Macierze Pauliego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Macierzami Pauliego nazywamy zbiór zespolonych macierzy hermitowskich wymiaru 2×2 wprowadzonych przez Wolfganga Pauliego w związku z pojęciem spinu w mechanice kwantowej dlatego można się spotkać też z nazwami "Spinowe macierze Pauliego" lub "Macierze spinowe Pauliego".

Wyglądają one następująco:

W fizyce niekiedy używa się oznaczeń , i .

W literaturze używa się również macierzy σ0, która jest zwykłą macierzą identyczności

Macierze Pauliego wraz z macierzą jednostkową wymiaru 2×2 tworzą bazę, w rozumieniu Hilberta–Schmidta, w zespolonej przestrzeni Hilberta macierzy zespolonych wymiaru 2×2 oraz w rzeczywistej przestrzeni Hilberta zespolonych macierzy Hermitowskich o wymiarze 2x2.

Wyznaczniki i ślady macierzy Pauliego spełniają równania:

gdzie i=1,2,3. Macierze Pauliego spełniają następujące relacje komutacji oraz antykomutacji:

gdzie εijk jest symbolem Leviego-Civity, a δij jest deltą Kroneckera.

Niektóre z innych własności macierzy Pauliego:

W ostatnim wzorze jest wektorem trójwymiarowym długości 1: , a


Właściwości algebraiczne[edytuj]

gdzie I jest macierz jednostkową, czyli inwolucją.

Z powyższych równań możemy wywnioskować, że wartości własne dla każdego σi wynoszą ±1.

Wartości i operatory własne[edytuj]

Każda z macierzy Pauliego ma dwie wartości własne, +1 i −1. Znormalizowane funkcje falowe wektorów własnych są następujące:

Wektor Pauliego[edytuj]

Wektor Pauliego zdefiniowany jest jako

i zapewnia odwzorowanie mechanizmu z wektora bazowego do bazy macierzy Pauliego

Relacje komutacji[edytuj]

Macierze Pauliego podlegają następującym relacjom komutacji i antykomutacji:

gdzie jest symbolem Leviego-Civity, - deltą Kroneckera, a I macierzą jednostkową.

Pomiędzy powyższymi relacjami zachodzi równość:

.

Na przykład:

Ostatecznie wynik relacji komutacji może być użyty do dowodu:

(tak długo jak wektory a i b komutują z macierzami Pauliego)

oraz

dla .

Informatyka kwantowa[edytuj]

Macierze Pauliego mają wielkie znaczenie w informatyce kwantowej. Wykorzystywane są jako bramki jednokubitowe. Oznacza się je zwyczajowo jako  kolejno dla .


Zobacz też[edytuj]