Ekstremum

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Maksimum lokalne)
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ekstrema lokalne funkcji zaznaczone kolorem niebieskim (właściwe maksimum lokalne) i czerwonym (właściwe minimum lokalne)

Ekstremum (l. mn. ekstrema; z łac. extrēmum – koniec) – maksymalna lub minimalna wartość funkcji.

  • Funkcja przyjmuje w punkcie maksimum lokalne (odpowiednio: minimum lokalne), jeśli w pewnym otwartym[1] otoczeniu tego punktu (np. w pewnym przedziale otwartym) funkcja nigdzie nie ma wartości większych (odpowiednio: mniejszych).
  • Jeśli dodatkowo w pewnym otwartym sąsiedztwie punktu funkcja nie ma również wartości równych to jest to maksimum (odpowiednio: minimum) lokalne właściwe.
  • Minima i maksima lokalne są zbiorczo nazywane ekstremami lokalnymi.
  • Największa i najmniejsza wartość funkcji w całej dziedzinie nazywane są odpowiednio maksimum i minimum globalnym, a zbiorczo ekstremami globalnymi.

Obrazowo: Na powierzchni Ziemi maksimum globalne wysokości nad poziomem morza występuje na szczycie Mount Everestu, maksimum lokalnym jest szczyt każdego pagórka. Jeśli szczyt pagórka jest poziomy i płaski (a także niekiedy w innych przypadkach[2]), nie będzie to maksimum lokalne właściwe.

Istnieją funkcje nieposiadające ekstremów lokalnych ani globalnych, np. funkcja

Poszukiwanie ekstremów jest ważne w praktycznych zastosowaniach matematyki, na przykład w technice i statystyce. Wiele zagadnień optymalizacyjnych sprowadza się do poszukiwania ekstremów odpowiednich funkcji, jak na przykład funkcji kosztu, albo miary jakości dla różnych parametrów danego urządzenia.

Teoria ekstremów w naturalny sposób ma silny związek z teorią nierówności: wiele problemów i twierdzeń można formułować równoważnie zarówno w języku ekstremów, jak i nierówności, co rzuca światło na obie te dziedziny.

Funkcje, dla których można rozważać ekstrema[edytuj]

Funkcja jako przyporządkowanie

W matematyce wartością funkcji nie musi być koniecznie liczba – funkcją jest dowolne przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru zwanego dziedziną po jednym elemencie zbioru zwanego przeciwdziedziną. Funkcją jest więc również przyporządkowanie każdemu łysemu aktorowi Teatru Wielkiego koloru włosów jego ulubionej peruki.

Pojęcie ekstremum wymaga, by wartości funkcji dało się ze sobą porównywać – w przeciwdziedzinie funkcji powinien być zatem zdefiniowany jakiś porządek. Zbiór uporządkowany, i to liniowo, tworzą np. liczby rzeczywiste. Nie ma natomiast powszechnie przyjętego uporządkowania kolorów, zwłaszcza porządku liniowego.

W przypadku ekstremum lokalnego konieczne jest ponadto sprecyzowanie pojęcia „lokalności”. Dokonuje się to przez określenie dla każdego argumentu funkcji, które punkty z jej dziedziny są mu „bliskie”. Formalizując to podejście, określamy w każdym punkcie dziedziny funkcji tak zwaną bazę otoczeń punktu. Dla liczby rzeczywistej otoczeniem jest np. przedział otwarty, zawierający tę liczbę. Ogólnie, zbiór z systemem otoczeń, spełniającym pewne naturalne warunki tworzy tzw. przestrzeń topologiczną.

O ekstremach lokalnych można zatem mówić w przypadku dowolnej funkcji, której dziedzina jest przestrzenią topologiczną, a przeciwdziedzina zbiorem częściowo uporządkowanym. Ze względu na zastosowania najczęściej rozważa się szczególny przypadek – funkcje rzeczywiste, czyli funkcje o wartościach w liczbach rzeczywistych, których dziedzina jest podzbiorem skończeniewymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Definicje[edytuj]

Funkcja o wartościach w zbiorze uporządkowanym określona na przestrzeni topologicznej ma w punkcie tej przestrzeni:

  • minimum lokalne, jeśli istnieje otoczenie otwarte punktu takie, że dla każdego
więc nie występują w okolicy punktu wartości funkcji mniejsze od (ani nieporównywalne), choć mogą występować wartości równe;
  • maksimum lokalne, gdy istnieje otoczenie otwarte punktu takie, że dla każdego
więc nie występują w okolicy punktu wartości funkcji większe od (ani nieporównywalne), choć mogą występować wartości równe;
  • właściwe minimum lokalne, jeśli w pewnym otoczeniu otwartym punktu funkcja przyjmuje wszędzie, z wyjątkiem tego punktu, wartości większe od , czyli nie ma wartości równych dla formalnie:
dla każdego
  • właściwe maksimum lokalne, jeśli w pewnym otoczeniu otwartym punktu funkcja przyjmuje wszędzie, z wyjątkiem tego punktu, wartości mniejsze od formalnie:
dla każdego

