Miara Hausdorffa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Miara Hausdorffa – rodzaj miary zewnętrznej, która przypisuje liczbę z zakresu do każdego zbioru w przestrzeni lub, bardziej ogólnie, w dowolnej przestrzeni metrycznej. Zerowymiarowa miara Hausdorffa to liczba punktów w zbiorze (jeśli jest skończony) lub jeśli jest nieskończony. Jednowymiarowa miara Hausdorffa zwykłej krzywej w jest równa jej długości. Podobnie, dwuwymiarowa miara Hausdorffa mierzalnego podzbioru w jest proporcjonalna do powierzchni tego zbioru. Stąd wynika, że miara Hausdorffa jest uogólnieniem wyliczenia, długości, powierzchni lub objętości. Istnieją −wymiarowe miary Hausdorffa dla dowolnego , które niekoniecznie jest całkowite. Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska Feliksa Hausdorffa. Miary te są podstawowe w geometrycznej teorii miary. Pojawiają się one naturalnie w analizie harmonicznej lub teorii potencjału.

Definicja formalna[edytuj]

Niech będzie przestrzenią metryczną. Dla dowolnego podzbioru , niech oznacza jego średnicę, to jest

Niech będzie dowolnym podzbiorem , a liczbą rzeczywistą. Definiuje się

Należy zauważyć, że zmniejsza się monotoniczne wraz z wzrostem , gdyż im większe jest , tym więcej zestawów zbiorów jest dozwolonych, powodując, że infimum jest mniejsze. Zatem granica istnieje, lecz może być nieskończona. Niech

Można zauważyć, że jest miarą zewnętrzną. Nazywa się ją −wymiarową miarą Hausdorffa z .

Według powyższej definicji zbiory pokrywające są dowolne. Jednak mogą one być otwarte lub zamknięte, a i tak wywołają taką samą miarę, mimo, że przybliżenia mogą się różnić[1].

Własności[edytuj]

Jeśli jest dodatnią liczbą całkowitą, wymiarowa miara Hausdorffa w jest przeskalowaną typową −wymiarową miarą Lebesgue'a , która jest znormalizowana w taki sposób, że miara kostki jednostkowej wynosi 1. Istotnie, dla dowolnego zbioru borelowskiego

gdzie to objętość hiperkuli jednostkowej

Uwaga: spotyka się też definicje miary Hausdorffa unormowane w taki sposób aby odpowiadały one dokładnie miarom Lebesgue'a stosownie do całkowitego wymiaru przestrzeni euklidesowej.

Związek z wymiarem Hausdorffa[edytuj]

Jedna z kilku możliwych równoważnych definicji wymiaru Hausdorffa to

gdzie przyjmuje się

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Federer 1969, §2.10.2

Bibliografia[edytuj]