Macierze Pauliego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Wolfgang Pauli (1900–1958)

Macierze Pauliego (spinowe macierze Pauliego) - zbiór 3 zespolonych macierzy hermitowskich wymiaru 2×2 wprowadzony w 1927 roku przez Wolfganga Pauliego w celu opis spinu elektronu w mechanice kwantowej:[1]

,
,
.

W fizyce niekiedy używa się oznaczeń i

Czasem używa się również symbolu σ0 na oznaczenie macierzy jednostkowej wymiaru , choć najczęściej macierz jednostkową oznacza się symbolem , tj.

.

Macierze Pauliego wraz z macierzą jednostkową tworzą bazę, w rozumieniu Hilberta–Schmidta,

Właściwości algebraiczne[edytuj | edytuj kod]

Niech oznacza macierz jednostkową.

(1) Wyznaczniki i ślady macierzy Pauliego spełniają równania:

gdzie

(2) Iloczyny macierzy Pauliego

a) Obliczając iloczyny macierzy Pauliego otrzyma się:

itd.

b) Ogólnie mamy:

gdzie

(3) Z powyższych wzorów wynikają relacje komutacji oraz antykomutacji, np.

gdzie komutator i antykomutator zdefiniowane są następująco:

Ogólnie mamy:

gdzie:

(4) Inna własność macierzy Pauliego:

Wartości i wektory własne[edytuj | edytuj kod]

(1) Każda z macierzy Pauliego ma dwie wartości własne, +1 i −1.

(2) Wektory własne macierzy Pauliego (znormalizowane do 1):

- dla macierzy :

- dla macierzy :

- dla macierzy :

Wektor macierzy Pauliego. Iloczyn skalarny[edytuj | edytuj kod]

(1) Wektor macierzy Pauliego zdefiniowany jest następująco:

gdzie - wersory osi układu współrzędnych kartezjańskich.

(2) Niech dany będzie wektor taki że

Wtedy iloczyn skalarny wektora macierzy Pauliego przez wektor ma postać:

(3) Tw. Dowolny wektor komutuje z wektorem macierzy Pauliego, gdyż mnożenie macierzy przez liczbę zawsze jest przemienne, np.

.

Twierdzenia[edytuj | edytuj kod]

oraz

gdzie:

  • - wektor jednostkowy skierowany w dowolnym kierunku.

Informatyka kwantowa[edytuj | edytuj kod]

Macierze Pauliego mają wielkie znaczenie w informatyce kwantowej. Wykorzystywane są jako bramki jednokubitowe. Oznacza się je zwyczajowo jako kolejno dla

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Inne:

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Wolfgang Pauli „Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons”, Zeitschrift für Physik, Bd.43, 1927, S. 601.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]