Funkcja o wartościach w zbiorze uporządkowanym[3] ma w punkcie swojej dziedziny:

  • minimum globalne, jeśli dla każdego należącego do jej dziedziny:
  • maksimum globalne, jeśli dla każdego należącego do jej dziedziny:
  • właściwe minimum globalne, jeśli dla każdego należącego do jej dziedziny:
czyli funkcja przyjmuje wszędzie z wyjątkiem punktu wartości większe od
  • właściwe maksimum globalne, jeśli dla każdego należącego do jej dziedziny:
czyli funkcja przyjmuje wszędzie z wyjątkiem punktu wartości mniejsze od

Nie każda funkcja posiada ekstrema. Jeśli funkcja nie jest ograniczona (np. ), to nie ma maksimum ani minimum globalnego – jeżeli nie jest ograniczona od góry, to nie ma maksimum globalnego; a jeżeli od dołu, to nie ma minimum globalnego.

Można też mówić o maksimach i minimach w podzbiorze dziedziny – są to wówczas największe lub najmniejsze wartości funkcji dla argumentów z tego podzbioru.

Funkcje rzeczywiste jednej zmiennej[edytuj]

Proste przykłady ekstremów[edytuj]

Przykład – właściwe minimum lokalne w każdym punkcie dziedziny[edytuj]

Fragment wykresu funkcji mającej właściwe minimum w każdym punkcie swojej dziedziny. Kropki – punkty odpowiadają nieskracalnym ułamkom

Niech funkcja   przyporządkowuje każdej liczbie wymiernej wartość mianownika wyrażającego ją ułamka skróconego. Formalnie:

gdzie NWD oznacza największy wspólny dzielnik.

Dla dowolnego wymiernego   istnieje otoczenie otwarte, w którym wszystkie inne liczby wymierne mają większy mianownik, a więc większą wartość funkcji  [4]. A zatem funkcja ta ma dla każdej liczby wymiernej (czyli dla każdego punktu swojej dziedziny) właściwe minimum lokalne.

Warunek wystarczający ekstremum globalnego (twierdzenie Weierstrassa)[edytuj]

Z twierdzenia Weierstrassa wiadomo, że funkcja ciągła o wartościach rzeczywistych, określona na zbiorze zwartym (a więc np. na przedziale domkniętym), osiąga ekstrema globalne. Twierdzenie to jest prawdziwe w pełnej ogólności – a więc nie tylko dla funkcji liczbowych, a dla dowolnych funkcji ciągłych, określonych na zwartych podzbiorach dowolnych przestrzeni topologicznych.

Funkcje różniczkowalne[edytuj]

W dalszej części sekcji rozważane będą funkcje ciągłe oraz różniczkowalne w przedziale Geometrycznie oznacza to, że ich wykres jest „nieprzerwany” i „gładki”, czyli ma w każdym punkcie styczną.

Warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego (twierdzenie Fermata)[edytuj]

Funkcja nie ma dla ekstremum lokalnego, mimo że jej pochodna w tym punkcie jest równa zero

Warunkiem koniecznym istnienia ekstremów lokalnych funkcji w pewnym punkcie jest

Geometrycznie oznacza to, że styczna do wykresu funkcji jest w tym punkcie prostą poziomą. Jest to tzw. twierdzenie Fermata. Udowodnijmy je:

jeśli   ma w punkcie ekstremum lokalne, to istnieje takie  ,  że dla każdej liczby rzeczywistej ,  spełniającej ,  zachodzi:

a więc:

Po przejściu do granicy, dla ,  otrzymujemy:

Zatem .

Warunek Fermata nie jest jednak wystarczający. Np. funkcja nie ma ekstremum, chociaż jej pochodna zeruje się dla Ekstremum może natomiast istnieć w punktach, w których nie istnieje (obustronna) pochodna skończona – funkcja ma na przykład, minimum w punkcie podczas gdy jej pochodna lewostronna w tym punkcie równa się a prawostronna Podobnie funkcja wartość bezwzględna ma w punkcie minimum globalne, chociaż w tym punkcie nie jest różniczkowalna.

Warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum lokalnego[edytuj]

Funkcja ciągła różniczkowalna w przedziale i mająca skończoną liczbę punktów stacjonarnych (tj. takich, w których zeruje się jej pierwsza pochodna)[5] ma w punkcie :

  • minimum lokalne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie że:
    • dla
    • dla
  • maksimum lokalne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie że
    • dla
    • dla

Inne warunki wystarczające istnienia ekstremów[edytuj]

Jeśli o funkcji określonej jak wyżej, założy się dodatkowo, że jest dwukrotnie różniczkowalna w przedziale oraz jej druga pochodna jest ciągła, to jeżeli i to funkcja ma w punkcie ekstremum, przy czym, gdy to jest to maksimum lokalne, a gdy to minimum lokalne[6]. Powyższe kryterium nie rozstrzyga przypadku, gdy druga pochodna jest równa zero.

