Logarytm

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Na tę stronę wskazuje przekierowanie z „lg”. Zobacz też: LG.
Wykresy logarytmów. Czerwony przy podstawie e, zielony przy podstawie 10, fioletowy przy podstawie 1,7

Logarytm (łac. [now.] logarithmusstosunek, z gr. λόγ- log-, od λόγος logosproporcja, i ἀριθμός árithmós – liczba) – Logarytm przy podstawie z liczby (symbolicznie ) oznacza liczbę będącą potęgą, do której podstawa musi być podniesiona, aby dać liczbę czyli

przy czym oraz

Przykładowo gdyż

Kluczową własnością logarytmów jest fakt, iż służą one zamianie często czasochłonnego mnożenia na dużo prostsze dodawanie.

Przykłady i zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Logarytmy dlá szkół narodowych Ignacego Zaborowskiego, publikacja Towarzystwa do Ksiąg Elementarnych z 1787.

Matematyka[edytuj | edytuj kod]

Inne dziedziny[edytuj | edytuj kod]

Logarytm naturalny[edytuj | edytuj kod]

Dzieło Logarithmorum canonis descriptio Johna Napiera z 1620 roku, w którym podpisuje się on nazwiskiem „Neper”.

Logarytm naturalny, nazywany często logarytmem Nepera, to logarytm o podstawie oznaczanej literą równą w przybliżeniu Zwyczajowo zamiast pisze się Wybór za podstawę tej szczególnej liczby podyktowany jest definicją funkcji wykładniczej dla której postaci

wtedy jej pochodna (również formalna) co oznacza, że zamiast ponieważ W pewnym sensie logarytm naturalny jest więc rzeczywiście bardziej „naturalny” spośród logarytmów. Podstawa logarytmu naturalnego jest liczbą przestępną i jedną z najważniejszych stałych matematycznych.

Logarytm dziesiętny[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: logarytm dziesiętny.

Zapis bez indeksu albo oznacza zwykle logarytm dziesiętny (Briggsa), czyli mający u swej podstawy liczbę 10:

Konwencja ta jednak bywa myląca, gdyż niektórzy oznaczają tym symbolem logarytm naturalny. W szczególności oznacza logarytm naturalny w niektórych językach programowania, choć np. w polskiej wersji Microsoft Excela ten sam symbol oznacza logarytm dziesiętny.

Istnieje pewna zależność wartości logarytmu liczby od liczby cyfr przed przecinkiem potrzebnych do jej zapisania: Dla dowolnej liczby jej logarytm dziesiętny zaokrąglony w górę (sufit) jest równy minimalnej liczbie cyfr przed przecinkiem w zapisie dziesiętnym np.

Po zaokrągleniu w górę uzyskujemy 7 i rzeczywiście zapis liczby 5083495,424 wymaga 7 miejsc dziesiętnych przed przecinkiem. Trzeba jednak pamiętać o poniższych wartościach:

Analogicznie dla dowolnego systemu pozycyjnego o podstawie należy użyć logarytmu o podstawie

Własności[edytuj | edytuj kod]

Wprost z definicji:

Z własności potęgi wynika również:

stąd też

oraz

i wreszcie

a więc

w szczególności

Wnioskiem z powyższych jest następująca równość:

albo:

Ponieważ funkcje logarytmiczne o różnych podstawach ( i powyżej) są do siebie proporcjonalne, więc podstawa logarytmu (o ile tylko jest liczbą większą od 1) jest w niektórych porównaniach nieistotna. Tak jest na przykład w teorii złożoności obliczeniowej przy określaniu czasu działania algorytmów w sensie asymptotycznym.

Zachodzi również:

Każda liczba dodatnia ma logarytm rzeczywisty, ujemna jednak wyłącznie zespolony ponieważ [1]. Ponieważ potęga niezerowej liczby (nawet dla liczb zespolonych) nigdy nie wynosi zero, więc logarytm nie jest w zerze określony.

Jeżeli podstawa to:

dla zachodzi natomiast:

Można również zastosować logarytm wraz z funkcją wykładniczą, do obliczania dowolnych potęg ( i dodatnie):

jest to przydatne szczególnie na komputerach (tzw. funkcja pow), na suwakach logarytmicznych lub przy użyciu gotowych tablic. W zastosowaniach praktycznych najczęściej używaną wartością a jest 2, e oraz 10.

Liczby zespolone[edytuj | edytuj kod]

Logarytm można uogólnić na liczby zespolone, co pozwala obliczać go także dla ujemnych liczb rzeczywistych. Niech będzie różną od zera liczbą zespoloną. Wtedy:

(1)

gdzie:

  • jest dowolną liczbą całkowitą,
  • jest zwykłym logarytmem naturalnym z modułu liczby (moduł liczby zespolonej jest liczbą rzeczywistą),
  • to argument liczby zespolonej
  • to argument główny.

W szczególności dla liczb zespolonych:

Logarytm zespolony nie jest jednoznacznie określony, gdyż daje różne wartości dla różnych Przyjmując otrzymujemy tzw. wartość główną logarytmu. Niektórzy autorzy oznaczają ją dla odróżnienia dużą literą: Inni[2] przeciwnie, wielką literą oznaczają ogólną postać logarytmu, a małą wartość główną. Jeszcze inni obydwie wersje oznaczają tym samym symbolem pisanym małą literą.

Logarytm o podstawie zespolonej przekształcamy do logarytmu naturalnego analogicznie jak dla liczb rzeczywistych:

dla

gdzie:

  • i są liczbami zespolonymi,
  • i są dane wzorem (1).

Funkcja logarytmiczna[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: funkcja logarytmiczna.

Często logarytm utożsamia się z funkcją logarytmiczną określoną wzorem przy ustalonej podstawie

Można ją zdefiniować także jako funkcję odwrotną do funkcji wykładniczej.

Kologarytm[edytuj | edytuj kod]

Liczbę przeciwną do logarytmu z nazywało się niegdyś kologarytmem i oznaczało lub Dzisiaj pojęcie to odchodzi w zapomnienie i pisze się po prostu Wyrażenie to używane jest do tej pory m.in. w chemii przy określaniu skali kwasowości.

Logarytm dyskretny[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: logarytm dyskretny.

Logarytm dyskretny elementu (przy podstawie ) w danej grupie skończonej jest to taka liczba całkowita że w grupie zachodzi równość (stosując notację multiplikatywną dla działania grupowego):

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Więcej w artykule o wzorze Eulera.
  2. Bogdan Miś: Tajemnicza liczba e i inne sekrety matematyki. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1989, s. 255. ISBN 978-83-204-3364-7.