Lok Agnesi

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Krzywa zwana lokiem Agnesi była badana przez Guido Grandiego, który, opisując ją, używał włoskiego wyrazu versorio, co znaczy „mający możliwość ruchu w dowolnym kierunku”. Funkcjonuje też druga nazwa czarownica Agnesi. To określenie jest być może wynikiem błędnego tłumaczenia – w połowie XVIII wieku Maria Agnesi błędnie myślała, że Grandi używał włoskiego słowa versiera, oznaczającego „żona diabła” lub „czarownica[1].

Aby skonstruować krzywą:

  1. Wykreśl okrąg o środku w punkcie i o promieniu .
  2. Z początku układu współrzędnych poprowadź prostą przecinającą w punkcie ten okrąg.
  3. Znajdź punkt przecięcia tej prostej z prostą o równaniu .
  4. Znajdź punkt przecięcia prostej pionowej przechodzącej przez i prostej poziomej przechodzącej przez .
  5. Otrzymany punkt leży na krzywej zwanej czarownicą.
Lok Agnesi

Niech t oznacza kąt pomiędzy osią pionową i prostą przechodzącą przez punkty i ; gdzie to promień okręgu.

Krzywą możemy opisać równaniem

dla

lub parametrycznie

.

Wykres ma asymptotę o równaniu

,

maksimum w punkcie :

promień krzywizny w tym punkcie wynosi

.

Pole powierzchni ograniczonej wykresem i asymptotą krzywej jest równe

.

Lok Agnesi jest szczególnym przypadkiem krzywej Breita-Wignera, opisywanej równaniem

dla .

Przypisy

  1. John Oprea, Geometria różniczkowa i jej zastosowania, PWN, Warszawa 2002