Metryka Kerra

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Metryka Kerra – ścisłe, stacjonarne i osiowosymetryczne rozwiązanie równania Einsteina ogólnej teorii względności w próżni opisujące geometrię czasoprzestrzeni wokół obracającego się ważkiego ciała. Zostało ono znalezione w 1963 przez Roya P. Kerra, nowozelandzkiego matematyka[1].

Zgodnie z tą metryką obracające się ważkie ciało powinno wykazywać efekt Lense-Thirringa przewidujący, że materia w pobliżu masywnego wirującego obiektu musi się również obracać. Obrót taki nie jest spowodowany przez jakąkolwiek działającą na takie ciała siłą, lecz krzywizną czasoprzestrzeni. Metryka Kerra jest uogólnieniem metryki Schwarzschilda, opisującej geometrię czasoprzestrzeni wokół doskonale sferycznego, nieruchomego i obojętnego elektrycznie ciała. Innym tego typu rozwiązaniem jest odkryta w latach 1916–1918 metryka Reissnera-Nordströma. Metryka ta opisuje geometrię czasoprzestrzeni wokół nieruchomego, sferycznego, ale naładowanego elektrycznie ciała. W 1965 zostało odkryte najogólniejsze spośród tych trzech rozwiązań. Jest to metryka Kerra-Newmana, opisująca geometrię czasoprzestrzeni wokół obracającego się, naładowanego elektrycznie ciała. Relacje między tymi czterema metrykami są przedstawione w poniższej tabelce.

Brak obrotu (J = 0) Obrót (J ≠ 0)
Brak ładunku (Q=0) Schwarzschild Kerr
Ładunek elektryczny (Q ≠ 0) Reissner-Nordström Kerr-Newman

Metryka Kerra modeluje obiekty astronomiczne posiadające spin i będące źródłem pola grawitacyjnego to znaczy ciała scharakteryzowane przez moment pędu oraz masę. W szczególności na przykład gwiazdy neutronowe i wirujące czarne dziury. Ciała te mają kilka różnych szczególnych powierzchni, na których metryka ma osobliwości.


Ogólna teoria względności
Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }\,
Równanie Einsteina
Wstęp
Aparat matematyczny

Historia odkrycia metryki Kerra[edytuj]

W 1954 roku A.Z. Pietrow[2] wprowadza klasyfikację wszystkich możliwych symetrii tensora Weyla dla każdego zdarzenia w rozmaitości Lorentza. W 1956 F. Pirani analizuje promieniowanie grawitacyjne. Klasyfikacja Pietrowa stanowi podstawę jego artykułu na temat teorii promieniowania grawitacyjnego[3][4]. Rok później A. Trautman przedstawił pracę na temat własności tensora Weyla dla promieniowania grawitacyjnego[5]. W 1962 J. Goldberg i R.K. Sachs[6] pokazują, że jeśli tensor metryczny Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle \!g} rozmaitości Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \!M} spełnia równanie Einsteina, to tensor krzywizny konforemnej utworzony z jest „algebraicznie specjalny”. Obecnie wiadome jest,że wiele czasoprzestrzeni (jak na przykład czasoprzestrzenie Schwarzschilda[7][8], K. Gödla[9], Kerra[1] oraz fale o czołach płaskich i sferycznych) należy do tej klasy. Dla danej metryki na rozmaitości Lorentza Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle \!M} , można obliczyć tensor Weyla . Jeśli tensor Weyla jest algebraicznie specjalny w punkcie Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \! p \in M} , to istnieje zbiór kryteriów określający typ Pietrowa w , kryteria te znalezione są przez L.Bela w 1962[10][11]. W 1962 I. Robinson i A. Trautman[12][13] pokazują, że dla każdej przestrzeni Einsteina z zerową kongruencją bez ścinania istnieją współrzędne dla których metryka jest:

gdzie Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \! H=(\Delta \ln P-2r(\ln P)_{,u}-2m(u)/ r)} ,, jest funkcją Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \! P(\zeta,\bar \zeta,u)} , oraz gdzie Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle \!r} parametr afiniczny. Jedynym pozostającym równaniem jest:

Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle \Delta \Delta (\ln P)_{,u}-4m_{,u}=0,\Delta =2P^{2}\partial _{\zeta }\partial _{\bar {\zeta }}(2).}

W 1962 R. Kerr bada strukturę równań Einsteina stosując metodę tetrad i form rózniczkowych, zapisuje on równania krzywizny stosując zespolone zerowe tetrady i samo-dualne biwektory, następnie bada warunki ich całkowania[14]. W 1963 Kerr decyduje się na szukanie wszystkich obracających się algebraicznie specjalnych czasoprzestrzeni[15]. Takie rozwiązanie równań Einsteina zostaje znalezione przez niego w 1963[16][17][18][19][20][21],.

Czasoprzestrzeń Kerra[edytuj]

Niech Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \!ds_0^2} będzie pewną metryką taką, że

Zachodzi następujące

Twierdzenie Kerra[edytuj]

Jeśli jest stacjonarną, algebraicznie specjalną metryką, lub ogólniej rozwiązaniem następujących równań[22]:

Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \nabla [\nabla (\ln P)]= c, \nabla= P^2 \partial^2/ \partial \zeta \partial \bar \zeta (4a)}
Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle M=2\Sigma \nabla (\ln P)+\nabla \Sigma ,m=cu+A(\zeta ,{\bar {\zeta }})(4b)}

gdzie Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \!P,L} funkcje analityczne, Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle \!\Sigma ,K,M} funkcje pochodnych , Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \!u} parametr, Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle \!M} funkcja masy, szczególne rozwiązanie równań Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \! \nabla^2 K=0, \nabla^2 M=0} ,

wtedy również taką metryką jest

Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle ds^{2}=ds_{0}^{2}+{\frac {2m_{0}r}{r^{2}+\Sigma }}k^{2}(5)} ,

przy czym dowolna stała, Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \! k=du+a\sin^2 \theta d \phi} .

