Metoda Eulera

Kilka krzywych całkowych, wyznaczonych przy pomocy metody Eulera, spełniających równanie różniczkowe: $f'(x,y)={\frac {x(y+1)}{x^{2}+2}}$

Metoda Eulera – sposób rozwiązywania równań różniczkowych, opierający się na interpretacji geometrycznej równania różniczkowego. Po raz pierwszy została ona przedstawiona w 1768 roku w podręczniku Leonharda Eulera pt. Institutiones calculi differentialis („Kształcenie w rachunku różniczkowym”).

Metoda podstawowa

Równanie postaci $y'=f(x,y)$ o warunkach początkowych $(x_{0},y_{0}):y_{0}=y(x_{0}),$ z kolejnymi punktami $x_{i}$ na osi x:

$x_{n+1}=x_{n}+h,\quad n=0,1,2,3,...$

Ponieważ – z definicji pochodnej

$y'={\frac {\Delta y}{h}},$

czyli zarazem

$f(x_{n},y_{n})=y'={\frac {\Delta y}{h}}.$

Po przekształceniu:

$\Delta y=hf(x_{n},y_{n}).$

Ponieważ szukamy wzoru na $y_{n+1},$ zatem do wzoru $y_{n+1}=y_{n}+\Delta y$ podstawiamy wyżej wyliczone $\Delta y$ i otrzymujemy ostatecznie równanie:

$y_{n+1}=y_{n}+hf(x_{n},y_{n}).$

Porównując otrzymany wynik z rozwinięciem Taylora otrzymujemy:

$y_{n+1}=y(x_{n+1})=y(x_{n}+h)=y_{n}+hf(x_{n},y_{n})+{\frac {f^{(2)}(\xi )}{2}}h^{2},$

gdzie $x_{n}<{\xi }<x_{n+1}$

co oznacza, że przybliżenie wartości $y(x_{n+1})$ ma błąd rzędu $h^{2}.$ Świadczy to o tym, że obranie mniejszego przedział kroku da w rezultacie dokładniejszy wynik.

Zbieżność

Zależność dokładności rozwiązania od wielkości kroku najlepiej sprawdzić na przykładzie równania różniczkowego, którego rozwiązanie łatwo jest znaleźć za pomocą wzoru. Przykładem może być równanie $y'=y$ dla warunków początkowych $x_{0}=0,y_{0}=1,$ którego rozwiązaniem jest funkcja $y=\exp(x).$ Zastosowanie metody Eulera dla takiego równania bardzo wyraźnie zależy od kroku h.

h=1:	$x_{n+1}=x_{n}+1,$	$y_{n+1}=y_{n}+1\cdot y_{n}=2y_{n}$	dla $x_{n}=4$ mamy $y_{n}=16$
h=0.5:	$x_{n+1}=x_{n}+0{,}5,$	$y_{n+1}=y_{n}+0{,}5\cdot y_{n}=1{,}5y_{n},$	dla $x_{n}=4$ mamy $y_{n}=25{,}6289$
h=0.1:	$x_{n+1}=x_{n}+0{,}1,$	$y_{n+1}=y_{n}+0{,}1\cdot y_{n}=1{,}1y_{n},$	dla $x_{n}=4$ mamy $y_{n}=45{,}2593$
h=0.01:	$x_{n+1}=x_{n}+0{,}01,$	$y_{n+1}=y_{n}+0{,}01\cdot y_{n}=1{,}01y_{n},$	dla $x_{n}=4$ mamy $y_{n}=53{,}5241$
h=0.001:	$x_{n+1}=x_{n}+0{,}001,$	$y_{n+1}=y_{n}+0{,}001\cdot y_{n}=1{,}001y_{n},$	dla $x_{n}=4$ mamy $y_{n}=54{,}5891$

W rzeczywistości $\exp(4)\approx 54{,}5982.$

Błąd obliczeń rozwiązania równania różniczkowego metoda Eulera maleje wraz ze zmniejszaniem kroku h, ale rośnie wraz ze wzrostem $x-x_{0}$ dla każdej wartości h. Generalnie metoda Eulera nie jest efektywna. Błąd jej stosowania jest na ogół duży.

Metoda zmodyfikowana

Zgodnie z tą metodą, $\Delta y$ obliczamy jako:

$\Delta y=f\left(x_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+f(x_{n},y_{n}){\frac {h}{2}}\right)h.$

Metoda ta jest szczególnym przypadkiem metody Rungego-Kutty, znana popularnie jako metoda punktu środkowego (ang. midpoint).

Metoda udoskonalona

Modyfikacja polega na obliczaniu współczynnika nachylenia stycznej $\Delta y$ za pomocą średniej arytmetycznej:

$\Delta y=h{\frac {f(x_{n},y_{n})+f(x_{n}+h,y_{n}+f(x_{n},y_{n})h)}{2}}.$

Podobnie jak poprzednio, jest to szczególny przypadek metody Rungego-Kutty, znany powszechnie jako Metoda Heuna.