Metoda Eulera

Kilka krzywych całkowych, wyznaczonych przy pomocy metody Eulera, spełniających równanie różniczkowe: $f^{\prime }(x,y)={\frac {x(y+1)}{x^{2}+2}}$$f^{\prime }(x,y)={\frac {x(y+1)}{x^{2}+2}}$

Metoda Eulera – sposób rozwiązywania równań różniczkowych, opierający się na interpretacji geometrycznej równania różniczkowego.

Podstawowa metoda Eulera

Równanie postaci $y'=f(x,y)\,$$y'=f(x,y)\,$ o warunkach początkowych $(x_{0},y_{0}):y_{0}=y(x_{0})\,$$(x_{0},y_{0}):y_{0}=y(x_{0})\,$, kolejne punkty z krokiem $h$$h$ na osi x.

Zatem:

$x_{n+1}=x_{n}+h\,$$x_{n+1}=x_{n}+h\,$

Ponieważ - z definicji pochodnej

$y'={\frac {\Delta y}{h}}$$y'={\frac {\Delta y}{h}}$

czyli zarazem

$f(x_{n},y_{n})=y'={\frac {\Delta y}{h}}$$f(x_{n},y_{n})=y'={\frac {\Delta y}{h}}$

Po przekształceniu:

$\Delta y=hf(x_{n},y_{n})\,$$\Delta y=hf(x_{n},y_{n})\,$

Ponieważ szukamy wzoru na $y_{n+1}$$y_{n+1}$, zatem do wzoru $y_{n+1}=y_{n}+\Delta y$$y_{n+1}=y_{n}+\Delta y$ podstawiamy wyżej wyliczone $\Delta y$$\Delta y$ i otrzymujemy ostatecznie równanie:

$y_{n+1}=y_{n}+hf(x_{n},y_{n})\,$$y_{n+1}=y_{n}+hf(x_{n},y_{n})\,$

Porównując otrzymany wynik z rozwinięciem Taylora otrzymujemy:

$y_{n+1}=y(x_{n+1})=y(x_{n}+h)=y_{n}+hf(x_{n},y_{n})+{\frac {f^{(2)}(\xi )}{2}}h^{2}$$y_{n+1}=y(x_{n+1})=y(x_{n}+h)=y_{n}+hf(x_{n},y_{n})+{\frac {f^{(2)}(\xi )}{2}}h^{2}$

gdzie $x_{n}<{\xi }<x_{n+1}\,$$x_{n}<{\xi }<x_{n+1}\,$

co oznacza, że przybliżenie wartości $y(x_{n+1})$$y(x_{n+1})$ ma błąd rzędu $h^{2}$$h^{2}$. Świadczy to o tym, że obranie mniejszego przedział kroku da w rezultacie dokładniejszy wynik.

Zmodyfikowana metoda Eulera

Zgodnie z tą metodą, $\Delta y$$\Delta y$ obliczamy jako:

$\Delta y=f(x_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+f(x_{n},y_{n}){\frac {h}{2}})h$$\Delta y=f(x_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+f(x_{n},y_{n}){\frac {h}{2}})h$

Metoda ta jest szczególnym przypadkiem metody Rungego-Kutty, znana popularnie jako metoda punktu środkowego (ang. midpoint).

Udoskonalona metoda Eulera

Modyfikacja polega na obliczaniu współczynnika nachylenia stycznej $\Delta y$$\Delta y$ za pomocą średniej arytmetycznej:

$\Delta y=h{\frac {f(x_{n},y_{n})+f(x_{n}+h,y_{n}+f(x_{n},y_{n})h)}{2}}$$\Delta y=h{\frac {f(x_{n},y_{n})+f(x_{n}+h,y_{n}+f(x_{n},y_{n})h)}{2}}$

Podobnie jak poprzednio, jest to szczególny przypadek metody Rungego-Kutty, znany powszechnie jako Metoda Heun'a.