Metoda Eulera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Ten artykuł dotyczy metody obliczania równań różniczkowych. Zobacz też: Metoda siecznych - metoda numeryczna obliczania miejsca zerowego funkcji, zwana również metodą Eulera.
Kilka krzywych całkowych, wyznaczonych przy pomocy metody Eulera, spełniających równanie różniczkowe:

Metoda Eulera – sposób rozwiązywania równań różniczkowych, opierający się na interpretacji geometrycznej równania różniczkowego. Po raz pierwszy została ona przedstawiona w 1768 roku w podręczniku Leonharda Eulera pt. Institutiones calculi differentialis („Kształcenie w rachunku różniczkowym”)[1].

Metoda podstawowa[edytuj | edytuj kod]

Równanie postaci o warunkach początkowych , kolejne punkty z krokiem na osi x.

Zatem:

Ponieważ - z definicji pochodnej

czyli zarazem

Po przekształceniu:

Ponieważ szukamy wzoru na , zatem do wzoru podstawiamy wyżej wyliczone i otrzymujemy ostatecznie równanie:

Porównując otrzymany wynik z rozwinięciem Taylora otrzymujemy:

gdzie

co oznacza, że przybliżenie wartości ma błąd rzędu . Świadczy to o tym, że obranie mniejszego przedział kroku da w rezultacie dokładniejszy wynik.

Zbieżność[edytuj | edytuj kod]

Zależność dokładności rozwiązania od wielkości kroku najlepiej sprawdzić na przykładzie równania różniczkowego, którego rozwiązanie łatwo jest znaleźć za pomocą wzoru. Przykładem może być równanie dla warunków początkowych , którego rozwiązaniem jest funkcja . Zastosowanie metody Eulera dla takiego równania bardzo wyraźnie zależy od kroku h[2].

h=1: , dla mamy

h=0.5: , . dla mamy

h=0.1: , . dla mamy

h=0.01: , . dla mamy

h=0.001: , . dla mamy

W rzeczywistości

Błąd obliczeń rozwiązania równania różniczkowego metoda Eulera maleje wraz ze zmniejszaniem kroku h, ale rośnie wraz ze wzrostem dla każdej wartości h. Generalnie metoda Eulera nie jest efektywna. Błąd jej stosowania jest na ogół duży.

Metoda zmodyfikowana[edytuj | edytuj kod]

Zgodnie z tą metodą, obliczamy jako:

Metoda ta jest szczególnym przypadkiem metody Rungego-Kutty, znana popularnie jako metoda punktu środkowego (ang. midpoint).

Metoda udoskonalona[edytuj | edytuj kod]

Modyfikacja polega na obliczaniu współczynnika nachylenia stycznej za pomocą średniej arytmetycznej:

Podobnie jak poprzednio, jest to szczególny przypadek metody Rungego-Kutty, znany powszechnie jako Metoda Heuna.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. John C. Butcher, Numerical Methods for Ordinary Differential Equations, New York: John Wiley & Sons,, 2003, ISBN 978-0-471-96758-3.
  2. Kendall Atkinson: An Introduction to Numerical Analysis. Wyd. 2. Nowy Jork: John Wiley & Sons, 1989. ISBN 978-0-471-50023-0.