Macierze podobne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Macierze podobnemacierze kwadratowe stopnia nad ciałem spełniające równość dla pewnej macierzy nieosobliwej[1].

Relację podobieństwa macierzy oznacza się symbolem Podobieństwo macierzy zapisuje się: [1].

Relacja podobieństwa macierzy jest relacją równoważności[2], ponieważ jest:

  • zwrotna: ponieważ gdzie to macierz identycznościowa;
  • symetryczna:
  • przechodnia: [3].

Własności[edytuj | edytuj kod]

Macierz nazywa się podobną do macierzy jeżeli istnieje taka macierz nieosobliwa że Mówi się, że macierz powstaje z macierzy za pomocą przekształcenia zwanego podobieństwem. Przekształcenie to ma następujące własności[4]:

W szczególności i ogólnie dla dowolnego wielomianu

Z ostatniej własności wynika, że

  • macierze podobne mają jednakowe wielomiany charakterystyczne ponieważ

Wartości i wektory własne[edytuj | edytuj kod]

Macierze podobne i mają jednakowe wielomiany charakterystyczne i dlatego mają także jednakowe widma wartości własnych. Geometryczny sens tej zależności wynika z faktu, że macierze te reprezentują jedno i to samo przekształcenie odniesione do różnych baz. Dlatego wektory własne macierzy podobnych są kolumnami utworzonymi ze współrzędnych wektorów własnych danego przekształcenia w różnych bazach i wobec tego zachodzi między nimi związek

gdzie jest macierzą przekształcenia współrzędnych. Związek ten wynika z równań

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7; s. 88, Definicja 5.9.
  2. Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7; s. 88, Lemat 5.16.
  3. Andrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7; s. 88, Lemat 5.16 – dowód.
  4. W.N. Faddiejewa, Metody numeryczne algebry liniowej, PWN, Warszawa 1955.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]