Liczby wymierne

	Definicja intuicyjna
	Ułamki liczb całkowitych o niezerowym mianowniku; liczby rzeczywiste mające skończone, bądź okresowe od pewnego miejsca rozwinięcie dziesiętne.

Standardowy symbol zbioru liczb wymiernych: ℚ

Liczby wymierne – liczby, które można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych, w którym dzielnik jest różny od zera^[1]. Są to więc liczby, które można przedstawić za pomocą ułamka zwykłego. Zbiór liczb wymiernych zazwyczaj oznacza się symbolem $\mathbb {Q} ,$ od niemieckiego słowa Quotient – iloraz lub stosunek^[2]. Symbolicznie:

\mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}:m,n\in \mathbb {Z} ,n\neq 0\right\}.

Liczby wymierne są przez to uogólnieniem liczb całkowitych $(\mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} )$ umożliwiającym dzielenie przez dowolną liczbę różną od zera; na liczbach wymiernych można wykonywać wszystkie cztery podstawowe działania arytmetyczne. Jest też kilka innych podstawowych własności tego zbioru:

porządek liczb wymiernych jest gęsty – między każdą parą liczb wymiernych istnieje inna liczba tego typu^[1];
liczby wymierne można zapisywać ułamkami dziesiętnymi – są one skończone lub okresowe^[1];
pierwiastek z liczby wymiernej nie musi być wymierny; przykładowo pierwiastek kwadratowy z dwóch jest niewymierny^[3]: ${\sqrt {2}}\notin \mathbb {Q} .$

Podstawowym uogólnieniem liczb wymiernych są liczby rzeczywiste, których ułamki dziesiętne mogą być jednocześnie nieskończone i nieokresowe^[3]. Więcej informacji o liczbach wymiernych dostarcza matematyka wyższa:

konstruuje je za pomocą liczb całkowitych;
opisuje dalsze własności, opisane niżej;
wprowadza inne uogólnienia, zwane rozszerzeniami ciała liczb wymiernych. Przykłady to pierwiastniki liczb wymiernych i inne liczby algebraiczne; nie muszą one należeć do liczb rzeczywistych, podobnie jak liczby p-adyczne.

Konstrukcja

Liczby wymierne tworzą ciało ułamków pierścienia liczb całkowitych. Niech w zbiorze par liczb całkowitych $(a,b)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} ,$ których następnik jest różny od zera, dana będzie relacja równoważności

(a,b)\sim (c,d)

wtedy i tylko wtedy, gdy

ad=bc.

W zbiorze klas abstrakcji tej relacji określa się dwa działania

$[(a,b)]+[(c,d)]=[(ad+bc,bd)],$
$[(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(ac,bd)].$

Parę $(a,b)$ zapisuje się zwykle w postaci ułamka ${\tfrac {a}{b}},$ bądź jeśli $b=1,$ to parę tę utożsamia się po prostu z liczbą $a.$

Własności

W teorii mnogości mówi się, że liczby wymierne, tak jak całkowite, tworzą zbiór przeliczalny – są równoliczne ze zbiorem liczb naturalnych^[1], co oznacza się $\#\mathbb {Q} =\aleph _{0}$ ^{[potrzebny przypis]}.
W algebrze abstrakcyjnej mówi się, że liczby wymierne, tak jak całkowite, tworzą grupę przemienną z działaniem dodawania^[1]. Przy dołączeniu mnożenia liczby wymierne – w odróżnieniu od całkowitych – tworzą ciało^[1] i definiuje się nimi ciała liczbowe.
Porządek liczb wymiernych nie jest ciągły.
Każdą liczbę wymierną można zapisać jako skończony ułamek łańcuchowy (ciągły ułamek arytmetyczny) i jest to cecha, która je wyróżnia wśród liczb rzeczywistych^[4]^[5];
Z perspektywy topologicznej liczby wymierne – jako podzbiór osi rzeczywistej $\mathbb {R}$ – są gęste w $\mathbb {R} .$

Dla wykazania tej własności wystarczy udowodnić, że dla każdych

x,y\in \mathbb {R} ,\;x<y

istnieje liczba wymierna

u\in \mathbb {Q} ,\;x<u<y.

Dowód Gdyby

x,y

były wymierne, to oczywiście

u={\tfrac {x+y}{2}}

spełnia tezę. Niech więc choć jedno spośród

x,y

jest niewymierne.

Jeśli $x<0<y,$ to można przyjąć $u=0.$
Jeśli $0=x<y,$ to ponieważ $\mathbb {R}$ jest ciałem archimedesowym, to wystarczy wskazać $n\in \mathbb {N}$ takie, że $n>{\tfrac {1}{y}},$ czyli $0<{\tfrac {1}{n}}<y.$
Podobnie gdy $x<y=0,$ wskazujemy $n>{\tfrac {1}{-x}}$ i wówczas $x<{\tfrac {1}{-n}}<0.$
Niech więc $0<x<y$ i niech np. $x$ jest niewymierne.
Dla pewnego $q\in \mathbb {N}$ zachodzi $q>{\tfrac {1}{y-x}},$ stąd $1<q(y-x).$
Z drugiej strony istnieje $p\in \mathbb {N}$ takie, że $p>qx,$ niech $p_{0}$ będzie najmniejszą liczbą naturalną o tej własności. Pokażemy, że $qx<p_{0}<qx+1.$ Rzeczywiście, gdyby $p_{0}\geqslant qx+1,$ to byłoby $p_{0}-1\geqslant qx.$ Ponieważ równość nie może zachodzić (liczba niewymierna nie może być liczbą naturalną), więc $p_{0}-1>qx$ wbrew temu, że $p_{0}$ jest najmniejszą liczbą wśród liczb naturalnych $p$ o własności $p>qx.$
Ostatecznie $qx<p_{0}<qx+1$ łącznie z warunkiem $1<q(y-x)$ daje