Twierdzenie 1[23][edytuj]

Niech Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle \!\xi ^{a}} pole Killinga i Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): \!\gamma geodezyjna z wektorem stycznym (afiniczny wektor) Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \!u^a} , który spełnia Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle \!u^{b}\nabla _{b}u^{a}=0} . Wtedy Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \! \xi_a u^a } jest stałe wzdłuż .

Twierdzenie 2[edytuj]

Jeżeli funkcje Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle \!f,g} , są stałe wzdłuż kongruencji (), to istnieje funkcja Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle \!h=\nabla _{a}f\nabla ^{a}g} , taka, że

Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle h=\frac{h_0}{r^2+a^2 \cos^2\theta}(6a), }

przy czym granica jest brana wzdłuż kongruencji[24].

Twierdzenie Robinsona[edytuj]

Stacjonarne, osiowosymetryczne, asymptotycznie płaskie rozwiązania równań Einsteina w próżni, które zawierają gładki, wypukły horyzont, oraz nie posiadają żadnej osobliwości na zewnątrz horyzontu, są jednoznacznie określone przez masę Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \!m} i moment pędu ,przy czym [25].

Twierdzenie Hawkinga[edytuj]

Jeśli czasoprzestrzeń jest stacjonarna, lecz nie statyczna w sąsiedztwie Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \!\mathcal{I^+}} oraz , wtedy wektor Killinga, typu czasowego w nieskończoności, staje się typu przestrzennego blisko horyzontu zdarzeń[26][27].

Definicja czasoprzestrzeni Kerra[edytuj]

Czasoprzestrzeń asymptotycznie płaska, stacjonarna, osiowosymetryczna i TP-niezmiennicza nazywa się czasoprzestrzenią Kerra.

Czasoprzestrzeń Kerra posiada tensor Killinga[28] taki, że:

Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle K_{ab}= (r^2-2mr+a^2)(l_al'_b+l'_b l_a)+r^2g_{ab},(7).}

Istnienie tego tensora ułatwia obliczanie orbit w czasoprzestrzeni Kerra.

Różne postacie metryki Kerra[edytuj]

Metryka Kerra we współrzędnych Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle \!(u,r,\theta ,\phi )} ma postać[29]:

Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle -2a\sin^2 \theta dr d\phi - (r^2+a^2 \cos^2\theta) d\theta^2 (9),}

Metryka (9) ma trzy wyrażenia pozadiagonalne. Wektory i Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle R^a=(0,0,0,1)} w tych współrzędnych są wektorami Killinga, gdyż metryka (9), nie zależy ani od Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): u ani od . Każda kombinacja liniowa tych wektorów jest też wektorem Killinga. Składowe: Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \! g_{uu},g_{u\phi},g_{\phi\phi}} , tej metryki posiadają nieciągłość w Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle \!r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta =0} .

Skalar Kretschmanna (Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \! =R_{abcd}R^{abcd}} ,Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle \!R_{abcd}} tensor krzywizny Riemanna), będący niezmiennikiem krzywiznowym jest

co gwarantuje, że nieciągłość położona w Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \!r=0} dla Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle \!\theta =\pi /2} , jest prawdziwą osobliwością nieusuwalną. Element liniowy (3) można przekształcić otrzymując:

Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle ds^{2}=ds_{0}^{2}+{\frac {2mr}{r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta }}(du+a\sin ^{2}\theta d\phi )^{2},(12)}

to znaczy rozważany w Twierdzeniu Kerra element liniowy.

Dla Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \! a\rightarrow 0} metryka sprowadza się do metryki Schwarzschilda.

Współrzędne kartezjańskie Kerra-Schilda[edytuj]

Transformacja współrzędnych

Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle r\cos \theta =z,(13b)}
Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle r+u= -t,(13c)}

prowadzi do metryki Kerra-Schilda:

Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle ds^{2}=ds_{0}^{2}+}
Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle +{\frac {2m^{3}}{r^{4}+a^{2}z^{2}}}\left[dt+{\frac {z}{r}}dz+{\frac {r}{r^{2}+a^{2}}}(xdx+ydy)-{\frac {a}{r^{2}+a^{2}}}(xdy-ydx)\right]^{2}(14)}

gdzie (odległością od początku układu współrzędnych Minkowskiego) wyznacza się z

Dla , powierzchnie Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \!r=const} są i elipsoidami obrotowymi, w płaszczyźnie Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle \!(x,y,z)} , takimi, że:

które dla Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle \!r=0} stają się dyskiem . Pierścień Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \!x^2+y^2=a^2, z=0} , który jest brzegiem dysku, jest osobliwością nieusuwalna, gdyż skalar Kretschmanna jest tutaj nieskończony.Natomiast . Tę zmianę współrzędnych można również zapisać jako:

Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle y=(r \sin\phi + a\cos\phi)\sin \theta = \sqrt{r^2+a^2}\sin \theta \sin (\phi- \arctan (a /r)) (17b).}

Istnieje również wektor Killinga typu czasowego , wektor Killinga związany z obrotami ma postać .

Gdy Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \! m \rightarrow 0} metryka Kerra-Schilda przechodzi w metrykę Minkowskiego.Gdy metryka Kerra-Schilda przechodzi w metrykę Schwarzschilda.

