Metoda współczynników nieoznaczonych

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Metoda współczynników nieoznaczonych – zbiorcza nazwa heurystycznych metod całkowania nieoznaczonego, polegających na przewidywaniu ogólnej postaci funkcji pierwotnej (to znaczy postaci zawierającej ewentualnie pewne parametry liczbowe, czyli tzw. współczynniki nieoznaczone), a następnie dokładnego wyliczenia tych parametrów.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Całki funkcji wymiernych[edytuj | edytuj kod]

Każdą funkcję wymierną można rozłożyć na sumę pewnego wielomianu

i skończonej liczby ułamków prostych, to znaczy ułamków postaci:

   oraz   

gdzie są szukanymi liczbami rzeczywistymi, dla pewnej liczby naturalnej oraz Liczby te można wyznaczyć rozwiązując odpowiedni układ równań. Znając te liczby można sprowadzić całkowanie danej funkcji wymiernej do sumy takich całek, dla których metody całkowania są znane.

Wydzielenie części wymiernej całki[edytuj | edytuj kod]

Przypuśćmy, że dla funkcji wymiernej jej mianownik zawiera pierwiastki wielokrotne (mogą być zespolone) oraz stopień licznika jest mniejszy niż stopień mianownika.

Znajdujemy wielomian stosując algorytm Euklidesa:

oraz wielomian z zależności:

Zaletą tej metody jest to, że nie musimy znać rozkładu na czynniki wielomianów

Wówczas zachodzi równość

dla pewnych wielomianów spełniających

Przewidujemy współczynniki liczbowe wielomianów i znajdujemy je, rozwiązując poniższe równanie:

Całki funkcji będących ilorazem wielomianu oraz pierwiastka z trójmianu kwadratowego[edytuj | edytuj kod]

Całkowanie funkcji postaci

gdzie jest wielomianem stopnia można przeprowadzić używając tzw. wzoru Ostrogradskiego, będącego punktem wyjścia do zastosowania metody współczynników nieoznaczonych.

Wzór Ostrogradskiego[edytuj | edytuj kod]

gdzie jest pewnym wielomianem stopnia oraz jest pewną liczbą. Metoda współczynników nieoznaczonych polega w tym przypadku na wyznaczeniu postaci wielomianu oraz stałej

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]