Macierz Jacobiego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Macierz Jacobiegomacierz zbudowana z pochodnych cząstkowych (pierwszego rzędu) funkcji, której składowymi są funkcje rzeczywiste. Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska niemieckiego matematyka Carla Gustawa Jacobiego, który je wprowadził (niezależnie pojęcie to badał Michaił Ostrogradski).

Macierz Jacobiego i jej wyznacznik, nazywany jakobianem, znajdują zastosowanie w teorii funkcji uwikłanych, a także zagadnieniach związanych z zamianą zmiennych w całkach wielokrotnych, gdyż opisują one pochodną Frécheta funkcji wielu zmiennych (przestrzeni euklidesowych) w danym punkcie, o ile pochodna ta istnieje.

Definicja macierzy Jacobiego[edytuj | edytuj kod]

Założenia:

  • podzbiór otwarty przestrzeni euklidesowej
  • funkcja ze zbioru w przestrzeń mająca funkcji składowych ze zbioru na zbiór liczb rzeczywistych, o zmiennych

Jeżeli funkcja ma wszystkie pochodne cząstkowe w punkcie to

(1) macierzą Jacobiego nazywa się macierz, której elementami są funkcje tj. pochodne funkcji po poszczególnych zmiennych mającą postać

tj.

1-szy wiersz tej macierzy stanowią pochodne 1-szej funkcji po poszczególnych zmiennych itd.

(2) Macierz Jacobiego można przedstawić w postaci wektora kolumnowego, którego współrzędnymi są gradienty funkcji tworzących funkcję tzn.

(3) Macierz Jacobiego można również przedstawić jako iloczyn tensorowy operatora nabla i funkcji zapisanej w postaci kolumny, tj.

gdzie – kolumna zawierająca składowe funkcji ( oznacza transpozycję wektora).

Uwaga:

Wartością macierzy Jacobiego funkcji w punkcie nazywa się macierz której elementami są wartościami poszczególnych elementów macierzy Jacobiego, obliczone w punkcie tj.

Definicja jakobianu[edytuj | edytuj kod]

Definicja:

Jakobianem nazywa się wyznacznik (kwadratowej) macierzy Jacobiego.

Jakobian oznacza się symbolami:

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Przykład 1: Jakobian 2 × 2[edytuj | edytuj kod]

Dla funkcji takiej że

jakobian wynosi

Przykład 2: Jakobian nie istnieje[edytuj | edytuj kod]

Dla funkcji o 4 funkcjach składowych tj.

a) macierz Jacobiego ma postać

Przykład ten pokazuje, że macierz Jacobiego nie musi być kwadratowa.

b) Jakobian nie istnieje, ponieważ macierz nie jest kwadratowa.

Przykład 3: Ujemny znak jakobianu[edytuj | edytuj kod]

Dla funkcji o składowych

jakobian ma wartość

Gdy znak jakobianu jest ujemny, to funkcja zmienia orientację (jest tak w otoczeniu punktów, które mają ten sam znak); funkcja jest lokalnie odwracalna dla punktów

Różniczkowy element powierzchni[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie o całce po powierzchni[edytuj | edytuj kod]

Element powierzchni w starych współrzędnych = element powierzchni w nowych współrzędnych * moduł jakobianu przejścia od nowych do starych współrzędnych.

Przykład: Transformacja współrzędnych biegunowych na kartezjańskie[edytuj | edytuj kod]

Transformacja ze współrzędnych biegunowych do kartezjańskich dana jest z pomocą funkcji o 2 funkcjach składowych

a) Macierz Jacobiego ma postać

b) Jakobian

c) Różniczkowy element powierzchni

Jakobianu można użyć do zamiany zmiennych całkowania z układu kartezjańskiego na biegunowy, np.

Różniczkowy element objętości[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie o całce po objętości[edytuj | edytuj kod]

Element objętości w starych współrzędnych = element objętości w nowych współrzędnych * moduł jakobianu przejścia od nowych do starych współrzędnych.

Przykład: Transformacja współrzędnych sferycznych na kartezjańskie[edytuj | edytuj kod]

Przejście ze współrzędnych sferycznych na kartezjańskie dane jest za pomocą funkcji o 3 funkcjach składowych

a) Macierz Jacobiego ma postać

b) Wyznacznik tej macierzy wynosi

Widać, że jakobian zmienia się w zależności od współrzędnych

c) Różniczkowy element objętości

W układzie kartezjańskim element różniczkowy objętości ma postać

Przechodząc do układu współrzędnych sferycznych różniczkowy element objętości nie zmieni się, jeżeli pomnoży się go przez jakobian, tj.

Np. wykonując całkowanie funkcji przy zamianie zmiennych na współrzędne sferyczne należy

  • zmienne wyrazić przez zmienne
  • element objętości wyrazić przez równy mu element

Związek macierzy Jacobiego z pochodną Frécheta[edytuj | edytuj kod]

(1) Jeśli funkcja jest różniczkowalna w danym punkcie, to jej pochodna dana jest za pomocą macierzy Jacobiego. Dokładniej, jeżeli funkcja jest różniczkowalna (w sensie Frécheta) w punkcie to macierzą przekształcenia liniowego, którym jest jej pochodna Frécheta jest macierz Jacobiego funkcji w punkcie

(2) Macierz Jacobiego jest kwadratowa, gdy pochodna jest endomorfizmem; jeśli jest odwracalna (jej wyznacznik jest odwracalny), to pochodna jest izomorfizmem. Więcej: niezdegenerowanie jakobianu gwarantuje, że funkcja jest różniczkowalna w sensie Frécheta w sposób ciągły (tzn. pochodna jest ciągła) – mówi się wtedy, że jest ona klasy

(3) Funkcja nie musi być różniczkowalna (w sensie Frécheta) w punkcie by macierz Jacobiego była określona – wymaga się jedynie istnienia pochodnych cząstkowych funkcji w punkcie Oznacza to, że funkcja jest różniczkowalna co najwyżej w dowolnym kierunku, tzn. w sensie Gâteaux, czyli dla dowolnego istnieją pochodne

(4) Gradient, jak i macierz Jacobiego można traktować jak „pierwsze pochodne” funkcji:

  • macierz Jacobiego jest pierwszą pochodną funkcji wektorowej wielu zmiennych
  • gradient jest pochodną funkcji skalarnej wielu zmiennych (gradient można uważać za szczególny przypadek macierzy Jacobiego)

(5) Macierz Jacobiego gradientu nazywana jest macierzą Hessego (hesjan) – jest to w pewnym sensie „druga pochodna” funkcji skalarnej wielu zmiennych.

Macierz Jacobiego jako macierz przekształcenia liniowego[edytuj | edytuj kod]

Macierz Jacobiego ma wszystkie własności macierzy przekształceń liniowych. W szczególności dla funkcji różniczkowalnej w sensie Frécheta za pomocą macierzy Jacobiego można wyrazić takie własności jak twierdzenie o funkcji odwrotnej, czy twierdzenie o funkcji uwikłanej.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]