Miara Hausdorffa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Miara Hausdorffa – rodzaj miary zewnętrznej, która przypisuje liczbę z zakresu [0,∞] do każdego zbioru w przestrzeni Rn lub, bardziej ogólnie, w dowolnej przestrzeni metrycznej. Zerowymiarowa miara Hausdorffa to liczba punktów w zbiorze (jeśli jest skończony) lub ∞ jeśli jest nieskończony. Jednowymiarowa miara Hausdorffa zwykłej krzywej w Rn jest równa jej długości. Podobnie, dwuwymiarowa miara Hausdorffa mierzalnego podzbioru w R2 jest proporcjonalna do powierzchni tego zbioru. Stąd wynika, że miara Hausdorffa jest uogólnieniem wyliczenia, długości, powierzchni lub objętości. Istnieją d−wymiarowe miary Hausdorffa dla dowolnego d ≥ 0, które niekoniecznie jest całkowite. Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska Feliksa Hausdorffa. Miary te są podstawowe w geometrycznej teorii miary. Pojawiają się one naturalnie w analizie harmonicznej lub teorii potencjału.

Definicja formalna[edytuj]

Niech będzie przestrzenią metryczną. Dla dowolnego podzbioru , niech oznacza jego średnicę, to jest

Niech będzie dowolnym podzbiorem , a liczbą rzeczywistą. Definiuje się

Należy zauważyć, że zmniejsza się monotoniczne wraz z wzrostem δ, gdyż im większe jest δ, tym więcej zestawów zbiorów jest dozwolonych, powodując, że infimum jest mniejsze. Zatem granica istnieje, lecz może być nieskończona. Niech

Można zauważyć, że jest miarą zewnętrzną. Nazywa się ją −wymiarową miarą Hausdorffa z .

Według powyższej definicji zbiory pokrywające są dowolne. Jednak mogą one być otwarte lub zamknięte, a i tak wywołają taką samą miarę, mimo, że przybliżenia mogą się różnić[1].

Własności[edytuj]

Jeśli d jest dodatnią liczbą całkowitą, d wymiarowa miara Hausdorffa w Rd jest przeskalowaną typową d−wymiarową miarą Lebesgue'a , która jest znormalizowana w taki sposób, że miara kostki jednostkowej [0,1]d wynosi 1. Istotnie, dla dowolnego zbioru borelowskiego E

gdzie αd to objętość hiperkuli jednostkowej

Uwaga: spotyka się też definicje miary Hausdorffa unormowane w taki sposób aby odpowiadały one dokładnie miarom Lebesgue'a stosownie do całkowitego wymiaru d przestrzeni euklidesowej.

Związek z wymiarem Hausdorffa[edytuj]

Jedna z kilku możliwych równoważnych definicji wymiaru Hausdorffa to

gdzie przyjmuje się

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Federer 1969, §2.10.2

Bibliografia[edytuj]