Metoda Simpsona

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Funkcja f(x) (niebieska) jest przybliżana funkcją kwadratową P(x) (czerwona) gdzie:
,
,
.

Całkowanie metodą Simpsona – jedna z metod przybliżania wartości całki oznaczonej funkcji rzeczywistej.

Metoda ma zastosowanie do funkcji stablicowanych w nieparzystej liczbie równo odległych punktów (wliczając końce przedziału całkowania). Metoda opiera się na przybliżaniu funkcji całkowanej przez interpolację wielomianem drugiego stopnia.

Znając wartości funkcji w 3 punktach (przy czym ), przybliża się funkcję wielomianem Lagrange'a i, całkując w przedziale , otrzymuje przybliżoną wartość całki:

Błąd, który przy tym popełniamy, jest równy: , gdzie:

.

Nie znamy położenia punktu c, więc posługujemy się poniższym szacowaniem, mającym zastosowanie w obliczeniach numerycznych:

.

Znając wartości funkcji w 2k+1 kolejnych, równo odległych punktach (gdzie n=2k), możemy iterować powyższy wzór na k przedziałów:

,

otrzymując:

.

Wartość błędu, jakim są obarczone wyliczenia, wyraża się wzorem:

.

By czytelnik mógł go odnieść do rysunku:

; ,
; .

Geometrycznie metoda ta odpowiada zastąpieniu w każdym z kolejnych k przedziałów zmiennej x łuku wykresu funkcji y=f(x) łukiem paraboli przeprowadzonej przez trzy kolejne węzły interpolacji (punkty wykresu o znanych współrzędnych) odpowiadające początkowi, środkowi i końcowi kolejnego przedziału.

Zobacz też[edytuj]