Współrzędne Boyera-Lindquista[edytuj]

Następująca transformacja współrzędnych Kerra

Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle u=t+r}

oraz

Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle t=t_{BL} +2m\int \frac{rdr}{r^2-2mr+a^2}(18a)}

prowadzi do metryki postaci:

Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle ds^{2}=\left[1-{\frac {2mr}{r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta }}\right]dt^{2}+{\frac {4mra\sin ^{2}\theta }{r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta }}dtd\phi -\left[{\frac {r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta }{r^{2}-2mr+a^{2}}}\right]dr^{2}}

We współrzędnych Boyera-Lindquista istnieje tylko jeden pozadiagonalny element w metryce. W metryce tej istnieje czasowy wektor Killinga oraz obrotowy wektor Killinga Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \!R^a=(0,0,0,1)} . Co więcej, składowe metryki Kerra posiadają interesującą własność, jeśli , Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle \!\chi _{\phi }\equiv (\partial _{\phi })_{(t,r,\theta )}} dwa wektory Killinga to zachodzi:

Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \xi_t \cdot \xi_t =g_{tt},(20a)}

gdzie Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \! \cdot } oznacza Iloczyn skalarny. Składowe metryki są rozbieżne dla , składowa Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \!g_{rr}} jest rozbieżna dła . Skalar Kretschmanna Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \! K} jest identyczny jak dla metryki we współrzędnych Kerra. Wskazując, że prawdziwa osobliwość jest położona na pierścieniu .

Dla metryka przybiera postać:

Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle ds^{2}=\left[1-{\frac {2m}{r}}+O\left({\frac {1}{r^{3}}}\right)\right]dt^{2}+\left[{\frac {4ma\sin ^{2}\theta }{r}}+O\left({\frac {1}{r^{3}}}\right)\right]d\phi dt}
Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle -\left[1+{\frac {2m}{r}}+O\left({\frac {1}{r^{2}}}\right)\right][dr^{2}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}d\phi ^{2})].(21)}

Skąd wynika, że jest masą i Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \!J=ma} jest momentem kątowym. Stosując współrzędne kartezjańskie otrzymuje się w tym przybliżeniu metrykę:

Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle ds^{2}\approx \left(1-{\frac {2m}{r_{1}}}\right)dt^{2}+{\frac {4ma\omega }{r_{1}^{3}}}(xdy-ydx)dt}
Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle -\left(1+{\frac {2m}{r_{1}}}\right)(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2})(22)}

identyczną z metryką Lensa-Thirringa[30]

gdzie odpowiednio moment bezwładności i prędkość kątowa ciała. Gdy Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \! t=const} i, składowa znika dla Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \!\theta =0,\pi} . Gdy zaś , składowa Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \!g_{rr}} jest rozbieżna. Składowe metryki Kerra wyrażone we współrzędnych Boyera-Lindquista są niezależne od czasu Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \!t} i kąta obrotu . Stąd geometria czasoprzestrzeni jest stacjonarna i osiowosymetryczna. Składowe metryki Kerra posiadają interesującą własność, jeśli , Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \! \chi_{\phi}\equiv (\partial_{\phi})_{(t,r,\theta)}} dwa wektory Killinga to zachodzi:

Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \xi_t \cdot \xi_t =g_{tt} (24a),}
Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle \xi _{t}\cdot \chi _{\phi }=g_{t\phi }(24b),}
Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \chi_{\phi} \cdot \chi_{\phi} =g_{\phi \phi} (24c).}

gdzie Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle \!\cdot } oznacza Iloczyn skalarny.

Własności geometrii czasoprzestrzeni Kerra[edytuj]

Czasoprzestrzeń Kerra charakteryzuje się pewnymi szczególnymi własnościami, które nie występują w czasoprzestrzeni Schwarschilda.Rozwiązanie Kerra jest uogólnieniem rozwiązania Schwarzschilda.W granicy, gdy Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle \!a\rightarrow 0} (granica Schwarzschilda), rozwiązanie to przechodzi w rozwiązanie Schwarzschilda. Czasoprzestrzeń wokół obracającego się wokół własnej osi masywnego obiektu opisuje metryka Kerra.Ze względu na parametr Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle a=J/m} należy rozważać trzy ważne przypadki:

  1. Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \!0< a<m} ,
  2. – przypadek ekstremalny,
  3. Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \!a>m} – goła osobliwość. Istnieje kilka ważnych powierzchni, które otaczają masywny obracający się obiekt. Pierwszą z nich jest

Horyzont zdarzeń[edytuj]

o promieniu: Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle r_{H}^{+}=m+{\sqrt {m^{2}-a^{2}}}} gdzie (w jednostkach geometrycznych Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): G=c=1 ). Horyzont zdarzeń działa jak przepuszczająca w jednym kierunku membrana. Każde ciało znajdujące się na zewnątrz horyzontu (Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle r> r_H^+} ), może przez niego przeniknąć, lecz żaden obiekt, który przez niego przeszedł (obszar Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle r_H^+>r} ), nie może już się stąd wydostać na zewnątrz (obszar Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle r> r_H^+} ). Promień tej powierzchni zależy od momentu pędu Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle J=am} , im szybciej obraca się gwiazda (masywny obiekt), tym mniejszy jest promień horyzontu zdarzeń i powierzchnia horyzontu zdarzeń jest mniejsza. Gdy Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): a=0 , moment pędu gwiazdy jest zerowy, gwiazda się nie obraca. Jej horyzont pokrywa się z horyzontem zdarzeń czarnej dziury Schwarzschilda. Promień wynosi . Gdy Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle a=m} , moment pędu gwiazdy jest największy, Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle J=m^{2}} , wtedy promień horyzontu zdarzeń jest Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle r_{H}^{+}=m} i jest najmniejszy z możliwych, mniejszy również od horyzontu Schwarzchilda wokół czarnej dziury o takiej samej masie.

