Macierz Vandermonde'a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Macierz Vandermonde'a - macierz kwadratowa n x n postaci:

Wyznacznik tej macierzy nazywany jest wyznacznikiem Vandermonde'a i jest wielomianem postaci:

Przykład: Macierz

jest macierzą Vandermonde'a. Jej wyznacznik jest równy

Jednoznaczność wielomianu interpolacyjnego[edytuj]

Macierz Vandermonde'a pozwala udowodnić następujące twierdzenie o jednoznaczności wielomianu interpolacyjnego: Dla dowolnego zbioru różnych punktów: istnieje dokładnie jeden wielomian W(x) o stopniu mniejszym niż n i taki, że dla każdego k yk = W(xk).

Dowód:

Ponieważ punkty są różne, to wyznacznik macierzy Vandermonde'a stworzonej z punktów jest różny od 0, więc macierz jest odwracalna. Niech oznacza tę macierz. Rozwiązanie układu równań:

pozwala na wyliczenie współczynników wielomianu.

Stosując metodę eliminacji Gaussa można rozwiązać ten układ w czasie O(n3). Zastosowanie postaci Lagrange'a wielomianu interpolacyjnego

pozwala na wykonanie tego w czasie O(n2).

Zobacz też[edytuj]