Macierz antyhermitowska

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Macierz antyhermitowskamacierz kwadratowa o elementach zespolonych w której elementy leżące symetrycznie względem głównej przekątnej są wzajemnie zminusowanym sprzężeniem:

Symbolicznie można to zapisać jako:

gdzie oznacza sprzężenie hermitowskie macierzy[1][2].

Macierze antyhermitowskie można traktować jako zespolony odpowiednik rzeczywistych macierzy antysymetrycznych lub jako macierzowy odpowiednik liczb urojonych (wraz z zerem)[3].

Macierze antyhermitowskie wymiaru tworzą algebrę Liego która generuje grupę Liego macierzy unitarnych.

Macierze antyhermitowskie o śladzie równym 0 wymiaru tworzą algebrę Liego która generuje grupę Liego specjalnych macierzy unitarnych (tj. macierzy unitarnych o wyznaczniku równym 1).

Pojęcie może zostać uogólnione na przekształcenia liniowe zespolonej przestrzeni wektorowej z normą półtoraliniową.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenia[edytuj | edytuj kod]

  • Wartości własne macierzy antyhermitowskiej są zerami lub liczbami urojonymi.
  • Macierze antyhermitowskie są macierzami normalnymi, stąd są one diagonalizowalne, a ich wektory własne dla różnych wartości własnych muszą być prostopadłe[4][5].
  • Elementy głównej przekątnej macierzy antyhermitowskiej są zerami lub liczbami urojonymi[6].
  • Jeżeli są macierzami antyhermitowskimi, to jest macierzą antyhermitowską dla wszystkich skalarów rzeczywistych[1].
  • Jeżeli jest macierzą antyhermitowską, to zarówno macierze oraz są hermitowskie[1].
  • Jeżeli jest macierzą antyhermitowską, to dla liczby parzystej macierz jest hermitowska, a dla liczby nieparzystej macierz jest antyhermitowska.
  • Macierz jest hermitowska.
  • Macierz jest antyhermitowska.

Wynika stąd, że:

  • komutator macierzy hermitowskiej jest macierzą antyhermitowską, tj.
  • dowolną (kwadratową) macierz można jednoznacznie zapisać jako sumę macierzy hermitowskiej i macierzy antyhermitowskiej [1]
  • Jeżeli macierz jest antyhermitowska, to jest macierzą unitarną (por. eksponenta macierzy).
  • Przestrzeń macierzy antyhermitowskich wymiaru tworzy algebrę Liego grupy macierzy unitarnych
  • Przestrzeń macierzy antyhermitowskich wymiaru bezśladowych (tj. o śladzie równym 0) tworzy algebrę Liego specjalnej grupy macierzy unitarnych

Ogólna postać macierzy antyhermitowskiej. Algebry Liego[edytuj | edytuj kod]

Macierze antyhermitowskie wymiaru mają na przekątnej liczby urojone lub zera, a wyrazy poza przekątną są w ogólności zespolone i takie, że wyrazy leżące symetrycznie względem przekątnej są postaci oraz gdzie liczba sprzężona do liczby

Macierze hermitowskie wymiaru mają więc ogólną postać

gdzie:

  • – jednostka urojona,
  • – sprzężenia zespolone liczb

Macierze te zależą w ogólności od parametrów rzeczywistych i tworzą przestrzeń wektorową – wymiarową. Macierze bezśladowe wymiaru zależą od parametrów (warunek daje jedno dodatkowe równanie, które pozwala obliczyć jeden z parametrów w zależności od pozostałych) i tworzą podprzestrzeń, która jest algebrą Liego Powyższe stwierdzenia omówimy na przykładach.

Macierze antyhermitowskie 2 × 2[edytuj | edytuj kod]

– mają ogólną postać

Widać, że macierze te w ogólności zależą od 4 parametrów i tworzą przestrzeń wektorową 4-wymiarową.

Macierze bezśladowe tworzą podprzestrzeń – wymiarową, która jest algebrą Liego su(2). Bazą tej przestrzeni są np. macierze Pauliego mnożone przez jednostkę urojoną

Macierze antyhermitowskie 3 × 3[edytuj | edytuj kod]

– mają ogólną postać

Macierze te zależą w ogólności od parametrów rzeczywistych (3 liczby na przekątnej, 3 części rzeczywiste i 3 zespolone liczb ) i tworzą przestrzeń wektorową – wymiarową. Macierze bezśladowe wymiaru zależą od parametrów i tworzą podprzestrzeń -wymiarową, która jest algebrą Liego su(3). Generatorami tej algebry są np. macierze Gell-Manna mnożone przez jednostkę urojoną

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]