Miara Diraca

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Miara Diracamiara, która zbiorowi (mierzalnemu) przestrzeni mierzalnej przypisuje wartość 1, jeżeli zawiera ustalony punkt należący do ; w przeciwnym wypadku miara Diraca zbioru wynosi 0.

Definicja[edytuj]

Diagram pokazuje wszystkie podzbiory zbioru . Miara Diraca przyjmuje wartość 1 dla podzbiorów zawierających element , zaś wartość 0 dla pozostałych podzbiorów.

Jeżeli jest przestrzenią mierzalną oraz jest elementem przestrzeni , to miarą Diraca skoncentrowaną w punkcie nazywa się miarę taką że dla dowolnego zbioru mierzalnego  :

Miara Diraca jest miarą probabilistyczną.

Nazwa miary pochodzi od funkcji delta Diraca, będącej dystrybucją na prostej rzeczywistej (miary można uważać za specjalny rodzaj dystrybucji). Dla miary Diraca i dowolnej funkcji mierzalnej na zachodzi tożsamość:

lub w równoważnej formie

Powyższa tożsamość jest często używana w definicji delty Diraca, używa się jej także w całce Lebesque'a.

Własności[edytuj]

Niech oznacza miarę Diraca określoną w pewnym punkcie przestrzeni mierzalnej .

  • jest miarą probabilistyczną (w szczególności jest miarą skończoną).

Niech będzie przestrzenią topologiczną, a będzie σ-ciałem podzbiorów zawierającym wszystkie borelowskie podzbiory oraz niech jest miarą Diraca skoncentrowaną w pewnym punkcie przestrzeni .

  • Miara Diraca jest miarą ściśle dodatnią wtedy i tylko wtedy, gdy jest przestrzenią typu T0.
  • Miara Diraca, jako miara skończona, jest w szczególności lokalnie skończona.
  • Miara Diraca jest wewnętrzną regularna: wszystkie zbiory jednoelementowe są zwarte. W szczególności miary Diraca są miarami Radona.
  • Jeśli zbiór jest domknięty w topologii , to jest on nośnikiem miary (w przeciwnym wypadku nośnikiem jest domknięcie zbioru w rozważanej topologii). Miary Diraca (na przestrzeniach typu T1) są jedynymi miarami probabilistycznymi o jednopunktowym nośniku.
  • Jeżeli jest -wymiarową przestrzenią euklidesową z -algebrą zbiorów borelowskich oraz -wymiarową miarą Lebesgue'a , to jest miarą osobliwą względem : , gdzie
, oraz
.