Macierz jednostkowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.
Macierz ikona.png


Niektóre typy macierzy
Cechy niezależne od bazy:
macierz nieosobliwa
macierz osobliwa
macierz zerowa
macierz nilpotentna
macierz idempotentna

macierz ortogonalna
macierz symetryczna
macierz dodatnio określona
macierz antysymetryczna

macierz unitarna
macierz hermitowska

Cechy zależne od bazy:
macierz jednostkowa
macierz skalarna
macierz diagonalna
macierz trójkątna
macierz schodkowa
macierz klatkowa
macierz wstęgowa

macierz elementarna
macierz rzadka


Operacje na macierzach
operacje elementarne

mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie

mnożenie macierzy
odwracanie macierzy

transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
macierz dopełnień algebraicznych
macierz dołączona

diagonalizacja
postać Jordana


Niezmienniki
rząd macierzy
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
minor macierzy
widmo macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon
Wersory z bazy kanonicznej na płaszczyźnie, reprezentowane przez – macierz jednostkową wymiaru 2

Macierz jednostkowa (identycznościowa, tożsamościowa[1])macierz kwadratowa, której współczynniki są określone wzorami:

Skrótowo: gdzie to symbol Kroneckera[2]. Obrazowo: na głównej przekątnej macierzy jednostkowej są same jedynki, a reszta jest wypełniona zerami.

Macierz jednostkową zwykle oznacza się symbolem Dla podkreślenia stopnia (wymiaru) macierzy pisze się też gdzie jest liczbą naturalną (oznaczającą liczbę wierszy i kolumn). Inne oznaczenia to i [3].

Macierz jednostkowa reprezentuje wersory z bazy standardowej danej skończenie wymiarowej przestrzeni liniowej, np. przestrzeni euklidesowej: Oprócz tego macierz jednostkowa reprezentuje tożsamościowe odwzorowanie liniowe[4].

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Własności[edytuj | edytuj kod]

Własności układu wektorów[edytuj | edytuj kod]

  • Macierz jednostkowa wymiaru ma rząd równy ponieważ parami różne wersory (jej kolumny) są liniowo niezależne. [1][2]. To samo dotyczy każdej innej niezerowej macierzy skalarnej i każdej innej macierzy diagonalnej niezawierającej zer na głównej przekątnej.
  • Jej wyznacznik jest równy 1. Jeśli wyznacznik jest zdefiniowany geometrycznie (zorientowana miara układu wektorów, np. zorientowane pole równoległoboku lub zorientowana objętość równoległościanu), to wynika to wprost z definicji. Jeśli wyznacznik jest definiowany aksjomatycznie (zwłaszcza nad ciałami innymi niż liczby rzeczywiste), to wartość 1 dla macierzy jednostkowej jest jednym z aksjomatów (jedną z definiujących cech)[5].

Własności odwzorowania liniowego[edytuj | edytuj kod]

Własności ogólne

  • Macierz jednostkowa reprezentuje identyczność[4], dlatego przemnożenie jej przez dowolny wektor (kolumnowy) daje ten sam wektor.
To samo dotyczy wektorów wierszowych (kowektorów).
  • Obrazem odwzorowania tożsamościowego jest cała przestrzeń, a jądremwektor zerowy. Innymi słowy jądro jest trywialne.

Własności mnożenia

  • Macierze można mnożyć nie tylko przez wektory (kolumny) i kowektory (wiersze). Mnożenie macierzy odpowiada składaniu odwzorowań liniowych. Iloczyn (lewo- lub prawostronny) dowolnej macierzy kwadratowej przez macierz jednostkową daje w wyniku tę pierwszą: [2].
Macierz jednostkowa jest zatem elementem neutralnym pierścienia macierzy określonego stopnia. Równoważnie: reprezentuje jedynkę pierścienia endomorfizmów danej przestrzeni liniowej. Jest też jedynką pełnej grupy liniowej i jej wszystkich podgrup.
Bycie elementem neutralnym mnożenia można też przyjąć za definicję macierzy jednostkowej. Odpowiednie równania jednoznacznie wyznaczają jej elementy[potrzebny przypis].
  • W szczególności: macierz jednostkowa jako identyczność komutuje ze wszystkimi elementami odpowiednich pierścieni i grup[2]. dla pierścieni oraz dla grup, gdzie jest kwadratową macierzą zerową.
  • Jako element neutralny mnożenia (składania) jest równa swojej macierzy odwrotnej: Innymi słowy jest przykładem inwolucji. Odwracanie jest możliwe, ponieważ spełnione są 3 równoważne warunki: rząd jest maksymalny wyznacznik jest niezerowy, a jądro jest trywialne.
  • Jako element neutralny jest mnożenia (składania) równa swojemu kwadratowi i przez to wszystkim swoim potęgom (iteracjom): Innymi słowy jest idempotentna, czyli jest rzutem. W połączeniu z poprzednim faktem (inwolutywnością): wszystkie iteracje całkowite (nie tylko naturalne) są identyczne. Podany wzór zachodzi dla dowolnego wykładnika całkowitego
  • Powyższa własność bardzo upraszcza obliczanie wielomianów od macierzy. podobnie jak dla każdego rzutu (idempotentu). To uproszczenie rozciąga się również na nieskończone szeregi potęgowe, np. szereg Taylora. Dzięki nim można definiować różne funkcje na macierzach, m.in. eksponens. Zachodzi – wynikiem funkcji jest zwykłe przeskalowanie. Podobnie jest dla innych rzutów oraz dla macierzy skalarnych, ale przy tych ostatnich – z innym czynnikiem skali.
  • Macierz kwadratową wymiaru można mnożyć nie tylko przez inne macierze kwadratowe tego samego wymiaru. Aby mnożenie przez inną macierz było wykonalne, potrzeba i wystarcza, aby jeden z wymiarów macierzy wynosił Innymi słowy: dla każdego wykonalne są działania i W szczególności: kiedy ta macierz kwadratowa jest jednostkowa, czyli to taki iloczyn zawsze zwraca pozostałą, niekoniecznie kwadratową macierz:
  • Macierze kwadratowe można pierwiastkować. Pierwiastek kwadratowy z macierzy jednostkowej można oznaczyć przez i zdefiniować równaniem: Dla przypadku 2-wymiarowego to równanie jest spełnione przez macierze postaci:
oraz przez ich transpozycje, dla dowolnych liczb [potrzebny przypis].

