Metoda Eulera

Kilka krzywych całkowych, wyznaczonych przy pomocy metody Eulera, spełniających równanie różniczkowe: $f^{\prime }(x,y)={\frac {x(y+1)}{x^{2}+2}}$

Metoda Eulera – sposób rozwiązywania równań różniczkowych, opierający się na interpretacji geometrycznej równania różniczkowego. Po raz pierwszy została ona przedstawiona w 1786 roku w podręczniku Leonharda Eulera pt. Institutiones calculi differentialis („Kształcenie w rachunku różniczkowym”).

Metoda podstawowa

Równanie postaci $y'=f(x,y)$ o warunkach początkowych $(x_{0},y_{0}):y_{0}=y(x_{0})\,$, kolejne punkty z krokiem $h$ na osi x.

Zatem:

$x_{n+1}=x_{n}+h$

Ponieważ - z definicji pochodnej

$y'={\frac {\Delta y}{h}}$

czyli zarazem

$f(x_{n},y_{n})=y'={\frac {\Delta y}{h}}$

Po przekształceniu:

$\Delta y=hf(x_{n},y_{n})$

Ponieważ szukamy wzoru na $y_{n+1}$, zatem do wzoru $y_{n+1}=y_{n}+\Delta y$ podstawiamy wyżej wyliczone $\Delta y$ i otrzymujemy ostatecznie równanie:

$y_{n+1}=y_{n}+hf(x_{n},y_{n}),$

Porównując otrzymany wynik z rozwinięciem Taylora otrzymujemy:

$y_{n+1}=y(x_{n+1})=y(x_{n}+h)=y_{n}+hf(x_{n},y_{n})+{\frac {f^{(2)}(\xi )}{2}}h^{2}$

gdzie $x_{n}<{\xi }<x_{n+1}$

co oznacza, że przybliżenie wartości $y(x_{n+1})$ ma błąd rzędu $h^{2}$. Świadczy to o tym, że obranie mniejszego przedział kroku da w rezultacie dokładniejszy wynik.

Zbieżność

Zależność dokładności rozwiązania od wielkości kroku najlepiej sprawdzić na przykładzie równania różniczkowego, którego rozwiązanie łatwo jest znaleźć za pomocą wzoru. Przykładem może być równanie $y'=y$ dla warunków początkowych $x_{0}=0,y_{0}=1$, którego rozwiązaniem jest funkcja $y=exp(x)$. Zastosowanie metody Eulera dla takiego równania bardzo wyraźnie zależy od kroku h.

h=1: $x_{n+1}=x_{n}+1$, $y_{n+1}=y_{n}+1\cdot y_{n}=2y_{n}$ dla $x_{n}=4$ mamy $y_{n}=16$

h=0.5: $x_{n+1}=x_{n}+0.5$, $y_{n+1}=y_{n}+0.5\cdot y_{n}=1.5y_{n}$. dla $x_{n}=4$ mamy $y_{n}=25.6289$

h=0.1: $x_{n+1}=x_{n}+0.1$, $y_{n+1}=y_{n}+0.1\cdot y_{n}=1.1y_{n}$. dla $x_{n}=4$ mamy $y_{n}=45.2593$

h=0.01: $x_{n+1}=x_{n}+0.01$, $y_{n+1}=y_{n}+0.01\cdot y_{n}=1.01y_{n}$. dla $x_{n}=4$ mamy $y_{n}=53.5241$

h=0.001: $x_{n+1}=x_{n}+0.001$, $y_{n+1}=y_{n}+0.001\cdot y_{n}=1.001y_{n}$. dla $x_{n}=4$ mamy $y_{n}=54.4891$

W rzeczywistości $exp(4)\approx 54.5982$

Błąd obliczeń rozwiązania równania różniczkowego metoda Eulera maleje wraz ze zmniejszaniem kroku h, ale rośnie wraz ze wzrostem $x-x_{0}$ dla każdej wartości h. Generalnie metoda Eulera nie jest efektywna. Błąd jej stosowania jest na ogół duży.

Metoda zmodyfikowana

Zgodnie z tą metodą, $\Delta y$ obliczamy jako:

$\Delta y=f(x_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+f(x_{n},y_{n}){\frac {h}{2}})h$

Metoda ta jest szczególnym przypadkiem metody Rungego-Kutty, znana popularnie jako metoda punktu środkowego (ang. midpoint).

Metoda udoskonalona

Modyfikacja polega na obliczaniu współczynnika nachylenia stycznej $\Delta y$ za pomocą średniej arytmetycznej:

$\Delta y=h{\frac {f(x_{n},y_{n})+f(x_{n}+h,y_{n}+f(x_{n},y_{n})h)}{2}}$

Podobnie jak poprzednio, jest to szczególny przypadek metody Rungego-Kutty, znany powszechnie jako Metoda Heuna.