Logarytm

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Na tę stronę wskazuje przekierowanie z „lg”. Zobacz też: LG.
Dzieło Logarithmorum canonis descriptio Johna Napiera z 1620 roku, w którym podpisuje się on nazwiskiem „Neper”.

Logarytm (łac. [now.] logarithmusstosunek, z gr. λόγ- log-, od λόγος logos – zasada, rozum, słowo, i ἀριθμός árithmós – liczba) – dla danych liczb liczba oznaczana będąca rozwiązaniem równania Liczba nazywana jest podstawą (zasadą) logarytmu, liczba liczbą logarytmowaną (niekiedy antylogarytmem swojego logarytmu, patrz: antylogarytm). Jest to więc wykładnik potęgi, do jakiej należy podnieść podstawę aby otrzymać liczbę logarytmowaną

Przykłady

gdyż
gdyż

Logarytmy zostały odkryte w XVI w., były odpowiedzią na konieczność wykonywania żmudnych i czasochłonnych obliczeń w związku z burzliwie rozwijającymi się wówczas astronomią, nawigacją i handlem. Twórcami logarytmów byli matematyk szkocki J. Neper i matematyk angielski H. Briggs.

Pozwalały zastąpić mnożenia, dzielenie, pierwiastkowanie na łatwiejsze odpowiednio dodawanie, odejmowanie i dzielenie przez liczbę naturalną. Tablice logarytmiczne i suwaki logarytmiczne stały się podstawową pomocą we wszelkich obliczeniach naukowych, astronomicznych, geodezyjnych i inżynierskich. Współcześnie, z powodu wyparcia ich przez kalkulatory i komputery, ich użytkowa rola jest dużo mniejsza.

Logarytm przy ustalonej podstawie pozwala zdefiniować funkcję logarytmiczną następująco:


Definicja formalna[edytuj | edytuj kod]

schemat działania suwaka logarytmicznego pokazujący, jak dwie skale logarytmiczne pozwalają zamienić mnożenie na dodawanie

Logarytm jest działaniem zewnętrznym: zdefiniowanym równoważnością:[1]

(zamiast stosuje się symbolikę ).

Logarytm jest więc działaniem odwrotnym do potęgowania. Z własności potęgowania wynika poprawność tak zdefiniowanego działania, tzn.

  • dla każdych istnieje liczba rzeczywista

Jest też odwrotnie:

  • dla dowolnej liczby i dowolnej liczby istnieje dokładnie jedna liczba taka, że
  • dla dowolnej liczby i dowolnej liczby istnieje dokładnie jedna liczba taka, że

Oznacza to, że przy ustalonym lub ustalonym działanie jest różnowartościową suriekcją na zbiór

Logarytm naturalny[edytuj | edytuj kod]

Logarytm naturalny, nazywany często logarytmem Nepera, to logarytm o podstawie oznaczanej literą równą w przybliżeniu Zwyczajowo zamiast pisze się Wybór za podstawę tej szczególnej liczby podyktowany jest definicją funkcji wykładniczej dla której postaci

wtedy jej pochodna (również formalna) co oznacza, że zamiast ponieważ W pewnym sensie logarytm naturalny jest więc rzeczywiście bardziej „naturalny” spośród logarytmów. Podstawa logarytmu naturalnego jest liczbą przestępną i jedną z najważniejszych stałych matematycznych.

Logarytm dziesiętny[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: logarytm dziesiętny.

Zapis bez indeksu albo oznacza zwykle logarytm dziesiętny (Briggsa), czyli mający u swej podstawy liczbę 10[1]:

Konwencja ta jednak bywa myląca, gdyż niektórzy oznaczają tym symbolem logarytm naturalny. W szczególności oznacza logarytm naturalny w niektórych językach programowania, choć np. w polskiej wersji Microsoft Excela ten sam symbol oznacza logarytm dziesiętny.

Istnieje pewna zależność wartości logarytmu liczby od liczby cyfr przed przecinkiem potrzebnych do jej zapisania: Dla dowolnej liczby jej logarytm dziesiętny zaokrąglony w górę (sufit) jest równy minimalnej liczbie cyfr przed przecinkiem w zapisie dziesiętnym np.