Jeśli Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle a^{2}>m^{2}} czyli moment pędu przekracza pewną określoną wartość, , wtedy wielkość horyzontu zdarzeń jest określona przez wartość zespoloną Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle r_H^+\in \mathbb{C}} , której część rzeczywista równa Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): m określa jego promień. Przypadek ten można rozważać jako niefizyczny na mocy sformułowanej przez Rogera Penrose’a hipotezy kosmicznej cenzury, wedle której osobliwości bez horyzontu miałyby nie istnieć. Według niektórych autorów w zakresie dopuszczalnych wartości momentu pędu istnieje również drugie rozwiązanie określające promień drugiego horyzontu istniejącego równocześnie z opisanym wcześniej. Ten drugi horyzont miałby mieć promień: Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle r_H^+=m- \sqrt{m^2-a^2}} . W zakresie momentów pędów takich, że Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle J<M^{2}} w rotującej czarnej dziurze istnieją zatem dwa rozwiązania skrywające środek gwiazdy, natomiast przy przekroczeniu największej wartości parametru Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): a liczba horyzontów redukuje się do jednego. Ten horyzont w rozwiązaniu Kerra uniemożliwiłby nie tylko bezpośrednią obserwację osobliwości, ale podobno ze względu na kształt potencjału efektywnego opisującego ruch cząstki próbnej wzdłuż współrzędnej radialnej miałby tworzyć jednocześnie barierę nie przepuszczającą do wnętrza czarnej dziury cząstek elementarnych, jak można przypuszczać – o określonym zakresie energii.

Zasada kosmicznego cenzora[edytuj]

Jakiekolwiek całkowite grawitacyjne zapadanie się ciała nigdy nie doprowadzi do utworzenia nagiej osobliwości. Wszystkie osobliwości są ukryte za horyzontem zdarzeń, wewnątrz czarnej dziury. Osobliwości te nie będą widziane przez zewnętrznych dalekich obserwatorów[31].

Ściślejszy matematycznie wywód na temat horyzontu zdarzeń jest przedstawiony poniżej.

Powierzchnia horyzontu zdarzeń[edytuj]

Horyzonty zdarzeń wyznacza się szukając hiperpowierzchni danych warunkiem, , czyli gdy kontrawariantna składowa metryki Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \!g^{rr}} znika. Stosując współrzędne Boyera-Lindquista, otrzymujemy:

Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle g^{rr}=-\frac{r^2-2mr+a^2}{r^2+a^2\cos^2 \theta} (25).}

Tak więc

Oznacza to, że w czasoprzestrzeni Kerra istnieją dokładnie dwa horyzonty zdarzeń: zewnętrzny, opisany równaniem Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle r=\!r^+_H} i wewnętrzny, opisany równaniem , gdzie:

Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle r^{\pm}_H \equiv r^{\pm}= m^2 \pm \sqrt{m^2-a^2} (27).}

Im moment pędu czarnej dziury Kerra jest większy, tym mniejszy jest promień horyzontu zdarzeń w czasoprzestrzeni Kerra. W granicy Schwarzschilda Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \!a\rightarrow 0} , horyzonty te redukują się do Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \!r=r_H^+=2m} oraz Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \!r=r_H^-=0} .

Osobliwość czasoprzestrzeni Kerra[32][edytuj]

Obliczenie niezmiennika krzywiznowego pokazuje, że czasoprzestrzeń Kerra posiada prawdziwą osobliwość krzywiznową usytuowaną na pierścieniu Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \!x^2+y^2=a^2, z=0} , o promieniu Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \!a w płaszczyźnie równikowej Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle \!z=0} . Osobliwość ta jest schowana za wewnętrznym horyzontem zdarzeń określonym przez i przez to jest niewidzialna dla zewnętrznego obserwatora.

Następną powierzchnią charakteryzującą czasoprzestrzeń Kerra jest ergosfera.

Ergosfera[edytuj]

W obszarze Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle r>r_H^+} to jest na zewnątrz horyzontu zdarzeń nie jest możliwa równowaga statyczna. Obserwuje się tu efekt Lensa-Thirringa. Każdy obserwator jest tu wleczony razem z czasoprzestrzenią wokół centralnego wirującego ciała. Kierunek jego obrotu jest ten sam jaki ma ciało centralne. Obszar ten nazywa się ergoregionem (lub ergoobszarem) i jest ograniczony powierzchnią zwaną ergosferą (często dla prostoty ergoobszar nazywa się po prostu ergosferą). Nazwa ergosfera (gr. ergon- praca, energia) została wprowadzona przez R. Ruffiniego i J.A. Wheelera[33]. Penrose przypuszcza, że istnieje pewien proces, pozwalający na odzyskanie energii z czarnej wirującej dziury i stąd bierze się jej nazwa. Ergosfera jest elipsoidą obrotową, która na biegunach (Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle \theta =0,\pi } ) styka się z horyzontem zdarzeń. Promień ergosfery zależy od kąta Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \!\theta} i jest równy

Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle r_{E}^{+}=m+{\sqrt {m^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta }}(28).}

Gdy Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \!a=0} , to Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle \!r_{E}^{+}=2m} , a więc ergosfera pokrywa się z horyzontem zdarzeń czasoprzestrzeni Schwarzschilda. Gdy Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle \!a=m} , to na płaszczyźnie równikowej (dla ), Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \! r_E^+=2m} oraz na biegunach (), gdzie też ergosfera ulega spłaszczeniu. Na rys.1 przedstawione są dwie powierzchnie otaczające czarną obracającą się dziurę, horyzont zdarzeń i powierzchnia ergosfery.

