Miara Diraca

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Miara Diracamiara, która zbiorowi (mierzalnemu) przestrzeni mierzalnej przypisuje wartość 1, jeżeli zawiera ustalony punkt należący do w przeciwnym wypadku miara Diraca zbioru wynosi 0.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Diagram pokazuje wszystkie podzbiory zbioru Miara Diraca przyjmuje wartość 1 dla podzbiorów zawierających element zaś wartość 0 dla pozostałych podzbiorów

Jeżeli jest przestrzenią mierzalną oraz jest elementem przestrzeni to miarą Diraca skoncentrowaną w punkcie nazywa się miarę taką, że dla dowolnego zbioru mierzalnego

Miara Diraca jest miarą probabilistyczną.

Nazwa miary pochodzi od funkcji delta Diraca, będącej dystrybucją na prostej rzeczywistej (miary można uważać za specjalny rodzaj dystrybucji). Dla miary Diraca i dowolnej funkcji mierzalnej na zachodzi tożsamość:

lub w równoważnej formie

Powyższa tożsamość jest często używana w definicji delty Diraca; używa się jej także w całce Lebesque’a.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Niech oznacza miarę Diraca określoną w pewnym punkcie przestrzeni mierzalnej

  • jest miarą probabilistyczną (w szczególności jest miarą skończoną).

Niech będzie przestrzenią topologiczną, a będzie σ-ciałem podzbiorów zawierającym wszystkie borelowskie podzbiory oraz niech jest miarą Diraca skoncentrowaną w pewnym punkcie przestrzeni

  • Miara Diraca jest miarą ściśle dodatnią wtedy i tylko wtedy, gdy jest przestrzenią typu T0.
  • Miara Diraca, jako miara skończona, jest w szczególności lokalnie skończona.
  • Miara Diraca jest wewnętrzną regularna: wszystkie zbiory jednoelementowe są zwarte. W szczególności miary Diraca są miarami Radona.
  • Jeśli zbiór jest domknięty w topologii to jest on nośnikiem miary (w przeciwnym przypadku nośnikiem jest domknięcie zbioru w rozważanej topologii). Miary Diraca (na przestrzeniach typu T1) są jedynymi miarami probabilistycznymi o jednopunktowym nośniku.
  • Jeżeli jest -wymiarową przestrzenią euklidesową z -algebrą zbiorów borelowskich oraz -wymiarową miarą Lebesgue’a to jest miarą osobliwą względem gdzie
oraz