Metoda Simpsona

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Funkcja (niebieska) jest przybliżana funkcją kwadratową (czerwona) gdzie:

Całkowanie metodą Simpsona – jedna z metod przybliżania wartości całki oznaczonej funkcji rzeczywistej.

Metoda ma zastosowanie do funkcji stablicowanych w nieparzystej liczbie równo odległych punktów (wliczając końce przedziału całkowania). Metoda opiera się na przybliżaniu funkcji całkowanej przez interpolację wielomianem drugiego stopnia.

Znając wartości funkcji w 3 punktach (przy czym ), przybliża się funkcję wielomianem Lagrange’a i całkując w przedziale otrzymuje przybliżoną wartość całki:

Błąd, który przy tym popełniamy, jest równy:

gdzie:

Nie znamy położenia punktu więc posługujemy się poniższym szacowaniem, mającym zastosowanie w obliczeniach numerycznych:

Znając wartości funkcji w kolejnych, równo odległych punktach (gdzie ), możemy iterować powyższy wzór na przedziałów:

otrzymując:

Wartość błędu, jakim są obarczone wyliczenia, wyraża się wzorem:

By czytelnik mógł go odnieść do rysunku:

Geometrycznie metoda ta odpowiada zastąpieniu w każdym z kolejnych przedziałów zmiennej łuku wykresu funkcji łukiem paraboli przeprowadzonej przez trzy kolejne węzły interpolacji (punkty wykresu o znanych współrzędnych) odpowiadające początkowi, środkowi i końcowi kolejnego przedziału.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]