Metoda Sheparda

Metoda Sheparda – sposób aproksymacji wielowymiarowej dla rozproszonych zbiorów znanych punktów aproksymacyjnych.

Ogólna postać metody Sheparda dla znalezienia wartości aproksymowanej u dla danego punktu x ma formę funkcji:

$u(\mathbf {x} )={\frac {\sum _{k=0}^{N}{w_{k}(\mathbf {x} )u_{k}}}{\sum _{k=0}^{N}{w_{k}(\mathbf {x} )}}}$$u(\mathbf {x} )={\frac {\sum _{k=0}^{N}{w_{k}(\mathbf {x} )u_{k}}}{\sum _{k=0}^{N}{w_{k}(\mathbf {x} )}}}$,

gdzie

$w_{k}(\mathbf {x} )={\frac {1}{d(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{k})^{p}}}$$w_{k}(\mathbf {x} )={\frac {1}{d(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{k})^{p}}}$

jest współczynnikiem wagowym, wprowadzonym przez Sheparda, x oznacza dowolny punkt aproksymowany, x_k – znany punkt aproksymacyjny, $d$$d$ jest określonym operatorem metryki, N oznacza całkowitą liczbę punktów aproksymacyjnych, a $p$$p$ jest parametrem. W tym przypadku wartość współczynnika wagowego zmniejsza się wraz ze wzrostem odległości pomiędzy punktem aproksymowanym x a punktem aproksymującym x_k. Dla $0<p<1$$0<p<1$ u(x) ma ostre wierzchołki nad punktami aproksymującymi, a dla $p>1$$p>1$ jest gładka. Najczęściej przyjmuje się $p=2$$p = 2$.

Metoda Sheparda wynika z minimalizacji funkcjonału określającego miarę odchyłek pomiędzy punktem aproksymowanym i odpowiadającą mu wartością aproksymowaną a krotkami punktów aproksymacyjnych {x_k, u_k}, zdefiniowanego jako:

$\phi (\mathbf {x} ,u)=\left(\sum _{k=0}^{N}{\frac {(u-u_{k})^{2}}{d(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{k})^{p}}}\right)^{\frac {1}{p}}$$\phi (\mathbf {x} ,u)=\left(\sum _{k=0}^{N}{\frac {(u-u_{k})^{2}}{d(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{k})^{p}}}\right)^{\frac {1}{p}}$

oraz warunku minimalizacji:

${\frac {\partial \phi (\mathbf {x} ,u)}{\partial u}}=0$${\frac {\partial \phi (\mathbf {x} ,u)}{\partial u}}=0$.

Modyfikacja Liszki

Modyfikacja metody Sheparda została zaproponowana w pracy Liszki w zastosowaniach do zagadnień aproksymacyjnych mechaniki doświadczalnej. Zaproponowano tu nowy współczynnik wagowy:

$w_{k}(\mathbf {x} )={\frac {1}{(d(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{k})^{2}+\varepsilon ^{2})^{\frac {1}{2}}}}$$w_{k}(\mathbf {x} )={\frac {1}{(d(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{k})^{2}+\varepsilon ^{2})^{\frac {1}{2}}}}$,

gdzie ε dobiera się w zależności od błędu pomiaru punktów aproksymacyjnych.