Metoda Eulera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy metody obliczania równań różniczkowych. Zobacz też: Metoda siecznych - metoda numeryczna obliczania miejsca zerowego funkcji, zwana również metodą Eulera.
Kilka krzywych całkowych, wyznaczonych przy pomocy metody Eulera, spełniających równanie różniczkowe:

Metoda Eulera – sposób rozwiązywania równań różniczkowych, opierający się na interpretacji geometrycznej równania różniczkowego.

Podstawowa metoda Eulera[edytuj]

Równanie postaci o warunkach początkowych , kolejne punkty z krokiem na osi x.

Zatem:

Ponieważ - z definicji pochodnej

czyli zarazem

Po przekształceniu:

Ponieważ szukamy wzoru na , zatem do wzoru podstawiamy wyżej wyliczone i otrzymujemy ostatecznie równanie:


Porównując otrzymany wynik z rozwinięciem Taylora otrzymujemy:

gdzie

co oznacza, że przybliżenie wartości ma błąd rzędu . Świadczy to o tym, że obranie mniejszego przedział kroku da w rezultacie dokładniejszy wynik.


Zmodyfikowana metoda Eulera[edytuj]

Zgodnie z tą metodą, obliczamy jako:

Metoda ta jest szczególnym przypadkiem metody Rungego-Kutty, znana popularnie jako metoda punktu środkowego (ang. midpoint).

Udoskonalona metoda Eulera[edytuj]

Modyfikacja polega na obliczaniu współczynnika nachylenia stycznej za pomocą średniej arytmetycznej:

Podobnie jak poprzednio, jest to szczególny przypadek metody Rungego-Kutty, znany powszechnie jako Metoda Heun'a.