Kryterium istnienia ekstremów funkcji n-krotnie różniczkowalnych[edytuj]

Jeżeli założy się dodatkowo o funkcji że jest -krotnie razy różniczkowalna i -ta pochodna jest ciągła w to prawdziwe jest następujące twierdzenie:

Jeżeli

tj. wszystkie pochodne do -ej zerują się w punkcie a -ta pochodna jest różna od zera, to

  • gdy jest liczbą parzystą, to ma ekstremum w punkcie przy czym jest to maksimum, gdy lub minimum, gdy
  • gdy jest liczbą nieparzystą, ekstremum nie istnieje.

Z założenia zerowania się pochodnych do można wyprowadzić korzystając ze wzoru Taylora:

dla pewnego

Jeśli jest parzyste, rozumowanie przebiega jak poprzednio. Gdy jest nieparzyste, prawa strona równości zmienia znak, gdy zmienia znak, a funkcja zachowuje w pewnym otoczeniu punktu ten sam znak co Czyli ma dla inny znak niż dla więc nie istnieje ekstremum w punkcie

Proste zagadnienia optymalizacyjne[edytuj]

Siatka prostopadłościennego pudełka wykonana z kwadratu o boku długości

Zagadnienie wyznaczania ekstremów funkcji występuje często w fizyce i technice. Oto przykład:

Pudełko o największej objętości[edytuj]

Problem
Z kwadratowego arkusza blachy o boku wycinane są przy wierzchołkach przystające kwadraty i po zagięciu brzegów tworzone jest prostopadłościenne pudełko. Jak otrzymać pudełko o największej objętości?
Rozwiązanie 1
Jeśli przez oznaczyć długość boku wyciętego kwadratu, to objętość pudełka będzie równa
przy czym
Zadanie sprowadza się do znalezienia ekstremum funkcji w przedziale przy czym wartości krańcowe reprezentują pudełko odpowiednio bez ścianek oraz bez podstawki, a więc o zerowej (minimalnej) objętości.
Pochodna
zeruje się na tym przedziale w punktach oraz (w tym przypadku objętość jest zerowa). Ponieważ funkcja objętości jest dodatnia wewnątrz przedziału, 0 na jego końcach i ma we wnętrzu nie więcej niż jedno ekstremum lokalne, to ma ona dokładnie jedno maksimum, które jest zarazem lokalne i globalne (twierdzenie Rolle’a); osiągane jest ono w . Dlatego największa objętość pudełka wynosi
Rozwiązanie 2
Wielkość gdzie
oraz
są nieujemne, przyjmuje wartość maksymalną dla tego samego co . Ponieważ
jest stałe i dodatnie, więc stała i dodatnia jest też średnia arytmetyczna nieujemnych liczb
jest natomiast sześcianem ich średniej geometrycznej. Wiadomo, że średnia geometryczna liczb nieujemnych jest zawsze mniejsza lub równa od arytmetycznej, przy czym równość między tymi średnimi zajdzie tylko, gdy (zob. nierówności między średnimi potęgowymi), czyli gdy
czyli dla
Zatem dla tej właśnie wartości przyjmuje wartość maksymalną:

Koszt eksploatacji statku[edytuj]

Problem
Wiadomo, że koszt eksploatacji statku w ciągu godziny pływania wyraża się wzorem empirycznym gdzie oznacza prędkość statku w węzłach (1 węzeł = 1 Mm/h ≈ 1,85 km/h), natomiast i są stałymi, które powinny być obliczone dla każdego statku z osobna (część stała kosztu pochodzi od amortyzacji i kosztów utrzymania załogi, a część od kosztów paliwa). Przy jakiej prędkości statek przebędzie dowolną odległość z najmniejszymi kosztami?
Rozwiązanie
Przebycie 1 mili morskiej trwa 1/v godziny, więc kosztuje:
Przyrównując pochodną do zera mamy:
skąd
Ponieważ druga pochodna
więc koszty rzeczywiście osiągną najmniejszą wartość dla znalezionej wartości

Funkcje określone na podzbiorach przestrzeni unormowanych[edytuj]

Pewne wyniki związane z istnieniem ekstremów, otrzymane dla funkcji argumentów rzeczywistych, przenoszą się na funkcje określone na podzbiorach przestrzeni unormowanych.

