Przejdź do zawartości

Logarytm macierzy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Logarytm macierzy – inna macierz taka, że wykładnicza macierz drugiej macierzy jest równa oryginalnej macierzy. A zatem jest to uogólnienie logarytmu skalarnego,a w pewnym sensie także odwrotna funkcja macierzy wykładniczej. Nie wszystkie macierze mają logarytm i te macierze, które posiadają logarytm, mogą mieć więcej niż jeden logarytm. Badanie logarytmów macierzy prowadzi do teorii Liego. Od kiedy macierz ma logarytm, jest w grupie Liego i logarytm jest odpowiednim elementem algebry Liego.

Definicja

[edytuj | edytuj kod]

Wykładnicza forma macierzy jest określona:

Biorąc pod uwagę macierz macierz jest logarytmem macierzy jeżeli Często logarytmy matrycy nie są unikatowe, tak jak logarytmy liczb zespolonych, co wyjaśniono poniżej.

Przykład: Logarytm obrotów w płaszczyźnie

[edytuj | edytuj kod]

Obroty w płaszczyźnie to prosty przykład. Obrót kąta wokół macierzy jest reprezentowany przez macierz

Dla każdej liczby naturalnej macierz

to logarytm macierzy Zatem macierz ma nieskończenie wiele logarytmów. To wynika z tego, że kąt obrotu jest ustalony tylko do wielokrotności

W języku teorii Liego obroty macierzy są elementami grupy Liego SO(2). Odpowiadające im logarytmy B są elementami algebry Liego SO(2), która składa się z wszystkich macierzy skośno-symetrycznych.

Macierz

jest generatorem algebry Liego SO(2).

Czy istnieje?

[edytuj | edytuj kod]

Pytanie, czy macierz ma logarytm ma najprostszą odpowiedź, gdy rozpatrywana jest w złożonej konfiguracji. Macierz ma logarytm wtedy i tylko wtedy, gdy jest odwracalna. Logarytm nie jest wyjątkowy, ale jeśli matryca nie ma negatywnych rzeczywistych wartości własnych, to ma wyjątkowy logarytm, którego wartości własne zawierają się w klamrze: Ten logarytm jest znany jako logarytm główny.

Odpowiedź jest bardziej zagmatwana w rzeczywistym otoczeniu. Rzeczywista matryca ma prawdziwa logarytm wtedy i tylko wtedy, gdy jest odwracalna, a każdy blok Jordana należący do ujemnej wartości własnej występuje parzystą liczbę razy. Jeśli odwracalna rzeczywista matryca nie spełnia warunku z bloków Jordana, to ma tylko logarytmy rzeczywiste. To można już zobaczyć w przypadku skalarnym: logarytm z jest nierzeczywistą liczbą zespoloną. Istnienie logarytmów rzeczywistych macierzy rzeczywistych matryc jest rozważane w dalszej części[potrzebny przypis].

Własności

[edytuj | edytuj kod]

Jeśli i są dodatnio określone oraz i są przemienne, czyli to

Dla każdej odwracalnej macierzy,

Obliczanie logarytmu macierzy diagonalnej

[edytuj | edytuj kod]

Sposób znalezienia diagonalnej macierzy jest następujący:

  • Znajdź macierz wektorów własnych (każda kolumna jest wektorem własnym ).
  • Znajdź odwrotność z
  • Niech
  • Wtedy będzie macierzą diagonalną, której elementy przekątnej są wartościami własnymi macierzy
  • Zamień każdy element przekątnej na jego logarytmu naturalny, w celu uzyskania
  • Wtedy

To, że logarytm A może być macierzą zespoloną, nawet jeśli A jest rzeczywiste, wynika z faktu, że macierz z pozytywnymi i rzeczywistymi wartościami może mieć negatywne lub nawet złożone wartości własne (dotyczy to przykładowo macierzy rotacji). Brak unikatowości logarytmu macierzy wynika z braku jednoznaczności logarytmu liczby zespolonej.

Obliczanie logarytmu niediagonalnej macierzy

[edytuj | edytuj kod]

Algorytm przedstawiony powyżej nie działa na niediagonalnych macierzach, takich jak

Dla takich matryc trzeba znaleźć ich rozkład Jordana i, zamiast obliczania logarytmów elementów przekątnej jak wyżej, trzeba obliczyć logarytm bloków Jordana.

Ten ostatni jest tworzony, dzięki zauważeniu, że można napisać blok Jordan jako

gdzie jest macierzą z zerami na i poniżej głównej przekątnej (liczba jest niezerowa z powodu założenia, że macierz którego logarytm próbuje się obliczyć jest odwracalna).

Następnie, dzięki rozwinięciu Mercatora

staje się

To rozwinięcie na ogół nie jest zbieżne dla każdej macierzy ponieważ nie jest zbieżne dla każdej liczby rzeczywistej z wartością bezwzględną większą od jedności, to jednak jest macierzą nilpotenta, tak więc cykl rzeczywiście ma skończoną liczbę wyrazów ( jest równe zero, jeśli jest wymiarem ).

Stosując to odkrycie, otrzymujemy

Funkcjonalna analiza perspektywiczna

[edytuj | edytuj kod]

Kwadratowa macierz reprezentuje operator liniowy na przestrzeni euklidesowej gdzie jest wymiarem macierzy. Ponieważ taka przestrzeń jest skończenie wymiarowa, operator ten jest faktycznie ograniczony[potrzebny przypis].

Korzystanie z narzędzi holomorficznego rachunku funkcyjnego, biorąc pod uwagę funkcję holomorficzną określoną na zbiorze otwartym w płaszczyźnie zespolonej i ograniczony operator liniowy można obliczyć tak długo, jak jest określona na Widmie

Funkcja może być zdefiniowana w dowolnym prostym połączonym zbiorze otwartym w płaszczyźnie zespolonej nie zawierającej początku i jest holomorficzny w takiej domenie. Oznacza to, że można określić pod warunkiem, że widmo nie zawiera początku i istnieje ścieżka począwszy od środka do nieskończoności nie przekraczająca spektrum (na przykład, w przypadku widma z którym jest koło z początkiem wewnątrz koła, jest możliwe określenie ).

Powracając do konkretnego przypadku przestrzeni euklidesowej, widmo operatora liniowego na tej przestrzeni jest zbiorem wartości jej własnych macierzy i jest skończonym zbiorem. Dopóki początek nie jest w widmie (matryca jest odwracalna), jedna macierz wyraźnie spełnia warunek z poprzedniego paragrafu, a w związku z tym oznacza, że teoria jest dobrze zdefiniowana. Brak wyjątkowości logarytmu matrycy, wynika z faktu, że można wybrać więcej niż jedną gałąź logarytmu, która jest zdefiniowana w zbiorze wartości własnych macierzy[potrzebny przypis].

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]
  • Gantmacher, Felix R.(1959) Teoria matryc 1, Nowy York, Chelsea, s. 239–241.
  • Culver, Walter J. (1966), O istnieniu i unikatowości rzeczywistych logarytmów macierzy, „Proceedings of the American Mathematical Society” 17 (5): s. 1146–1151, doi:10.1090/S0002-9939-1966-0202740-6, ISSN 0002-9939.
  • Higham, Nicholas (2008), Functions of Matrices. Theory and Computation, SIAM, ISBN 978-0-89871-646-7.
  • Engo, Kenth (June 2001), On the BCH-formula in so(3), „BIT Numerical Mathematics” 41 (3): 629-632, doi: 10.1023/A:1021979515229, ISSN 0006-3835.