Logarytm

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Wykresy logarytmów. Czerwony przy podstawie e, zielony przy podstawie 10, purpurowy przy podstawie 1,7

Logarytm (łac. [now.] logarithmus, w sensie stosunek, z gr. λόγ- log-, od λόγος logos , „słowo”, w sensie proporcja, i ἀριθμός árithmós, „liczba”). Logarytm przy podstawie z liczby (symbolicznie ) oznacza liczbę , będącą potęgą, do której podstawa musi być podniesiona, aby dać liczbę , czyli

przy czym oraz Przykładowo gdyż

Kluczową własnością logarytmów jest fakt, iż służą one zamianie często czasochłonnego mnożenia na dużo prostsze dodawanie.

Logarytm naturalny[edytuj]

Dzieło Logarithmorum canonis descriptio Johna Napiera z 1620 roku, w którym podpisuje się on nazwiskiem „Neper”.

Logarytm naturalny, nazywany często logarytmem Nepera, to logarytm o podstawie oznaczanej literą równą w przybliżeniu Zwyczajowo zamiast pisze się Wybór za podstawę tej szczególnej liczby podyktowany jest definicją funkcji wykładniczej dla której postaci

,

wtedy jej pochodna (również formalna) co oznacza, że zamiast ponieważ W pewnym sensie logarytm naturalny jest więc rzeczywiście bardziej „naturalny” spośród logarytmów. Podstawa logarytmu naturalnego jest liczbą przestępną i jedną z najważniejszych stałych matematycznych.

Logarytm dziesiętny[edytuj]

 Osobny artykuł: logarytm dziesiętny.

Zapis bez indeksu albo oznacza zwykle logarytm dziesiętny (Briggsa), czyli mający u swej podstawy liczbę 10:

Konwencja ta jednak bywa myląca, gdyż niektórzy oznaczają tym symbolem logarytm naturalny. W szczególności oznacza logarytm naturalny w niektórych językach programowania, choć np. w polskiej wersji Microsoft Excela ten sam symbol oznacza logarytm dziesiętny.

Istnieje pewna zależność wartości logarytmu liczby od liczby cyfr przed przecinkiem potrzebnych do jej zapisania: Dla dowolnej liczby jej logarytm dziesiętny zaokrąglony w górę (sufit) jest równy minimalnej liczbie cyfr przed przecinkiem w zapisie dziesiętnym , np.

Po zaokrągleniu w górę uzyskujemy 7 i rzeczywiście zapis liczby 5083495,424 wymaga 7 miejsc dziesiętnych przed przecinkiem. Trzeba jednak pamiętać o poniższych wartościach:

Analogicznie dla dowolnego systemu pozycyjnego o podstawie , należy użyć logarytmu o podstawie .

Własności[edytuj]

Wprost z definicji:

.

Z własności potęgi wynika również:

stąd też

oraz

i wreszcie

a więc

w szczególności

Wnioskiem z powyższych jest następująca równość:

albo:

Ponieważ funkcje logarytmiczne o różnych podstawach ( i powyżej) są do siebie proporcjonalne, więc podstawa logarytmu (o ile tylko jest liczbą większą od 1) jest w niektórych porównaniach nieistotna. Tak jest na przykład w teorii złożoności obliczeniowej przy określaniu czasu działania algorytmów w sensie asymptotycznym.

Zachodzi również:

Każda liczba dodatnia ma logarytm rzeczywisty, ujemna jednak wyłącznie zespolony ponieważ [1]. Ponieważ potęga niezerowej liczby (nawet dla liczb zespolonych) nigdy nie wynosi zero, więc logarytm nie jest w zerze określony.

Jeżeli podstawa , to:

dla zachodzi natomiast:

Można również zastosować logarytm wraz z funkcją wykładniczą, do obliczania dowolnych potęg (x i y dodatnie):

jest to przydatne szczególnie na komputerach (tzw. funkcja pow), na suwakach logarytmicznych lub przy użyciu gotowych tablic. W zastosowaniach praktycznych najczęściej używaną wartością a jest 2, e oraz 10.

Liczby zespolone[edytuj]

Logarytm można uogólnić na liczby zespolone, co pozwala obliczać go także dla ujemnych liczb rzeczywistych. Niech będzie różną od zera liczbą zespoloną. Wtedy:

(1)

gdzie:

  • jest dowolną liczbą całkowitą,
  • jest zwykłym logarytmem naturalnym z modułu liczby (moduł liczby zespolonej jest liczbą rzeczywistą),
  • to argument liczby zespolonej
  • to argument główny

W szczególności dla liczb zespolonych:

,
,

Logarytm zespolony nie jest jednoznacznie określony, gdyż daje różne wartości dla różnych . Przyjmując otrzymujemy tzw. wartość główną logarytmu. Niektórzy autorzy oznaczają ją dla odróżnienia dużą literą: . Inni[2] przeciwnie, wielką literą oznaczają ogólną postać logarytmu, a małą wartość główną. Jeszcze inni obydwie wersje oznaczają tym samym symbolem pisanym małą literą.

Logarytm o podstawie zespolonej przekształcamy do logarytmu naturalnego analogicznie jak dla liczb rzeczywistych:

dla

gdzie:

  • i są liczbami zespolonymi.
  • i są dane wzorem (1)

Funkcja logarytmiczna[edytuj]

 Osobny artykuł: funkcja logarytmiczna.

Często logarytm utożsamia się z funkcją logarytmiczną określoną wzorem przy ustalonej podstawie .

Można ją zdefiniować także jako funkcję odwrotną do funkcji wykładniczej.

Kologarytm[edytuj]

Liczbę przeciwną do logarytmu z nazywało się niegdyś kologarytmem i oznaczało lub . Dzisiaj pojęcie to odchodzi w zapomnienie i pisze się po prostu . Wyrażenie to używane jest do tej pory m.in. w chemii przy określaniu skali kwasowości.

Logarytm dyskretny[edytuj]

 Osobny artykuł: logarytm dyskretny.

Logarytm dyskretny elementu (przy podstawie ) w danej grupie skończonej jest to taka liczba całkowita , że w grupie zachodzi równość (stosując notację multiplikatywną dla działania grupowego):

.

Zastosowania[edytuj]

Dawniej logarytmy były używane do szybkiego mnożenia liczb za pomocą tablic logarytmicznych (zamieniano je na łatwe dodawanie ich logarytmów). Tablice logarytmiczne były podstawową pomocą do obliczeń naukowych, geodezyjnych, astronomicznych i inżynierskich. Dzisiaj, z powodu wyparcia ich przez kalkulatory i komputery, wyszły one właściwie z użytku podobnie jak suwak logarytmiczny.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. więcej w artykule o wzorze Eulera
  2. Bogdan Miś: Tajemnicza liczba e i inne sekrety matematyki. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1989, s. 255. ISBN 978-83-204-3364-7.