Paraboloida hiperboliczna – w pobliżu początku układu współrzędnych ma ona kształt podobny do siodła (zob. punkt siodłowy)

W dalszej części tego paragrafu przez rozumiana jest dowolna przestrzeń unormowana, zaś przez pewien jej otwarty[7] podzbiór. Funkcja musi być różniczkowalna (w sensie Frécheta) w zbiorze Przez zapis lub rozumie się różniczkę funkcji która jest odwzorowaniem liniowym i ciągłym przestrzeni o wartościach w Pochodna -tego rzędu funkcji (-krotnie różniczkowalnej) jest odwzorowaniem -liniowym przestrzeni o wartościach rzeczywistych i oznaczana jest przez lub

Podobnie jak dla funkcji rzeczywistych, warunkiem koniecznym istnienia ekstremum w punkcie jest, aby wartość funkcji będącej różniczką w wynosiła zero dla wszystkich punktów w pewnym otoczeniu (). Punkt, w którym różniczka się zeruje (jest funkcją stale równą zero w pewnym otoczeniu ), nazywany jest punktem stacjonarnym.

Tak jak w przypadku funkcji jednej zmiennej, w punkcie stacjonarnym wcale nie musi być ekstremum. Na przykład dla funkcji danej wzorem której wykresem jest paraboloida hiperboliczna, pochodne cząstkowe są jednocześnie równe zeru[8] tylko w punkcie w którym Jednocześnie widać (por. rysunek obok), że w dowolnym otoczeniu zera funkcja przybiera zarówno wartości dodanie, jak i ujemne, a więc nie może być w nim ekstremum.

Definicje pomocnicze[edytuj]

Na potrzeby dalszych twierdzeń, konieczne będzie wprowadzenie kilku definicji:

Funkcjonał dwuliniowy jest nieujemny, niedodatni, dodatni, ujemny jeśli odpowiednio dla wszelkich

Funkcjonał dwuliniowy jest

  • dodatnio określony, jeśli
  • ujemnie określony, jeśli

W szczególności, każda macierz kwadratowa może być interpretowana jako macierz funkcjonału dwuliniowego przestrzeni (por. macierz dodatnio określona). Prawdziwe jest twierdzenie, które mówi, że każdy dodatni (lub ujemny) funkcjonał dwuliniowy tej przestrzeni jest dodatnio określony (ujemnie określony). Do badania dodatniej (ujemnej) określoności macierzy służy kryterium Sylvestera.

Ekstrema a druga pochodna[edytuj]

Jeżeli funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna w pewnym otoczeniu punktu przy czym a pochodna jest ciągła w to

  • jeżeli ma w minimum lokalne, to jest nieujemna,
  • jeżeli ma w maksimum lokalne, to jest niedodatnia.

Warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum[edytuj]

Niech, jak poprzednio, funkcja będzie dwukrotnie różniczkowalna w pewnym otoczeniu punktu przy czym a pochodna jest ciągła w

  • Jeżeli jest dodatnio określona, to ma minimum lokalne właściwe w punkcie
  • Jeżeli jest ujemnie określona, to ma maksimum lokalne właściwe w punkcie

Funkcje określone na podzbiorach płaszczyzny[edytuj]

Ważnym przypadkiem są funkcje określone na podzbiorach Przypadek ten zasługuje na wyróżnienie ponieważ funkcje tego typu szczególnie często pojawiają się w zastosowaniach. Korzystając z własności pochodnych cząstkowych takich funkcji można podać następujący algorytm badania istnienia ekstremów funkcji gdzie jest otwartym podzbiorem płaszczyzny. O funkcji wiadomo, że jest dwukrotnie różniczkowalna i jej druga pochodna jest ciągła.

  1. Wyznaczamy wszystkie punkty takie, że pochodne cząstkowe

    (rozwiązując ten układ równań)[9]
  2. Dla każdego punktu z osobna badamy znak wyznacznika Hessego



    Na mocy lematu Schwarza więc

  3. Jeżeli w danym punkcie wyznacznik to w tym punkcie nie ma ekstremum, jeśli to w pewnych przypadkach może istnieć ekstremum, a pewnych nie[10]. I ostatecznie, jeżeli to istnieje ekstremum lokalne w tym punkcie, jeśli:
  • co dla jest równoważne to jest to minimum lokalne,
  • co dla jest równoważne to jest to maksimum lokalne.

Przykład[edytuj]

Wykres funkcji z zaznaczonymi ekstremami lokalnymi i punktami siodłowymi

Znaleźć ekstrema funkcji

Obliczamy pierwsze pochodne cząstkowe funkcji i przyrównujemy do zera:

Układ równań ma dokładnie 4 rozwiązania, którymi są punkty

  • i – zatem w tych punktach nie ma ekstremów (na wykresie zaznaczono je na pomarańczowo, są to tzw. punkty siodłowe funkcji ).
  • – w tym punkcie jest minimum lokalne (zaznaczono na czerwono).
  • – w tym punkcie jest maksimum lokalne (zaznaczono na zielono).

