Metoda Eulera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy metody obliczania równań różniczkowych. Zobacz też: Metoda siecznych - metoda numeryczna obliczania miejsca zerowego funkcji, zwana również metodą Eulera.
Klika krzywych całkowych, wyznaczonych przy pomocy metody Eulera, spełniających równanie różniczkowe: f^{\prime}(x,y)=\frac{x(y+1)}{x^{2}+2}

Metoda Eulera – sposób rozwiązywania równań różniczkowych, opierający się na interpretacji geometrycznej równania różniczkowego.

Podstawowa metoda Eulera[edytuj | edytuj kod]

Równanie postaci y' = f(x, y) \, o warunkach początkowych (x_0, y_0): y_0 = y(x_0) \,, kolejne punkty z krokiem h na osi x.

Zatem:

x_{n+1} = x_n + h \,

Ponieważ - z definicji pochodnej

y' = \frac{\Delta y}{h}

czyli zarazem

f(x_n, y_n) = y' = \frac{\Delta y}{h}

Po przekształceniu:

\Delta y = h f(x_n, y_n) \,

Ponieważ szukamy wzoru na y_{n+1}, zatem do wzoru y_{n+1} = y_n + \Delta y podstawiamy wyżej wyliczone \Delta y i otrzymujemy ostatecznie równanie:

y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n) \,


Porównując otrzymany wynik z rozwinięciem Taylora otrzymujemy:

 y_{n+1} = y(x_{n+1}) = y(x_n + h) = y_n + hf(x_n,y_n) + \frac{f^{(2)}(\xi)}{2}h^{2}

gdzie  x_n <{\xi}< x_{n+1}\,

co oznacza, że przybliżenie wartości  y(x_{n+1}) ma błąd rzędu  h^{2} . Świadczy to o tym, że obranie mniejszego przedział kroku da w rezultacie dokładniejszy wynik.


Zmodyfikowana metoda Eulera[edytuj | edytuj kod]

Zgodnie z tą metodą, \Delta y obliczamy jako:

\Delta y = f(x_n + \frac{h}{2}, y_n + f(x_n, y_n)\frac{h}{2}) h

Metoda ta jest szczególnym przypadkiem metody Rungego-Kutty, znana popularnie jako metoda punktu środkowego (ang. midpoint).

Udoskonalona metoda Eulera[edytuj | edytuj kod]

Modyfikacja polega na obliczaniu współczynnika nachylenia stycznej \Delta y za pomocą średniej arytmetycznej:

\Delta y = h \frac{f(x_n, y_n) + f(x_n + h, y_n + f(x_n, y_n) h)}{2}

Pododobie jak poprzednio, jest to szczególny przypadek metody Rungego-Kutty, znany powszechnie jako Metoda Heun'a.