Macierz Jacobiego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Macierz Jacobiegomacierz zbudowana z pochodnych cząstkowych (pierwszego rzędu) funkcji, której składowymi są funkcje rzeczywiste. Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska niemieckiego matematyka Carla Gustawa Jacobiego, który je wprowadził (niezależnie pojęcie to badał Michaił Ostrogradski).

Macierz Jacobiego i jej wyznacznik, nazywany jakobianem, znajdują zastosowanie w teorii funkcji uwikłanych, a także zagadnieniach związanych z zamianą zmiennych w całkach wielokrotnych, gdyż opisują one pochodną Frécheta funkcji wielu zmiennych (przestrzeni euklidesowych) w danym punkcie, o ile istnieje.

Definicja[edytuj]

Niech oznacza otwarty podzbiór przestrzeni euklidesowej Niech ponadto dana będzie funkcja zbioru w przestrzeń której składowych stanowią funkcje zbioru o wartościach rzeczywistych. Jeżeli funkcja ma wszystkie pochodne cząstkowe w punkcie to macierzą Jacobiego funkcji w punkcie nazywa się macierz daną wzorem

Obok zależnej od punktu macierzy można rozpatrywać macierz postaci

Jeśli to macierz jest kwadratowa. Wówczas można rozpatrywać wyznacznik macierzy Jacobiego, który nazywa się wtedy jakobianem i oznacza lub bądź mniej standardowo:

Macierz Jacobiego można postrzegać jako wektor gradientów funkcji składowych funkcji tzn.

Macierz Jacobiego można również przedstawić jako transpozycję iloczynu tensorowego operatora nabla i funkcji  :

Związek z pochodnymi[edytuj]

Jeśli funkcja jest różniczkowalna w danym punkcie, to jej pochodna dana jest w pewnych współrzędnych za pomocą macierzy Jacobiego. Dokładniej, jeżeli funkcja jest różniczkowalna (w sensie Frécheta) w punkcie to macierzą przekształcenia liniowego, którym jest jej pochodna Frécheta jest macierz Jacobiego funkcji w punkcie

Macierz Jacobiego jest kwadratowa, gdy pochodna jest endomorfizmem; jeśli jest odwracalna (jej wyznacznik jest odwracalny), to pochodna jest izomorfizmem. Więcej: niezdegenerowanie jakobianu gwarantuje, że funkcja jest różniczkowalna w sensie Frécheta w sposób ciągły (tzn. pochodna jest ciągła) – mówi się wtedy, że jest ona klasy

Mimo wszystko funkcja nie musi być różniczkowalna (w sensie Frécheta) w punkcie by macierz Jacobiego była określona – wymaga się jedynie istnienia pochodnych cząstkowych funkcji w punkcie Oznacza to, że funkcja jest różniczkowalna co najwyżej w dowolnym kierunku, tzn. w sensie Gâteaux, czyli dla dowolnego istnieją pochodne .

Powyższe obserwacje uzasadniają, iż w pewnym sensie tak gradient, jak i macierz Jacobiego można traktować jak „pierwsze pochodne” – gradient jest pochodną funkcji skalarnej wielu zmiennych, a macierz Jacobiego to pierwsza pochodna funkcji wektorowej wielu zmiennych. W ten sposób w ogólności gradient można uważać za szczególny przypadek macierzy Jacobiego.

Macierz Jacobiego gradientu nosi własną nazwę: macierz Hessego (hesjan), która jest w pewnym sensie „drugą pochodną” danej funkcji skalarnej wielu zmiennych.

Własności[edytuj]

Macierz Jacobiego ma wszystkie własności macierzy związanych z przekształceniami liniowymi. W szczególności dla funkcji różniczkowalnej w sensie Frécheta za pomocą macierzy Jacobiego można wyrazić takie własności jak twierdzenie o funkcji odwrotnej, czy twierdzenie o funkcji uwikłanej.

Przykłady[edytuj]

Przykład 1.

Niech dane będzie przekształcenie gdzie

Jego jakobian wynosi

Przykład 2.

Dla odwzorowania danego wzorem

jego macierz Jacobiego to

Jakobian nie istnieje, ponieważ macierz nie jest kwadratowa.

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]