Funkcje uwikłane[edytuj]

W tej sekcji rozważane będą ekstrema funkcji dla której nie znamy jednak bezpośredniej zależności od mając jedynie równanie postaci

Podobnie jak w poprzednim przypadku, o funkcji zakładamy, że jest dwukrotnie różniczkowalna w pewnym otwartym podzbiorze oraz jest zbiorem punktów obszaru, w których

Na mocy twierdzenia o funkcji uwikłanej, wzór

gdzie , a w konsekwencji także

pozwala wyznaczyć ekstrema funkcji uwikłanej w równaniu [11]. W tym celu należy wyznaczyć punkty, w których

Dwa ostatnie warunki równoważne są poniższym, tj.

Przykład[edytuj]

Znaleźć ekstrema funkcji określonej równaniem

Ponieważ

tylko gdy więc wstawiając to do równania

otrzymujemy jako jedyne rozwiązania punkty

Ponieważ

oraz

zatem w punkcie druga pochodna

czyli w tym punkcie jest minimum lokalne, natomiast w punkcie

czyli w tym punkcie jest maksimum lokalne funkcji

Rachunek wariacyjny[edytuj]

 Osobny artykuł: Rachunek wariacyjny.
Na czerwono zaznaczono fragment cykloidy – brachistochronę. Punkt materialny stacza się od punktu do punktu w najkrótszym czasie właśnie po tej krzywej.

Ważnymi obiektami matematycznymi są te funkcjonały, które danej funkcji przypisują liczbę rzeczywistą, np. długość łuku jej wykresu. Przestrzeń funkcyjna jest przestrzenią unormowaną, opisywaną w jednej z wcześniejszych sekcji, jednak badanie ekstremów tych funkcjonałów jest szczególnie istotne ze względu na zastosowania w fizyce i technice – przykładowo jeśli funkcja będąca argumentem funkcjonału opisuje kształt śmigła samolotu, a wartości funkcjonału opisują wydajność śmigła, to znalezienie globalnego maksimum jest równoważne wyliczeniu jaki kształt śmigła zapewni największą wydajność.

Badania funkcjonałów zapoczątkował Leonard Euler. Klasycznym problemem, prowadzącym do znalezienia ekstremów pewnego funkcjonału jest zagadnienie brachistochrony, postawione w 1696 przez Jana Bernoulliego w periodyku Acta Eroditorium. Sprowadza się ono do znalezienia takiej krzywej łączącej dwa punkty i aby ciało staczające się po niej od punktu do pokonało tę drogę w najkrótszym czasie[12].

Ekstrema mocne i słabe[edytuj]

Szukając lokalnych ekstremów funkcjonałów konieczne jest zdefiniowanie przestrzeni topologicznej. Najprościej zrobić to konstruując bazę coraz węższych otoczeń wokół każdego punktu dziedziny. Rozsądnie jest przyjąć, że ciąg funkcji należących do coraz węższych otoczeń powinien zbiegać do funkcji odpowiadającej otaczanemu punktowi, jednak nie jest oczywiste, czy także pochodne tych funkcji muszą zbiegać do pochodnej Jeśli przyjmiemy, że tak, to mówimy o tzw. ekstremum mocnym, jeśli natomiast dopuszczamy dowolne wartości pochodnej, o ekstremum słabym. Każde ekstremum mocne jest szczególnym przypadkiem słabego, odwrotnie – niekoniecznie.

Przykład – równania Eulera-Lagrange’a[edytuj]

Rachunek wariacyjny bada ekstrema funkcjonałów, często zadanych w postaci całek. W mechanice klasycznej ważne są równania, pozwalające na znajdowanie torów cząstek jeśli znana jest funkcja (lagranżjan), opisująca ten układ. Równania te zostały wprowadzone w 1750 roku przez Leonharda Eulera oraz Josepha Louisa Lagrange’a i zwane są dziś nazwiskami ich odkrywców. Równania Eulera-Lagrange’a mają ścisły związek z metodami rachunku wariacyjnego.

Formalnie, o funkcji zakłada się, że jest określona na oraz jest dwukrotnie różniczkowalna w sposób ciągły. Dalej, o funkcji

zakłada się, że jest funkcją o wartościach wektorowych, dwukrotnie różniczkowalną w sposób ciągły. W celu wyznaczenia toru cząstki, określa się funkcjonał

Ekstremów tego funkcjonału szuka się w klasie funkcji dwukrotnie różniczkowalnych, przyjmujących na końcach przedziału wartości

Jest to problem z tzw. ustalonym brzegiem. Okazuje się, że funkcje dla których funkcjonał przyjmuje ekstremum, spełniają układ równań różniczkowych cząstkowych, zwanych równaniami Eulera-Lagrange’a, postaci:

gdzie

Ekstrema warunkowe[edytuj]

W matematyce i fizyce zachodzi często potrzeba badania ekstremów funkcji przy pewnych dodatkowych warunkach. Chcąc np. znaleźć odległość punktu od hiperpowierzchni zadanej równaniem należy zbadać minima funkcji

przy warunku dodatkowym

W paragrafie tym podamy ogólną definicję ekstremum warunkowego i ogólne wyniki tej teorii, badanie ekstremów warunkowych funkcji tylko dwóch zmiennych zostanie omówione w następnym ustępie.