Dwie powierzchnie na których metryka Kerra posiada osobliwości. Wewnętrzna powierzchnia jest sferyczna horyzont zdarzeń, podczas gdy zewnętrzna powierzchnia jest to elipsoida. Ergosfera leży między tymi dwoma powierzchniami; wewnątrz tej objętości, czysto czasowa składowa gtt jest ujemna, i.e., działa jako czysto przestrzenna składowa metryki. Cząstki wewnątrz ergosfery muszą dokonywać obrotu razem z obracającą się wewnętrzną masą

Granica stacjonarna jako zewnętrzna powierzchnia ergosfery[edytuj]

Niech . Jedną z własności metryki Kerra jest obecność granicy stacjonarnej. Jest to powierzchnia będąca brzegiem obszaru w którym cząstki poruszające się po krzywych typu czasu, pozostając w spoczynku w stosunku do dalekiego obserwatora w nieskończoności mogą poruszyć się po orbitach wektora Killinga. To znaczy,że na powierzchni tej, ciała poruszające się z prędkościę światła są stacjonarne w relacji z nieskończenie dalekim obserwatorem. Powierzchnia granicy stacjonarnej czasoprzestrzeni Kerra (zwana tez powierzchnią ergosfery) jest powierzchnią czasową wszędzie z wyjątkiem dwóch punktów położonych na osi (Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle \!\theta =0,\pi } ). W punktach tych ergosfera styka się z zewnętrznym horyzontem zdarzeń. Natomiast tam wszędzie gdzie powierzchnia jest typu czasowego, cząstki mogą przez nią przechodzić w obu kierunkach. To znaczy, że każde ciało znajdujące się w ergosferze może z tej ergosfery uciec. Powierzchnia ta zadana jest warunkiem:

Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle g_{tt}=0(29)}

gdzie Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \!g_{tt}} jest składową kowariantną tensora metrycznego. We współrzędnych Boyera-Lindquista:

więc

Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle g_{tt}=0 \Leftrightarrow (1- \frac{2mr}{r^2+a^2\cos^2\theta})=0(31)}
Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle \Leftrightarrow r\equiv r_{E}^{\pm }=m\pm {\sqrt {m^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta }}(32)}

Istnieją dwie powierzchnie ergosfery: zewnętrzna opisana równaniem Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle \!r=r_{E}^{+}} oraz wewnętrzna Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \!r=r_E^- } . Obszar między a nazywa się ergosferą.Powierzchnie ergosfery zależą od trzech parametrów: masy, momentu obrotowego i kąta Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle \!\theta } . Na płaszczyźnie równikowej powierzchnia zewnętrzna jest największa, jest ona Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle \!r=r_{E}^{+}=2m} (ten sam wynik otrzymuje się w granicy Schwarzschilda (Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle \!a\rightarrow 0} ), równocześnie w tym przypadku powierzchnia wewnętrzna znika Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \!r=r^-_E=0} . Na biegunach (Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \! \theta=0,\pi} ), powierzchnie ergosfery dane są równaniem (w granicy Schwarzschilda znowu Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle \!r=2m} i ). Można łatwo się przekonać, że zewnętrzna powierzchnia ergosfery jest powierzchnią spłaszczonej elipsoidy obrotowej (Fig.1). W obszarze Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle r>r_{E}^{+}} , czyli na zewnątrz ergosfery wektor Killinga dla dalekiego obserwatora w nieskończoności, wskazuje kierunek utożsamiany z upływem czasu. Na powierzchni Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle \!r=r_{E}^{+}} wektor Killinga jest typu zerowego. W obszarze Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle \!r_{E}^{+}>r>r_{E}^{-}} (wnętrze ergosfery) wektor Killinga jest typu przestrzennego.

Obserwator znajdujący się w tym obszarze, jest wleczony razem z całą otaczającą go materią wokół wirującego centralnego ciała, czyli zachodzi efekt Lensa-Thirringa.

Powierzchnia przesunięcia ku czerwieni[edytuj]

Powierzchnia nieskończonego przesunięcia ku czerwieni dana jest warunkiem Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \!g_{tt}=0} . We współrzędnych Boyera-Lindquista Zatem powierzchnie nieskończonego przesunięcia ku czerwieni pokrywają się z powierzchniami zewnętrznej i wewnętrznej ergosfery

Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle r^{\pm} \equiv r^{\pm}_{RS}\equiv r^{\pm}_E (33),}

w przeciwieństwie do przypadku czasoprzestrzeni Schwarzschilda. W rozwiązaniu Schwarzschilda powierzchnia nieskończonego przesunięcia ku czerwieni Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \! r_R^+} i horyzont zdarzeń Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \! r_H^+} pokrywają się, w rozwiązaniu Kerra powierzchnia nieskończonego przesunięcia ku czerwieni i horyzont zdarzeń Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle \!r_{H}^{+}} są różne[34]. Horyzont zdarzeń w czasoprzestrzeni Kerra jest mniejszy aniżeli horyzont zdarzeń w czasoprzestrzeni Schwarzschilda.

