Liczby wymierne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Definicja intuicyjna
Ułamki liczb całkowitych o niezerowym mianowniku; liczby rzeczywiste mające skończone, bądź okresowe od pewnego miejsca rozwinięcie dziesiętne.

Liczby wymierneliczby, które można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych, w którym dzielnik jest różny od zera. Są to więc liczby, które można przedstawić za pomocą ułamka zwykłego. Zbiór liczb wymiernych oznaczany jest zazwyczaj symbolem Wobec tego:

Liczby wymierne są szczególnym przypadkiem liczb rzeczywistych. Liczbę rzeczywistą, która nie jest wymierna nazywamy liczbą niewymierną. Szczególnym przypadkiem liczb wymiernych są m.in. liczby całkowite i liczby naturalne.

Liczby wymierne tworzą ciało ułamków pierścienia liczb całkowitych. Konstrukcję tę możemy przedstawić w następujący sposób:

Niech w zbiorze par liczb całkowitych których następnik jest różny od zera, dana będzie relacja równoważności

wtedy i tylko wtedy, gdy

W zbiorze klas abstrakcji tej relacji określa się dwa działania

Parę zapisuje się zwykle w postaci ułamka bądź jeśli to parę tę utożsamia się po prostu z liczbą

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Liczby wymierne z dodawaniem, mnożeniem, zerem i jedynką określonymi w poprzedniej sekcji stanowią ciało.
  • Zbiór liczb wymiernych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych, czyli jest to zbiór przeliczalny (co oznacza się ).
  • Jako podzbiór przestrzeni liczb rzeczywistych liczby wymierne są gęste w
Dla wykazania tej własności wystarczy udowodnić, że dla każdych istnieje liczba wymierna
Dowód Gdyby były wymierne, to oczywiście spełnia tezę. Niech więc choć jedno spośród jest niewymierne.
  • Jeśli to można przyjąć
  • Jeśli to ponieważ jest ciałem archimedesowym, to wystarczy wskazać takie, że czyli
    Podobnie gdy wskazujemy i wówczas
  • Niech więc i niech np. jest niewymierne.
    Dla pewnego zachodzi stąd
    Z drugiej strony istnieje takie, że niech będzie najmniejszą liczbą naturalną o tej własności. Pokażemy, że Rzeczywiście, gdyby to byłoby Ponieważ równość nie może zachodzić (liczba niewymierna nie może być liczbą naturalną), więc wbrew temu, że jest najmniejszą liczbą wśród liczb naturalnych o własności
    Ostatecznie łącznie z warunkiem daje
czyli
Jeśli jest niewymierne i wymierne, to wystarczy znaleźć takie, że i znaleźć jak poprzednio spełniające Wówczas i
  • Jeśli to wystarczy znaleźć jak w poprzednim punkcie spełniające i wówczas

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]