Jeśli jest przestrzenią topologiczną, przestrzenią liniową, oraz to mówimy że funkcja ma w punkcie minimum (maksimum) lokalne przy warunku (albo związane zbiorem ), jeśli istnieje otoczenie punktu takie, że względnie dla

Warunek konieczny istnienia ekstremum warunkowego[edytuj]

W dalszym ciągu będziemy zakładali spełnienie założeń twierdzenia Lusternika, tj.

  1. i przestrzeniami Banacha,
  2. jest różniczkowalne w sposób ciągły w pewnym otoczeniu punktu
  3. jest punktem regularnym zbioru , tj. jest suriekcją na
  4. to znaczy jest jądrem
  5. (rozkład przestrzeni na topologiczną sumę prostą).

Niech będzie funkcją określoną na otwartym podzbiorze przestrzeni Banacha o wartościach w oraz niech będzie punktem regularnym zbioru Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie i ma w tym punkcie ekstremum warunkowe, to

dla każdego

W praktyce, często wykorzystywanym faktem do badania ekstremów warunkowych jest tzw. drugie twierdzenie Lusternika, mówiące o tym, że jeżeli spełnione są założenia twierdzenia Lusternika i funkcja określona jak wyżej, jest różniczkowalna w punkcie i ma w tym punkcie ekstremum warunkowe (związane warunkiem ), to istnieje funkcjonał liniowy taki, że

Funkcjonał nazywany jest funkcjonałem Lagrange’a i ma ścisły związek z metodą szukania ekstremów warunkowych, zwaną metodą mnożników Lagrange’a, opisaną dalej.

Warunki wystarczające istnienia ekstremum warunkowego[edytuj]

 Osobny artykuł: mnożniki Lagrange’a.

W dalszym ciągu, podtrzymując powyższe założenia i zakładając dodatkowo, że funkcje i są dwukrotnie różniczkowalne w sposób ciągły w pewnych otoczeniach punktu można sformułować warunek wystarczający istnienia ekstremum warunkowego. Mianowicie, jeżeli istnieje funkcjonał liniowy taki, że

oraz

jest dodatnio (ujemnie) określona dla to funkcja ma w punkcie minimum (maksimum) warunkowe.

Twierdzenie to można udowodnić korzystając z twierdzenia Lusternika i odpowiednio wykorzystując twierdzenia Taylora. Daje się ono łatwo uogólnić na przypadek pochodnych wyższych rzędów – w tym przypadku dodatkowo zakłada się, że odwzorowania i są różniczkowalne razy w sposób ciągły w pewnym otoczeniu punktu Wówczas, jeżeli istnieje funkcjonał taki, że

dla oraz odwzorowanie

jest dodatnio[13] (ujemnie) określona dla to funkcja ma w punkcie minimum (maksimum) warunkowe.

Ekstrema warunkowe w [edytuj]

Badanie ekstremów warunkowych przekształceń dowolnych przestrzeni Banacha jest rzeczą trudną. Już samo spełnienie założeń twierdzenia Lusternika może okazać się niemożliwe, gdyż nie każdą przestrzeń unormowaną da się rozłożyć na topologiczną sumę prostą jej podprzestrzeni[14]. Duża część zagadnień praktycznych sprowadza się do badania ekstremów warunkowych w przypadku gdy a odwzorowanie reprezentowane jest przez układ funkcji o zmiennych, tj.

Szukanie ekstremów warunkowych funkcji będących zarazem punktami regularnymi[15], sprowadza się do rozwiązania układu równań operatorowych

gdzie Wiadomo, że każdy taki funkcjonał jest reprezentowany przez układ liczb rzeczywistych a pochodna jest macierzą wymiaru rzędu [15]. Układ równań operatorowych sprowadza się więc do układu równań skalarnych:

gdzie o zmiennych Wszystkie punkty, w których funkcja może przyjmować ekstrema warunkowe, należą do zbioru rozwiązań tego układu równań. Liczby spełniają tylko rolę pomocniczą i nazywane są często mnożnikami Lagrange’a. Po znalezieniu punktów spełniających warunek konieczny dla ekstremum, należy odwołać się do warunku wystarczającego, tj. zbadać dodatnią (ujemną określoność)

dla

co sprowadza się do badania formy kwadratowej

gdzie

Warunek jest równoważny równaniu

które w postaci macierzowej przybiera formę

Do badania określoności tej macierzy można stosować kryterium Sylvestera.

