny ze względu na fakt, że również (-i)^2 = -1, wobec czego zapis i=\sqrt{-1} jest pewnym skrótem myślowym i należy pamiętać, że pierwiastek jest funkcją wielowartościową.