Metoda eliminacji Gaussa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Metoda eliminacji Gaussaalgorytm rozwiązywania układów równań liniowych[1], obliczania rzędu macierzy, obliczania macierzy odwrotnej, obliczania wartości wyznacznika oraz wyznaczenia rozkładu LU[2], wykorzystujący operacje elementarne; jego nazwa pochodzi od nazwiska matematyka niemieckiego Carla Friedricha Gaussa.

Obliczanie rzędu macierzy[edytuj]

Obliczając rząd macierzy metodą Gaussa, należy za pomocą operacji elementarnych na wierszach sprowadzić macierz do macierzy schodkowej. Wtedy wszystkie niezerowe wiersze są liniowo niezależne i można łatwo odczytać rząd macierzy.

Przykład[edytuj]

Przykładowo: macierz A poprzez dokonanie operacji elementarnych:

odjęcia wielokrotności 1. wiersza od 2., 3. i 4. wiersza,

zamiany 2. i 3. wiersza,

odjęcia wiersza 2. od wiersza 4.

odjęcia 3. wiersza od 4. wiersza

sprowadzono do macierzy schodkowej. Rząd tej macierzy łatwo odczytać, bowiem jest on równy liczbie jej "schodków", czyli liczbie wierszy pomniejszonej o liczbę wierszy zerowych. W tym przypadku rząd macierzy A równy jest 3.

Rozwiązywanie układów równań liniowych[edytuj]

Rozwiązując układ m równań liniowych z n niewiadomymi należy, za pomocą operacji elementarnych wyłącznie na wierszach, sprowadzić macierz rozszerzoną układu równań liniowych do postaci schodkowej. Następnie należy rozstrzygnąć istnienie rozwiązań układu z pomocą twierdzenia Kroneckera-Capellego. Jeżeli układ nie jest sprzeczny, to zbiór rozwiązań układu wyjściowego jest równy zbiorowi rozwiązań układu reprezentowanego przez powstałą schodkową macierz rozszerzoną.

Przykład[edytuj]

Układ wyjściowy:

Macierz rozszerzona tego układu:

Sprowadzając do postaci schodkowej (za pomocą operacji kolejno: odjęcia wielokrotności 1. wiersza od 2., 3. i 4. wiersza, zamienienia 2. i 3. wiersza, odjęcia 2. wiersza od 4. wiersza, odjęciu 3. wiersza od 4. wiersza):

Rząd macierzy głównej

jest równy 3 czyli równy rzędowi macierzy rozszerzonej

oraz mniejszy od liczby szukanych niewiadomych.
Z twierdzenia Kroneckera-Capellego wynika, że układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru. Rozwiązujemy układ:

Przyjmując parametr za i rozwiązując układ od dołu uzyskujemy:

Zatem rozwiązaniem układu są czwórki:

,

gdzie jest dowolnym elementem z ciała, w którym szuka się rozwiązania (na przykład, ).

Obliczanie macierzy odwrotnej[edytuj]

Aby obliczyć macierz odwrotną macierzy nieosobliwej o stopniu n należy, za pomocą operacji elementarnych wyłącznie na wierszach, sprowadzić macierz blokową do postaci . Powstała macierz B jest szukaną macierzą odwrotną do macierzy A. Symbolicznie można zapisać:

Przykład[edytuj]

Wyjściowa macierz:

Jej wyznacznik jest równy 2, czyli macierz odwrotna istnieje. Macierz blokowa ma postać:

Wykonując następujące operacje elementarne na wierszach:

(1) W2 – 3/7·W1   (od drugiego wiersza odjąć pomnożony przez 3/7 wiersz pierwszy),
(2) 1/7·W1   (pierwszy wiersz pomnożyć przez 1/7),
(3) 7/2·W2   (drugi wiersz pomnożyć przez 7/2),
(4) W1 – 4/7·W2   (od pierwszego wiersza odjąć pomnożony przez 4/7 wiersz drugi);

przedstawione poniżej:

  ← po operacjach (2) i (3)

lub w inny sposób (w 3. operacjach elementarnych):

(1) W1 – 2·W2   (od pierwszego wiersza odjąć pomnożony przez 2 wiersz drugi),
(2) W2 – 3·W1   (od drugiego wiersza odjąć pomnożony przez 3 wiersz pierwszy);
(3) 1/2·W2   (wiersz drugi pomnożyć przez 1/2);

otrzymujemy macierz:

  ,

która jest macierzą odwrotną do macierzy wyjściowej.

Przypisy

Bibliografia[edytuj]