Proces Penrose'a[edytuj]

Z nieskończenie dalekiego laboratorium wysyłamy do ergosfery złożoną czasteczkę . Cząsteczka ta o energii Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle \!E/c=\xi ^{a}p_{a}} i momencie obrotowym Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \! J=\chi^a p_a} (Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \! p_a} 4-wektor momentu cząsteczki) rozpada się na dwie cząstki Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \!A} i Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \!B} .Zgodnie z zasadą zachowania energii, pędu i momentu pędu Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \!E=E_A+E_B} ,Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle \!p=p_{A}+p_{B}} , Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \!J =J_A+J_B} . Ponieważ Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \! \xi^a} jest typu przestrzennego, a więc można tak wybrać Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \!p_B} ,że Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \! E_B= \xi^a p_B<0} . Energia Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \! E_B} jest mierzona przez obserwatora w nieskończenie dalekim obserwatorium, wektor Killinga jest dla dalekiego obserwatora typu czasowego. Natomiast dla obserwatora w ergosferze energia Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \! E_B } jest dodatnia. Iloczyn skalarny wektora typu przestrzennego i typu czasowego może być ujemny. Cząsteczka wpada do czarnej dziury przekraczając horyzont zdarzeń i nie może się stąd wydostać, gdyż powierzchnia horyzontu zdarzeń działa jak półprzepuszczalna membrana. Cząsteczka Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \!A} wylatuje z powrotem z ergosfery niosąc ze sobą więcej energii niż przyniosła pierwotna cząstka Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \! AB} . Jej energia wynosi teraz Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \! E_A=E-E_B> E} [35][36].

Relacje między powierzchniami[edytuj]

Relacje między powierzchniami ergosfery i powierzchniami horyzontów zdarzeń są następujące:

Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle r_{E}^{+}(m,a,\theta )\geq r_{H}^{+}(m,a)\geq r_{H}^{-}(m,a)\geq r_{E}^{-}(m,a,\theta )(34)}

oraz

Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle r^+_E(m,a,\theta)= r^+_H(m,a), dla \, \theta=0,\pi(35a)}
Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle r_{E}^{-}(m,a,\theta )=r_{H}^{-}(m,a),dla\,\theta =0,\pi (35b).}

Powierzchnia Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \!r_E^-=0} dotyka pierścieniową powierzchnię osobliwości w Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \!r=0} i Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \!\theta=\pi/2} .Powierzchnie horyzontów leżą więc pomiędzy powierzchniami nieskończonego przesunięcia ku czerwieni (pomiędzy powierzchniami zewnętrznej i wewnętrznej egosfery).

Charakterystyki czasoprzestrzeni Kerra[edytuj]

Zależności
Powierzchnia horyzontów zdarzeń Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle A^{\pm}_H=4\pi(r^2_{\pm}+a^2)=8\pi(m^2\pm \sqrt{m^4-m^2a^2})}
Powierzchnia ergosfery zewnętrznej Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle A_{E}^{+}=4\pi \left[(2m)^{2}+a^{2}+{\frac {3a^{4}}{20m^{2}}}+{\frac {33a^{6}}{280m^{4}}}+{\frac {191a^{8}}{2880m^{6}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {a^{10}}{m^{8}}}\right)\right]}
Powierzchnia ergosfery wewnętrznej Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle A_{E}^{-}=4\pi \left[{\frac {2{\sqrt {2}}-1}{3}}a^{2}+{\frac {12{\sqrt {2}}-13a^{4}}{20m^{2}}}+{\frac {292{\sqrt {2}}-283a^{6}}{280m^{4}}}+{\mathcal {O}}({\frac {a^{8}}{m^{6}}})\right]}
Półosie elipsoidy obrotowej Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle S_x=S_y=\sqrt{2mr_{\pm}}\leqslant 2m, S_z=r_{\pm}\leqslant \sqrt{2mr_{\pm}}}
Mimośród
Skalar Ricciego na równiku Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle R \rightarrow \frac{2(r_{\pm}+a^2)}{r^4_{\pm}}}
Skalar Ricciego na biegunach Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle R\rightarrow {\frac {2(r_{\pm }^{2}+a^{2})}{(r_{\pm }^{2}+a^{2})^{3}}}}

Powierzchnie czasoprzestrzeni Kerra dla różnych parametrów[edytuj]

Powierzchnie czasoprzestrzeni Kerra dla różnych parametrów
Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \!0<a<m} Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \!a=m} Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle \!a>m}
Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \! r_E^{\pm}=m\pm \sqrt{m^2-a^2\cos^2 \theta}} Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \! r_E^{\pm}=m (1\pm \sin \theta)}
Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \!r^{\pm}_H = m^2 \pm \sqrt{m^2-a^2}} Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \!r^{\pm}_H = m^2 } Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \!r^{\pm}_H \in \mathbb{C}}

Regularność rozwiązań Kerra[edytuj]

Rozwiązanie Kerra jest regularne w trzech obszarach:

Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \Omega_I: r_H^+ <r <\infty (36a),}
Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \Omega_{II}:r_H^-<r<r_H^+(36b),}
Diagram sklejania obszarów Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle \!\Omega _{I},\Omega _{II},\Omega _{III}.}
Struktura rozwiązania Kerra

Obszar Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \!\Omega_I } jest stacjonarny, asymptotycznie płaski na zewnątrz horyzontu zdarzeń Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \!r_H^+} .

Obszar nie jest stacjonarny.

Obszar zawiera:

  • osobliwość pierścieniową,
  • zamknięte krzywe czasowe.

Wektor Killinga w tym obszarze jest typu czasowego. Krzywe czasowe są zamknięte przez co przyczynowość nie jest spełniona. Jeśli bowiem krzywe te reprezentują linie świata obserwatorów, to podróżujący w kierunku przyszłości obserwator spotka się sam ze sobą w przeszłości.

Uwaga[edytuj]

W obszarach i Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \!\Omega_{II}} brak jest pogwałcenia przyczynowości.

