Metoda siecznych

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Przykład naiwnego zastosowania metody siecznych. Pierwsza iteracja – zwracająca punkt x2 – przybliża do miejsca zerowego, jednak następna – zwracająca punkt x3 – od niego oddala. To dlatego, że dla punktów x1 i x2 wartości funkcji mają ten sam znak, co nie gwarantuje miejsca zerowego między nimi.

Metoda siecznych, metoda Eulera, w literaturze polskojęzycznej czasem metoda cięciw[1]metoda numeryczna, służąca do rozwiązywania równania nieliniowego z jedną niewiadomą.

Metoda siecznych to algorytm interpolacji liniowej. Ma tę zaletę, że do użycia jej niepotrzebna jest znajomość pochodnej danej funkcji ani nawet założenie różniczkowalności.

Opis procedury[edytuj | edytuj kod]

Wersja podstawowa[edytuj | edytuj kod]

Polega ona na przyjęciu, że funkcja ciągła na dostatecznie małym odcinku w przybliżeniu zmienia się w sposób liniowy. Możemy wtedy na odcinku krzywą zastąpić sieczną. Za przybliżoną wartość pierwiastka przyjmujemy punkt przecięcia siecznej z osią OX.

Metodę siecznych dla funkcji mającej pierwiastek w przedziale można zapisać następującym wzorem rekurencyjnym:

Aby metoda się powiodła, dla każdego n musi zachodzić gdyż tylko wtedy sieczna przechodząca przez punkty i przecina oś OX. Metoda ta nie zawsze jest zbieżna.

Modyfikacja[edytuj | edytuj kod]

Metoda ta zapewnia zbieżność do pierwiastka dla dowolnej funkcji ciągłej na odcinku takiej, że

Polega ona na wyznaczaniu takich ciągów i takich, że i dla każdego n Między i musi być pierwiastek funkcji, a przedziały tworzą ciąg zstępujący. Zbieżność ciągów i do tej samej granicy będącej pierwiastkiem równania zapewnia następująca reguła rekurencyjna:

Polega ona na wyznaczeniu punktu przecięcia siecznej przechodzącej przez punkty i z osią OX i zastąpienia tym punktem jeden z końców przedziału, gdzie znajduje się pierwiastek.

Powiązane metody numeryczne[edytuj | edytuj kod]

Do wyznaczania pierwiastków równania nieliniowego służą też:

Przypisy[edytuj | edytuj kod]