Po zaokrągleniu w górę uzyskujemy 7 i rzeczywiście zapis liczby 5083495,424 wymaga 7 miejsc dziesiętnych przed przecinkiem. Trzeba jednak pamiętać o poniższych wartościach:

Analogicznie dla dowolnego systemu pozycyjnego o podstawie należy użyć logarytmu o podstawie

Własności[edytuj | edytuj kod]

Znaki liczby w zależności od wartości

Wprost z definicji logarytmu wynika:

Z własności potęgi wynikają następujące równości:[1]

(1)
(2)

Wnioskiem z powyższych jest następująca równość nazywana wzorem na zmianę podstawy logarytmu:[1]

albo

stąd przyjmując

albo w szczególności

Z powyższych własności można wykazać m.in. równości

[a]

Dowody niektórych własności[edytuj | edytuj kod]

Wzór (1): Niech Stąd, zgodnie z definicją, Mnożąc stronami obie równości Ponieważ więc Czyli Stąd teza.

Wzór (2): Niech Stąd, zgodnie z definicją, Podnosząc obie strony do potęgi Ponieważ więc Czyli Stąd teza.

Pozostałe wzory tej sekcji łatwo wynikają z dwóch udowodnionych tu równości.

Logarytm liczby zespolonej[edytuj | edytuj kod]

Logarytm można uogólnić na liczby zespolone, co pozwala obliczać go także dla ujemnych liczb rzeczywistych. Niech będzie różną od zera liczbą zespoloną. Wtedy:

(1)

gdzie:

  • jest dowolną liczbą całkowitą,
  • jest zwykłym logarytmem naturalnym z modułu liczby (moduł liczby zespolonej jest liczbą rzeczywistą),
  • to argument liczby zespolonej
  • to argument główny.

W szczególności dla liczb zespolonych:

Logarytm zespolony nie jest jednoznacznie określony, gdyż daje różne wartości dla różnych Przyjmując otrzymujemy tzw. wartość główną logarytmu. Niektórzy autorzy oznaczają ją dla odróżnienia dużą literą: Inni[2] przeciwnie, wielką literą oznaczają ogólną postać logarytmu, a małą wartość główną. Jeszcze inni obydwie wersje oznaczają tym samym symbolem pisanym małą literą.

Logarytm o podstawie zespolonej można sprowadzić do logarytmu naturalnego stosując wzór na zmianę podstawy:

gdzie:

  • i są liczbami zespolonymi,
  • i są dane wzorem (1).

Oczywiście zbiór wartości jest podwójnie indeksowany.

Kologarytm[edytuj | edytuj kod]

Liczbę przeciwną do logarytmu z nazywało się niegdyś kologarytmem i oznaczało lub Dzisiaj pojęcie to odchodzi w zapomnienie i pisze się po prostu Wyrażenie to używane jest do tej pory m.in. w chemii przy określaniu skali kwasowości.

Logarytm dyskretny[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: logarytm dyskretny.

Logarytm dyskretny elementu (przy podstawie ) w danej grupie skończonej jest to taka liczba całkowita że w grupie zachodzi równość (stosując notację multiplikatywną dla działania grupowego):

Przykłady i zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Logarytmy dlá szkół narodowych Ignacego Zaborowskiego, publikacja Towarzystwa do Ksiąg Elementarnych z 1787.

Matematyka[edytuj | edytuj kod]

Inne dziedziny[edytuj | edytuj kod]

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  1. Ten wzór pozwala zastosować logarytm do obliczania dowolnych potęg Jest to przydatne na komputerach (tzw. funkcja pow), na suwakach logarytmicznych lub przy użyciu gotowych tablic. W zastosowaniach praktycznych najczęściej używaną wartością a jest 2, e oraz 10.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b c d Wybrane wzory matematyczne, Warszawa: Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2015, s. 2, ISBN 978-83-940902-1-0.
  2. Bogdan Miś: Tajemnicza liczba e i inne sekrety matematyki. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1989, s. 255. ISBN 978-83-204-3364-7.