Macierz Hurwitza

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Macierz Hurwitzakwadratowa macierz rzeczywista, będąca strukturą składająca się ze współczynników rzeczywistego wielomianu. Nazwa pochodzi od nazwiska niemieckiego matematyka Adolfa Hurwitza.

Definicja formalna[edytuj | edytuj kod]

Dla danego rzeczywistego wielomianu:

macierz kwadratowa o wymiarach

nazywa się macierzą Hurwitza odpowiadającą wielomianowi .

Kryterium stabilności Hurwitza[edytuj | edytuj kod]

W 1895 roku Adolf Hurwitz ustalił, że wielomian rzeczywisty jest stabilny (to znaczy wszystkie jego pierwiastki leżą w otwartej lewej półpłaszczyźnie płaszczyzny zespolonej) wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wiodące główne minory macierzy są dodatnie:

i tak dalej.

Stabilne macierze Hurwitza[edytuj | edytuj kod]

W inżynierii i w teorii stabilności, macierz kwadratowa nazywa się macierzą stabilną (lub czasem macierzą Hurwitza), jeśli każda wartość własna macierzy ma ściśle ujemne części rzeczywiste, to znaczy:

dla każdej wartości własnej .

nazywana jest też macierzą stabilności, gdyż wówczas równanie różniczkowe zwyczajne

jest stabilne asympotycznie, to znaczy , gdy

Jeśli jest transmitancją operatorową (o wartościach macierzowych) to nazywa się transmitancją Hurwitza, jeśli bieguny wszystkich elementów mają ujemne części rzeczywiste. Należy przy tym pamiętać, że nie jest konieczne, aby dla danego argumentu była transmitancją Hurwitza, nie musi nawet być kwadratowa. Występuje jednak związek, że jeśli jest macierzą Hurwitza, to układ dynamiczny ma transmitancję Hurwitza.

Dowolny hiperboliczny punkt stały (lub punkt równowagi) ciągłego układu dynamicznego jest lokalnie asympotycznie stabilny wtedy i tylko wtedy, jeśli Jacobian układu dynamicznego jest w punkcie stałym stabilny w sensie Hurwitza.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]