Metoda siecznych

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Metoda siecznych (metoda Eulera)metoda numeryczna, służąca do rozwiązywania równania nieliniowego z jedną niewiadomą.

Metoda siecznych to algorytm interpolacji liniowej. W literaturze polskojęzycznej nazywana czasem bywa metodą cięciw[1]. Polega na przyjęciu, że funkcja ciągła na dostatecznie małym odcinku w przybliżeniu zmienia się w sposób liniowy. Możemy wtedy na odcinku krzywą zastąpić sieczną. Za przybliżoną wartość pierwiastka przyjmujemy punkt przecięcia siecznej z osią OX.

Metodę siecznych dla funkcji mającej pierwiastek w przedziale można zapisać następującym wzorem rekurencyjnym:

Metoda siecznych ma tę zaletę, że do wykonania interpolacji za jej pomocą niepotrzebna jest znajomość pochodnej danej funkcji, gdyż przybliżamy ją za pomocą powyższego wzoru. Aby metoda się powiodła dla każdego n musi zachodzić gdyż tylko wtedy sieczna przechodząca przez punkty i przecina oś OX. Metoda ta nie zawsze jest zbieżna.

Modyfikacja metody siecznych. Metoda ta zapewnia zbieżność do pierwiastka dla dowolnej funkcji ciągłej na odcinku takiej, że

Polega ona na wyznaczaniu takich ciągów i takich, że i dla każdego n Między i musi być pierwiastek funkcji, a przedziały tworzą ciąg zstępujący. Zbieżność ciągów i do tej samej granicy będącej pierwiastkiem równania zapewnia następująca reguła rekurencyjna:

Polega ona na wyznaczeniu punktu przecięcia siecznej przechodzącej przez punkty i z osią OX i zastąpienia tym punktem jeden z końców przedziału, gdzie znajduje się pierwiastek.

Obie metody nie wymagają założenia różniczkowalności funkcji

Inne numeryczne metody wyznaczania pierwiastków równania nieliniowego:

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Matematyczna w Zadaniach, 1980.