Miara Hausdorffa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Miara Hausdorffa – rodzaj miary zewnętrznej, która przypisuje liczbę z zakresu do każdego zbioru w przestrzeni lub, bardziej ogólnie, w dowolnej przestrzeni metrycznej. Zerowymiarowa miara Hausdorffa to liczba punktów w zbiorze (jeśli jest skończony) lub jeśli jest nieskończony. Jednowymiarowa miara Hausdorffa zwykłej krzywej w jest równa jej długości. Podobnie, dwuwymiarowa miara Hausdorffa mierzalnego podzbioru w jest proporcjonalna do powierzchni tego zbioru. Stąd wynika, że miara Hausdorffa jest uogólnieniem wyliczenia, długości, powierzchni lub objętości. Istnieją -wymiarowe miary Hausdorffa dla dowolnego które niekoniecznie jest całkowite. Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska Feliksa Hausdorffa. Miary te są podstawowe w geometrycznej teorii miary. Pojawiają się one naturalnie w analizie harmonicznej lub teorii potencjału.

Definicja formalna[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie przestrzenią metryczną. Dla dowolnego podzbioru niech oznacza jego średnicę, to jest

Niech będzie dowolnym podzbiorem a liczbą rzeczywistą. Definiuje się

Należy zauważyć, że zmniejsza się monotoniczne wraz z wzrostem gdyż im większe jest tym więcej zestawów zbiorów jest dozwolonych, powodując, że infimum jest mniejsze. Zatem granica istnieje, lecz może być nieskończona. Niech

Można zauważyć, że jest miarą zewnętrzną. Nazywa się ją -wymiarową miarą Hausdorffa z

Według powyższej definicji zbiory pokrywające są dowolne. Jednak mogą one być otwarte lub zamknięte, a i tak wywołają taką samą miarę, mimo że przybliżenia mogą się różnić[1].

Własności[edytuj | edytuj kod]

Jeśli jest dodatnią liczbą całkowitą, wymiarowa miara Hausdorffa w jest przeskalowaną typową -wymiarową miarą Lebesgue’a która jest znormalizowana w taki sposób, że miara kostki jednostkowej wynosi 1. Istotnie, dla dowolnego zbioru borelowskiego

gdzie to objętość hiperkuli jednostkowej

Uwaga: spotyka się też definicje miary Hausdorffa unormowane w taki sposób aby odpowiadały one dokładnie miarom Lebesgue’a stosownie do całkowitego wymiaru przestrzeni euklidesowej.

Związek z wymiarem Hausdorffa[edytuj | edytuj kod]

Jedna z kilku możliwych równoważnych definicji wymiaru Hausdorffa to

gdzie przyjmuje się

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Federer 1969, § 2.10.2.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]