Miara Diraca

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Miara Diracamiara, która zbiorowi (mierzalnemu) A przestrzeni mierzalnej X przypisuje wartość 1, jeżeli A zawiera ustalony punkt x należący do X; w przeciwnym wypadku miara Diraca zbioru A wynosi 0.

Definicja[edytuj]

Diagram pokazuje wszystkie podzbiory zbioru \{x,y,z\}. Miara Diraca \delta_x przyjmuje wartość 1 dla podzbiorów zawierających element x, zaś wartość 0 dla pozostałych podzbiorów.

Jeżeli (X,{\mathfrak M}) jest przestrzenią mierzalną oraz x jest elementem przestrzeni X, to miarą Diraca skoncentrowaną w punkcie x nazywa się miarę \delta_x taką że dla dowolnego zbioru mierzalnego A \in {\mathfrak M} :

\delta_x(A) = \begin{cases} 1, & x \in A, \\ 0, & x \notin A. \end{cases}

Miara Diraca jest miarą probabilistyczną.

Nazwa miary pochodzi od funkcji delta Diraca, będącej dystrybucją na prostej rzeczywistej (miary można uważać za specjalny rodzaj dystrybucji). Dla miary Diraca i dowolnej funkcji mierzalnej f na X zachodzi tożsamość:

\int\limits_X~f(y) \, \mathrm{d} \delta_x(y) = f(x)

lub w równoważnej formie

\int_{X} f(y) \delta_{x} (y) \, \mathrm{d} y = f(x).

Powyższa tożsamość jest często używana w definicji delty Diraca, używa się jej także w całce Lebesque'a.

Własności[edytuj]

Niech \delta_x oznacza miarę Diraca określoną w pewnym punkcie x przestrzeni mierzalnej (X, \mathfrak M).

  • \delta_x jest miarą probabilistyczną (w szczególności jest miarą skończoną).

Niech (X, \tau) będzie przestrzenią topologiczną, a \mathfrak M będzie σ-ciałem podzbiorów X zawierającym wszystkie borelowskie podzbiory X oraz niech \delta_x jest miarą Diraca skoncentrowaną w pewnym punkcie x przestrzeni X.

A = \mathbb R^n \setminus \{x\}, B = \{x\}\, oraz
\delta_x(A) = \lambda^n(B) = 0\,.