Struktura rozmaitości[edytuj]

Sklejając odpowiednio obszaryParser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \!\Omega_{I}} ,Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle \!\Omega _{II}} , otrzymuje się rozmaitość Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle \!M^{4}} [37][38][39][40].

  1. Do obszaru Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \!\Omega_{I}} można dokleić przy Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \! r \rightarrow r_+} dwa obszary typu Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \!\Omega_{II}} (co odpowiada dla Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle \!t\rightarrow -\infty } białej dziurze, a przy Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \! t \rightarrow + \infty} czarnej dziurze.
  2. Do obszaru Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \!\Omega_{II}} można dokleić
    1. dwa obszary , gdzie Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \! r \rightarrow r_-}
    2. dwa obszary Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \!\Omega_{I}} , gdzie Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \! r \rightarrow r_+}
  3. do obszaru Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \!\Omega_{III} } można dokleić dwa obszary przy Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle \!r\rightarrow r_{-}} . Można skonstruować wielospójne rozwiązanie Kerra dla każdego punktu Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \! x \in M^4 } kładąc:
Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle {\bar {M}}^{4}=M^{4}/B.}

Istnieją następujące zbiory możliwych przejść w przyszłość po liniach typu czasowego:

Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle obszar(W_{n},\Omega _{III})\rightarrow obszar(W_{n},\Omega _{II})\simeq obszar(V_{n},\Omega _{II})(37c)}

Wielospójna rozmaitość Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \!\bar M^4} , pozwala na istnienie cykli czasowych, których początek i koniec należą do obszaru , to znaczy do obszaru zewnętrznego obserwatora[41]. W ten sposób w rozmaitości niejednospójnej Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \!\bar M_4} znajdują się cykle typu czasowego, które zaczynają się i kończą w obszarze Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \Omega_I} obserwatora zewnętrznego.

