Metoda Eulera

Klika krzywych całkowych, wyznaczonych przy pomocy metody Eulera, spełniających równanie różniczkowe: $f^{\prime}(x,y)=\frac{x(y+1)}{x^{2}+2}$

Metoda Eulera – sposób rozwiązywania równań różniczkowych, opierający się na interpretacji geometrycznej równania różniczkowego.

Podstawowa metoda Eulera

Równanie postaci $y' = f(x, y) \,$ o warunkach początkowych $(x_0, y_0): y_0 = y(x_0) \,$, kolejne punkty z krokiem $h$ na osi x.

Zatem:

$x_{n+1} = x_n + h \,$

Ponieważ - z definicji pochodnej

$y' = \frac{\Delta y}{h}$

czyli zarazem

$f(x_n, y_n) = y' = \frac{\Delta y}{h}$

Po przekształceniu:

$\Delta y = h f(x_n, y_n) \,$

Ponieważ szukamy wzoru na $y_{n+1}$, zatem do wzoru $y_{n+1} = y_n + \Delta y$ podstawiamy wyżej wyliczone $\Delta y$ i otrzymujemy ostatecznie równanie:

$y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n) \,$

Porównując otrzymany wynik z rozwinięciem Taylora otrzymujemy:

$y_{n+1} = y(x_{n+1}) = y(x_n + h) = y_n + hf(x_n,y_n) + \frac{f^{(2)}(\xi)}{2}h^{2}$

gdzie $x_n <{\xi}< x_{n+1}\,$

co oznacza, że przybliżenie wartości $y(x_{n+1})$ ma błąd rzędu $h^{2}$. Świadczy to o tym, że obranie mniejszego przedział kroku da w rezultacie dokładniejszy wynik.

Zmodyfikowana metoda Eulera

Zgodnie z tą metodą, $\Delta y$ obliczamy jako:

$\Delta y = f(x_n + \frac{h}{2}, y_n + f(x_n, y_n)\frac{h}{2}) h$

Metoda ta jest szczególnym przypadkiem metody Rungego-Kutty, znana popularnie jako metoda punktu środkowego (ang. midpoint).

Udoskonalona metoda Eulera

Modyfikacja polega na obliczaniu współczynnika nachylenia stycznej $\Delta y$ za pomocą średniej arytmetycznej:

$\Delta y = h \frac{f(x_n, y_n) + f(x_n + h, y_n + f(x_n, y_n) h)}{2}$

Pododobie jak poprzednio, jest to szczególny przypadek metody Rungego-Kutty, znany powszechnie jako Metoda Heun'a.