W praktyce, gdy wprowadzamy funkcję pomocniczą

i szukamy dla niej warunków koniecznych na istnienie jej ekstremów, jako funkcji dwóch zmiennych[16], tj. rozwiązaniu układu równań , a następnie wyrugowaniu z tego układu równań czynnika nieoznaczonego
Do otrzymanego warunku dołączamy warunek Równoważnie, wszystkie punkty, które mogą być ekstremami warunkowymi można wyznaczyć z układu równań

gdzie oznacza jakobian funkcji i

Przykład – ekstrema funkcji na okręgu[edytuj]

Wykresem funkcji jest płaszczyzna. W przestrzeni trójwymiarowej, równanie opisuje walec (u którego podstawy, na płaszczyźnie leży okrąg jednostkowy). Szukanie ekstremów warunkowych sprowadza się w tym wypadku do badania punktów ekstremalnych części wspólnej walca i płaszczyzny.

Ilustracją zastosowania metody mnożników Lagrange’a jest problem wyznaczenia ekstremów funkcji:

na kole jednostkowym, tj. przy warunku

Zatem funkcja jest postaci

a więc funkcja wyraża się wzorem:

Wszystkie punkty, które mogą być ekstremami warunkowymi są rozwiązaniami układu równań

Podstawiając do pierwszego równania uzyskujemy: Stosując podobne podstawienie do trzeciego równania, dostaje się warunek skąd wynika Funkcja może zatem przyjmować ekstrema tylko w punktach Ponieważ okrąg jest zbiorem domkniętym i ograniczonym (czyli zwartym[17]), więc na mocy twierdzenia Weierstrassa, funkcja osiąga w tych punktach ekstrema (warunkowe):

  • minimum warunkowe:
  • maksimum warunkowe:

Warto zauważyć, że funkcja określona na całej płaszczyźnie (bez dodatkowego warunku) nie ma ekstremów.

Przykład – problem maksymalnej entropii[edytuj]

Problem polega na znalezieniu dyskretnego rozkładu zmiennej losowej maksymalizującego entropię. Funkcja entropii prawdopodobieństw wyraża się wzorem

Oczywiście, suma prawdopodobieństw jest równa jeden, więc warunek na przyjmuje postać

Stosując metodę mnożników Lagrange’a, dostajemy układ równań:

który sprowadza się do układu

Różniczkując każde równanie -krotnie, powyższy układ sprowadza się do poniższego:

Z powyższego wynika, że wszystkie prawdopodobieństwa są równe, tj. , a ponieważ ich suma jest równa jeden, wynika stąd, że dla dowolnego :

Gradacyjna analiza odpowiedniości[edytuj]

Ciekawym praktycznym zastosowaniem ekstremum lokalnego w przestrzeni par permutacji jest algorytm statystyczny, zwany gradacyjną analizą odpowiedniości (Grade Correspondence Analysis; GCA).

Algorytm ma na celu przekształcenie badanych nominalnych cech statystycznych w cechy porządkowe tak, aby korelacja rangowa pomiędzy nimi w zbiorze uczącym była maksymalna[18].

Algorytm GCA był stosowany m.in. do tabeli, w której wiersze odpowiadają okręgom wyborczym, kolumny partiom politycznym, a liczby w komórkach macierzy liczbie głosów oddanych na poszczególne partie w poszczególnych okręgach[19] GCA rozmieściło zarówno okręgi wyborcze, jak i partie na skali, która po zbadaniu okazała się odpowiadać continuum lewica-prawica.

Ściśle: danymi wejściowymi jest tzw. macierz kontyngencji, której wiersze odpowiadają możliwym wartościom (tzw. etykietom) pewnej nominalnej cechy statystycznej (zwanej zmienną wierszową), a kolumny możliwym wartościom innej cechy nominalnej (zwanej zmienną kolumnową). Wartości elementów macierzy reprezentują liczebność obserwacji w próbie, dla których rozważane dwie cechy mają wartości przypisane do danego wiersza i kolumny[20].

Celem algorytmu jest znalezienie takiej permutacji wierszy i kolumn macierzy (czyli etykiet zmiennych wierszowej i kolumnowej), aby współczynnik rho Spearmana dla powstałego rozkładu dwuwymiarowego był największy. Odpowiada to znalezieniu takiego uszeregowania etykiet zmiennych nominalnych, aby powstałe w ten sposób zmienne porządkowe wykazywały możliwie dużą zależność statystyczną w sensie korelacji rangowej.