Przypisy

  1. a b R.P. Kerr, Phys.Rev.Letters vol. 11(1963) p.238-39.
  2. A.Z. Petrov, 1954, Classification of spaces defined by gravitational fields, Uch. Zapiski Kazan Gos. Univ. 144, 55 (English translation Gen. Rel. Grav. 32 (2000) 1665).
  3. F. A. E. Pirani, On the physical significance of the Riemann tensor, Acta Phys. Polon. 15, 389 (1956).
  4. F.A.E. Pirani, Invariant formulation of gravitational radiation theory, Phys.Rev.(1957)105,1089.
  5. A. Trautman, Radiation and boundary conditions in the theory of gravitation, Bull.Acad.Pol.Sci.,Serie sci.math.,astr.et phys. „'VI”'(1958),407-412.
  6. J.N. Goldberg, R.K. Sachs, A theorem on Petrov Types, Acta Phys. Polon., Suppl.22(1962),13.
  7. K.Schwarzschild,Űber das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie, Sitzber. Deut.Akad.Wiss.Berlin, Kl.Math.-Phys.Tech.(1916), p. 189-196.
  8. K. Schwarzschild, Űber das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flussigkeit nach der Einsteinschen Theorie, Sitzber. Deut.Akad.Wiss.Berlin, Kl.Math.-Phys.Tech.(1916), p. 424-434.
  9. K. Gödel, An example of new type of cosmological solution of Einstein’s field equations of gravitations, Rev. Mod.Phys.”'21”' (1949) p. 447-50.
  10. L.Bel,Cah.de Phys. 16(1962)59.
  11. L. Bel, Cah. de Phys. n. 138 (1962) p. 59-81.
  12. I. Robinson, A. Trautman, Some spherical gravitational waves in general relativity, Proc. Roy. Soc. Lond. A (1962) 265, 463.
  13. H. Stephani, D. Kramer, M. Maccallum, C. Hoenselaers, E. Herlt, Exact Solutions of Einstein’s field equations, Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Cambridge University Press, Cambridge, 2003, p. 421, ISBN 0 521 46136 7.
  14. H. Stephani, D. Kramer, M. Maccallum, C. Hoenselaers, E. Herlt, Exact Solutions of Einstein’s field equations, Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Cambridge University Press, Cambridge, 2003, p. 407-419, ISBN 0 521 46136 7.
  15. R.P. Kerr, Discovering the Kerr and Kerr-Schild,arXiv:0706.1109v2 (ang.) [gr-qc]14 Jan 2008, p. 7.
  16. R.P. Kerr, Gravitational field of a spinning mass as an example of algebraically special metrics, Phys. Rev. Lett. 11, (1963) 237.
  17. R.P. Kerr, Discovering the Kerr and Kerr-Schild metrics,arXiv:0706.1109v2 (ang.) [gr-qc]14 January 2008.
  18. H. Stephani, D. Kramer, M. Maccallum, C. Hoenselaers, E. Herlt, Exact Solutions of Einstein’s field equations, Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Cambridge University Press, Cambridge, 2003, ISBN 0 521 46136 7.
  19. A. Krasiński, E. Verdaguer, R.P. Kerr, Editorial note to: R.P. Kerr, A. Schild, A new class of vacuum solutions of theb Einstein field equations, Gen.Relativ.Gravit (2009) 41:2469-2484, DOI: 10.1007/s10714-009-0856-0
  20. M. Head: http:// www.listener.co.nz/ issue/ 3359/ features/ 2629/ man_of_mystery.html.
  21. R.P. Kerr, Gravitational field of a spinning mass as an example of algebraically special metrics, Phys.Rev.Lett.11,(1963) 237.
  22. R.P. Kerr, Discovering the Kerr and Kerr-Schild,arXiv:0706.1109v2 (ang.) [gr-qc]14 Jan 2008, p. 15.
  23. M. Ludvigsen, General Relativity, a Geometric Approach, Cambridge University Press, 1999, tł. franc. La Relativité Générale. Une approche géométrique, Préface de R. Penrose, Dunod, Paris 2005, p. 139,ISBN 2 10 049688 3.
  24. M. Ludvigsen, General Relativity, a Geometric Approach, Cambridge University Press, 1999, tł. franc. La Relativité Générale. Une approche géométrique, Préface de R. Penrose, Dunod, Paris 2005, p. 141, ISBN 2 10 049688 3.
  25. D.C. Robinson, 1975, Phys. Rev. Lett. 34, p. 901.
  26. S.W. Hawking, G.F.R. Ellis, The large scale structure of space-time,Cambridge Monographs on Mathematical Physics, Cambridge University Press, 1973, ISBN 0 521 09906 4, p. 326.
  27. M. Demiański, „Relatyvistic astrophysics”, Polish Scientific Publishers, Warszawa, 1985, Pergamon Press, Oxford, New York, Toronto, Paris, Frankfurt, p. 182, ISBN 83-01-04352-0.
  28. Ludvigsen, General Relativity, a Geometric Approach, Cambridge University Press, 1999, La Relativite generale, R. Penrose preface, Dunod Paris, 2005, p. 179, ISBN 2 10 049688 3.
  29. M. Visser, The Kerr spacetime: A brief introduction,arXiv:0706.0622 (ang.) [gr-qc].
  30. B. Léauté, Etude de la métrique de Kerr, Ann.I.H.P., sec. A, tome 8, n°1 (1968), p. 93-115.
  31. R. Wald, General Relativity, p. 302-305, The University of Chicago Press, Chicago and London, ISBN 0-226-87033-2.
  32. R.P. Kerr, Discovering the Kerr and Kerr-Schild,arXiv:0706.1109v2 (ang.) [gr-qc]14 Jan 2008, p. 21.
  33. R. Ruffini, J.A. Wheeler „Relativistic cosmology and space platforms”, Proceedings of the Conference on Space Physics, European Space Research Organisation, Paris, France, s. 45-174.
  34. M. Visser, The Kerr spacetime: A brief introduction, arXiv:0706.0622 (ang.) [gr-qc].
  35. M. Demiański, „Relativistic astrophysics”, Polish Scientific Publishers, Warszawa, 1985, Pergamon Press, Oxford, New York, Toronto, Paris, Frankfurt, p. 186-87, ISBN 83-01-04352-0.
  36. R. Penrose, R.M. Floyd, 'Extraction of rotational energy from a black hole', Nature, 229, 177-9.
  37. J.P. Boresma, Time orientable identification of the Kruskal manifold, Phys. Rev. D 55, (1996) p. 2174-2176, DOI: 10.1103/PhysRevD.55.2174
  38. A.E.I. Johansson, H. Umezawa, Y. Yamanaka, Dissipation of interacting fields in the presence of black holes, Class. Quantum Grav. 7, p. 385-390 DOI: 10.1088/0264-9381/7/3/012
  39. S. Shankaranarayanan, K. Srinivasan, T. Padmanabhan, Method of complex paths and general covariance of Hawking radiation, Modern Physics Letters A, Modern Physics Letters, World Scientific Publishing Company, arXiv:0903.3723 (ang.)
  40. B. Dubrovine, S. Novikov, A. Fomenko, Géomètrie Contemporaine. Méthodes et Applications,2 partie:Geomètrie et topologie des variétés:ed.Mir, Moscou (1982).
  41. B. Carter, Complete Analytic Extension of the Symmetry Axis of Kerr s Solution of Einstein’s Equations, Phys. Rev. vol. 141, Issue 4 (1965) 1242-1247.

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  • M. Demiański, Relatyvistic astrophysics, Polish Scientific Publishers, Warszawa,1985, Pergamon Press, Oxford, New York, Toronto, Paris, Frankfurt, ISBN 83-01-04352-0.
  • B. Dubrovine, S. Novikov, A. Fomenko, Géomètrie Contemporaine. Méthodes et Applications, 2 partie: Geomètrie et topologie des variétés.Méthodes et Applications „2 partie: Geomètrie et topologie des variétés:editions Mir, Moscou 1982
  • S.W. Hawking, G.F.R. Ellis, The large scale structure of space-time”, Cambridge University Press 1973, ISBN 0 521 09906-4
  • W. Kopczyński, A.Trautman, Spacetime and Gravitation, J. Wilez&Sons, Chichester, New York, Toronto, Singapore, Wyd. PWN Polish Scientific Publishers, Warszawa 1992, ISBN 83-01-09995-X.
  • J. Plebański, A. Krasiński, An Introduction to general relativity and cosmology, Cambridge University Press 2006, ISBN 978-0-521-85623-2.
  • H. Stephani, D. Kramer, M. Maccallum, C. Hoenselaers, E. Herlt, Exact Solutions of Einstein’s field equations, Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0 521 46136 7
  • E.F. Taylor, J.A. Wheeler, Exploring Black Holes, Introduction to General Relativity, Princeton University Press, 2000, ISBN 0-201-38423-X.
  • R.M. Wald, General Relativity, The University of Chicago Press, Chicago and London 1984, ISBN 0-226-87033-2.
  • W. Thirring, Fizyka matematyczna, t. 2, Klasyczna teoria pola, tł. S. Bażański, t. 2, Wyd. PWN, Warszawa 1985, ISBN 83-01-04349-0.