Własności diagonalizacji

  • Wektorem własnym odwzorowania tożsamościowego (i przez to macierzy jednostkowej) jest każdy wektor: Odpowiednią przestrzenią własną jest cała rozważana przestrzeń liniowa. Ta sama własność dotyczy wszystkich innych niezerowych macierzy skalarnych. Dla macierzy jednostkowej jedyną wartością własną jest 1 – ta liczba to całe widmo macierzy (spektrum).
  • Macierz jednostkowa jest przez to diagonalizowalna: w sposób dość trywialny, bo jest z definicji diagonalna.
  • Wielomian charakterystyczny macierzy jednostkowej jest dość prosty, ponieważ ma tylko jeden pierwiastek (równy 1). Jego krotność jest równa wymiarowi rozważanej przestrzeni i macierzy. [a]. Wielomian minimalny to w tym wypadku funkcja liniowa: Analogicznie jest dla każdej niezerowej macierzy skalarnej.
  • Ślad macierzy jednostkowej (i odwzorowania tożsamościowego) jest równy wymiarowi przestrzeni oraz macierzy.

Własności związane z iloczynami skalarnymi[edytuj | edytuj kod]

  • Macierz jednostkowa jest macierzą symetryczną, czyli równą swojej transpozycji: Odpowiadające jej przekształcenie tożsamościowe jest reprezentowane przez tę samą macierz co jego odwzorowanie dualne: Zachodzi tożsamość gdzie to iloczyn skalarny, a to wektory odpowiedniej przestrzeni.
  • Jako macierz symetryczna ma same rzeczywiste wartości własne, które wspomniano wyżej (równe 1). Jest macierzą dodatnio określoną – jej wartości własne są dodatnie, a zadana forma kwadratowa jest dodatnio określona. Jest nią zwykły kwadrat modułu wektora. Zadaną formą dwuliniową, symetryczną i dodatnio określoną jest „zwykły” euklidesowy iloczyn skalarny.
  • Jako macierz symetryczna (nad ciałem liczb rzeczywistych) jest też automatycznie hermitowska nad ciałem liczb zespolonych, w kontekście półtoraliniowego iloczynu skalarnego.
  • Jako macierz diagonalna spełnia warunki antysymetrii dla wyrazów pozadiagonalnych: Mimo to nie jest macierzą antysymetryczną, bo jej wyrazy diagonalne są niezerowe:
  • Macierz jednostkowa jest jednocześnie ortogonalna: jej kolumny (oraz wiersze) są parami ortogonalne (prostopadłe), a w dodatku tworzą układ ortonormalny: Jej macierz odwrotna jest równa transpozycji: Zachowuje rzeczywisty iloczyn skalarny:
  • Jako macierz ortogonalna jest też automatycznie unitarna. Półtoraliniowy zespolony iloczyn skalarny również jest zachowany.

Uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

Macierz jednostkowa jest szczególnym przypadkiem macierzy skalarnej, a przez to: macierzy diagonalnej[3]:

Przez to jest też szczególnym przypadkiem macierzy trójkątnej i macierzy schodkowej. Niezależnie od tego, jako macierzy diagonalna jest szczególnym przykładem macierzy wstęgowej i ma postać kanoniczną Jordana. Można ją też zaliczać do macierzy operacji elementarnych.

Jedynki i zera w macierzy jednostkowej nie muszą być koniecznie liczbami całkowitymi. To wyróżnione elementy ciała nad którym zdefiniowano macierz i odpowiednią przestrzeń liniową do której należą kolumny i wiersze macierzy. Przykładowo 1 i 0 mogą oznaczać funkcje stałe lub reszty z dzielenia (elementy ciał skończonych). Przestrzenie liniowe nad ciałami uogólniają się na moduły nad pierścieniami z jedynką, dlatego elementy macierzy jednostkowej mogą należeć do odpowiedniego pierścienia.

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  1. Wielomian można zapisać w innej postaci dzięki dwumianowi Newtona:

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b Birkhoff i Mac Lane 1963 ↓, roz. VII, § 6, s. 189–190.
  2. a b c d Kostrikin 2011 ↓, roz. 2, § 3, s. 74.
  3. a b Kostrikin 2011 ↓, roz. 1, § 3, s. 10.
  4. a b Birkhoff i Mac Lane 1963 ↓, roz. VIII, § 3, s. 228.
  5. Kostrikin 2011 ↓, roz. 3, § 4, s. 118–119.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Rozdział VII. Wektory i przestrzenie wektorowe, § 6. Kryteria zależności liniowej,
Rozdział VIII. Algebra macierzy, § 3. Mnożenie macierzy.
Rozdział I. Początki algebry, § 3. Układy równań liniowych. Pierwsze kroki,
Rozdział II. Macierze, § 3. Przekształcenia liniowe. Działania na macierzach,
Rozdział III. Wyznaczniki, § 4. Uwagi o konstrukcji teorii wyznaczników.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]