Metoda elementów skończonych

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Przykład dwuwymiarowego rozwiązania magnetostatycznego (linie oznaczają kierunek indukcji magnetycznej, a kolor jej wartość)
Przykład dwuwymiarowej dyskretyzacji dla rozwiązania powyżej (z zagęszczeniem dyskretyzacji dookoła obiektu oraz z wymuszającą cewką po prawej stronie)
Model 3D rozprzestrzeniania się zanieczyszczeń w atmosferze - Pole stężenia zanieczyszczenia na powierzchni ziemi
Model 3D rozprzestrzeniania się zanieczyszczeń w atmosferze - Pole stężenia zanieczyszczenia w płaszczyźnie prostopadłej do powierzchni ziemi w odległości ok. 1 km od kominów 

Wstęp[edytuj | edytuj kod]

Metoda Elementów Skończonych (w skrócie MES, ang. finite element method, w skrócie FEM)[1][2][3] – zaawansowana metoda numerycznego rozwiązywania problemów brzegowych. Polega ona na zastosowaniu interpolacji (jedno-, dwu- lub trój-wymiarowej) poszukiwanej funkcji, na dyskretnym zbiorze jej węzłów, które powstają w wyniku dyskretyzacji dziedziny jej określoności na tzw. elementy skończone.

Istota metody polega na tym, że interpolacji dokonuje się za pomocą prostych funkcji bazowych o nośnikach zlokalizowanych tylko na najbliższych, sąsiadujących ze sobą elementach skończonych. Interpolację zdefiniowaną dla całej dziedziny określoności poszukiwanej funkcji otrzymuje się przez utworzenie wielomianu sklejanego z prostych i krótkich funkcji bazowych. Ten sposób interpolacji, w najprostszym przypadku, sprowadza się do interpolacji liniowej. W bazę globalną tworzą funkcje łamane, przedziaowo liniowe, w - powierzchnie złożone z płaskich trójkątów połączonych ze sobą krawędziami (rysunek obok), a w - obszary wypełnione czworościanami stykające się wspólnymi ścianami.

Wielkościami podlegającymi wyznaczeniu w MES są niewiadome rzędne interpolowanej funkcji i jej pochodnych, występujące tylko w węzłach podziałowych.

Podstawową zaletą MES jest możliwość uzyskiwania rozwiązań dla obszarów o skomplikowanych kształtach, dla których nie jest możliwe przeprowadzenie ścisłych obliczeń analitycznych.

Jeśli obliczany model posiada symetrię kształtu i wymuszenia, wówczas można obliczać tylko część obiektu celem szybszego uzyskania wyników, tak jak to przedstawiono na rysunku obok.

Zastosowanie[edytuj | edytuj kod]

MES znajduje szerokie zastosowania w fizyce, a w szczególności w mechanice konstrukcji i mechanice ośrodków ciągłych. Z jej użyciem bada się wytrzymałość konstrukcji, symuluje ich odkształcenia, naprężenia i przemieszczenia, a także przepływ ciepła, przepływ cieczy[4][5].

Bada się również dynamikę, kinematykę i statykę maszyn, jak również oddziaływania elektrostatyczne, magnetostatyczne i elektromagnetyczne.

Metoda stosowana jest również do interpolowania wyników pomiarów wykonywanych na dyskretnym zbiorze punktów np. w meteorologii przy sporządzaniu map synoptycznych.


MES w mechanice[edytuj | edytuj kod]

Przykład rzadkiej macierzy MES

Zastosowanie MES w mechanice[6][7] oparte jest na poniższym równaniu macierzowym:

[M][u"]+[C][u']+[K][u]=[F]

gdzie:

[M] = suma([m]) - macierz bezwładności układu elementów skończonych równa sumie macierzy bezwładności poszczególnych elementów
[C] = suma([c]) - macierz tłumienia układu elementów skończonych równa sumie macierzy tłumienia poszczególnych elementów
[K] = suma([k]) - macierz sztywności układu elementów skończonych równa sumie macierzy sztywności poszczególnych elementów
[u"] - macierz kolumnowa przyspieszeń poszczególnych węzłów układu
[u'] - macierz kolumnowa prędkości poszczególnych węzłów układu
[u] - macierz kolumnowa przemieszczeń poszczególnych węzłów układu
[F] - macierz kolumnowa sił przyłożonych do ciała w węzłach układu elementów skończonych

Każdy element skończony sąsiaduje tylko z najbliższymi dla niego elementami, dzięki czemu macierz wynikowa (a więc i układ równań do rozwiązania) jest zazwyczaj bardzo rzadka. Taką sytuację uzyskuje się właśnie przez zastosowanie krótkich, lokalnych baz interpolacji, co w zdecydowany sposób poprawia uwarunkowanie układów równań metody.


Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. O. Zienkiewicz, C. Taylor, R. Leroy, J.Z. Zhu, The finite element method - Its basis and fundamentals, Butterworth-Heinemann (1990-2005)
  2. O.C. Zienkiewicz, Metoda elementów skończonych, Wyd. Arkady, 1972
  3. M.A. Bossak, Metoda elementów skończonych, Wyd. Ucz. Politechniki Rzeszowskiej, 1976
  4. O. Zienkiewicz, C. Taylor, R. Leroy, The finite element method. Vol. 1, Basic formulation and linear problems, McGraw-Hill Publishing Company
  5. O. Zienkiewicz, C. Taylor, R. Leroy, The finite element method. Vol. 2, Solid and fluid mechanics dynamics and non-lineary, McGraw-Hill Publishing Company
  6. K.H. Huebner, The finite element method for engineers, John Wiley
  7. O. Zienkiewicz, C. Taylor, R. Leroy, D.D. Fox, The finite element method for solid and structural mechanics, Butterworth-Heinemann (1990-2005)

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]