GCA jest algorytmem iteracyjnym, który wielokrotnie startując od losowych permutacji wierszy i kolumn macierzy, dochodzi do różnych lokalnych maksimów rho Spearmana. Maksima są lokalne w tym sensie, że aby uzyskać większą wartość trzeba zmienić jednocześnie kolejność wierszy i kolumn macierzy. Zmiana wyłącznie kolejności wierszy lub wyłącznie kolejności kolumn nie da wyższej wartości rho.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Czasem uogólnia się to na dowolne niepuste zbiory otwarte; Zbiór musi być otwarty, żeby wykluczyć patologiczny przypadek, gdy wybierzemy punkt na brzegu tego zbioru. Wówczas np. funkcja mogłaby mieć minimum i maksimum właściwe w każdym swoim punkcie.
  2. Ekstremum może nie być właściwe, nawet jeśli funkcja nie posiada odcinka stałego. Wystarczy, że w okolicach rozważanego ekstremum występuje nieskończona liczba ekstremów o tej samej wartości funkcji, tak że w każdym otoczeniu jest przynajmniej jedno. Zobacz sekcja #Proste przykłady ekstremów.
  3. Dla ekstremów globalnych nie jest potrzebna definicja systemu otoczeń.
  4. Stwierdzenie to wynika z następującej obserwacji: jeżeli jest ułamkiem nieskracalnym, to każdy ułamek różniący się od o mniej niż ma mianownik większy od q. Nierówność
    prowadzi bowiem do
    a wobec jest .
  5. Założenie o skończonej liczbie punktów stacjonarnych można zastąpić słabszym żądaniem, by każdy punkt stacjonarny był izolowany. Zobacz przykład funkcji której wykres pokazano w sekcji Proste przykłady ekstremów.
  6. Dowód: Ze wzoru Taylora dla wynika:
    gdzie
    więc z:
    wynika:
    Dla prawa strona ma ten sam znak, co Gdy to z ciągłości wynika w pewnym otoczeniu punktu więc w tym otoczeniu
    dla
    zatem istnieje maksimum w punkcie Analogicznie, istnieje minimum gdy .
  7. Por. Różniczkowalność a otwartość zbioru.
  8. Jeśli którakolwiek pochodna kierunkowa, w tym pochodna cząstkowa, jest różna od zera, to również różniczka jest niezerowa (o ile istnieje). W tym przykładzie obie pochodne cząstkowe są ciągłe, istnieje również pochodna Frécheta i .
  9. W przypadku funkcji różniczkowalnej równości te mają prosty sens geometryczny: płaszczyzna styczna do powierzchni w jej punkcie odpowiadającym ekstremum powinna być równoległa do płaszczyzny .
  10. Np. funkcja ma w punkcie minimum, natomiast funkcja nie ma w punkcie ekstremum lokalnego.
  11. Wzór ten można otrzymać różniczkując tożsamość dla .
  12. Problem brachistochrony został rozwiązany przez Newtona, Leibniza, de l’Hospitala (ucznia Jana Bernoulliego) oraz Jakuba Bernoulliego.
  13. Uwaga: w tym wypadku pojęcie dodatniej (ujemnej) określoności zostaje rozszerzone na funkcjonały n-liniowe, tj. powiemy że funkcjonał -liniowy jest dodatnio (ujemnie) określony, jeśli istnieje takie że dla wszelkich .
  14. Da się to zrobić w przypadku przestrzeni Hilbertatwierdzenie o rozkładzie ortogonalnym mówi, że dla każdej domkniętej podprzestrzeni przestrzeni Hilberta istnieje dopełnienie ortogonalne. W szczególności, rozkład taki jest możliwy jeżeli jest przestrzenią skończenie wymiarową.
  15. a b Por. punkt regularny (szczególne przypadki).
  16. Por. ustęp Funkcje określone na podzbiorach płaszczyzny.
  17. Na mocy twierdzenia Heinego-Borela.
  18. Podobny problem ze zwykłą korelacją Pearsona rozwiązuje klasyczna analiza odpowiedniości.
  19. W wyborach do Sejmu w 1997 roku.
  20. Choć GCA można też stosować do innych zbiorów danych, np. takich gdzie każda kolumna reprezentuje inną zmienną.

Bibliografia[edytuj]

  • Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 1. Warszawa: PWN, 1966.
  • Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 1979.
  • Teresa Kowalczyk, Elżbieta Pleszczyńska, Fred (red.) Ruland: Grade Models and Methods for Data Analysis with Applications for the Analysis of Data Populations. Berlin Heidelberg New York: seria: Studies in Fuzziness and Soft Computing, vol. 151, Springer Verlag, 2004, s. 477.
  • Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Warszawa: PWN, 1976.
  • Krzysztof Maurin: Analiza – Część I – Elementy. Warszawa: PWN, 1976. ISBN 978-83-01-09939-8.